高考中圆锥曲线最值问题分类总结

高考中圆锥曲线最值问题求解方法分析高考中圆锥曲线最值问题求解方法分析 圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题 体现了圆锥曲线与三角 函数 不等式 方程 平面向量等代数知识之间的横向联系 解此类问题与解代数中的最值问题方法类似 由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关 所以利用曲线性质求解是其特有的方法 下面介 绍几种常见求解方法 一 定义法 有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式 再利用几何或代数法求最值 可使题 目中数量关系更直观 解法更简捷 例 1 已知抛物线 定点 A 3 1 F 是抛物线的焦点 在抛物线上求一点 P 使 AP PF 取最小值 并求的最小值 分析 由点 A 引准线的垂线 垂足 Q 则 AP PF AP PQ 即为最小值 解 如图 焦点 F 1 0 由 点 A 引准线 x 1 的垂线 垂足 Q 则 AP PF AP PQ 即为最小值 由 得 为所求点 若另取一点 显然 二 参数法 利用椭圆 双曲线参数方程转化为三角函数问题 或利用直线 抛物线参数方程转化 为函数问题求解 例 2 椭圆的切线 与两坐标轴分别交于 A B 两点 求三角形 OAB 的 最小面积 分析 写出椭圆参数方程 设切点为 可得切线方程 解 设切点为 则切线方程为 令 y 0 得切线与 x 轴交点 令 x 0 得切线与 y 轴交点 B 0 三 二次函数法 将所求问题转化为二次函数最值问题 再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求 解 例 3 过动直线 x 2y p 与定直线 2x y a 的交点 其中 的等轴双曲线系 中 当 p 为何值时 达到最大值与最小值 分析 求出交点坐标代入双曲线 可得的二次函数表达式 再利用函数方法求解 解 由 得 交点 交点 Q 坐标代入双曲线 当 又 当 p 3a 时 四 几何法 将圆锥曲线问题转化为平面几何问题 再利用平面几何知识 如对称点 三角形三边关 系 平行间距离等求解 例 4 已知椭圆 和直线 l x y 9 0 在 l 上取一点 M 经过点 M 且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短 并求 此椭圆方程 分析 设 是关于 l 对称点 可求出 坐标 过的直线方程与 x y 9 0 联立得交点 M 为所求 解 由椭圆方程 得 设 是关于 l 对称点 可求出 坐标为 9 6 过的直线方程 x 2y 3 0 与 x y 9 0 联立 得交点 M 5 4 即过 M 的椭圆长轴最短 由 得 所求椭圆方程为 五 不等式法 列出最值关系式 利用均值不等式 等号成立 的条件求解 例 5 过椭圆的焦点的直线交椭圆 A B 两点 求面积的最大值 分析 由过椭圆焦点 写出直线 AB 方程为 y kx 1 与椭圆方程联立 消去 y 得关 于 x 的一元二次方程 巧妙的利用根与系数的关系 可以起到避繁就简的效果 解 椭圆焦点 设过焦点 0 1 直线方程为 y kx 1 与联立 消去 y 得 其中两根为 A B 横坐标 将 三角形 AOB 看作与组合而成