高考数学复习课题：复数的有关概念.doc

第84课时 课题：复数的有关概念一教学目标：1使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；2掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；3掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法4通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力5通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育二教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。三教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；(3)重视以下知识盲点：不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。（二）知识点详析1知识体系表解2复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定，形如a+bi的数称为复数，其中a，bR(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的复数z=a+bi在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)(7)复数与实数不同处任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运算和开方均通行无阻3有关计算：怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）是1的两个虚立方根，并且：3 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。4 棣莫佛定理是：5 若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。6 若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则AOB（O为坐标原点）的面积是。7 =。8 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：轨迹为一条射线。轨迹为一条射线。轨迹是一个圆。轨迹是一条直线。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。4学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cos+isin)(Z(a,b)z=a+bi复数集纯虚数集虚数集实数集(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。（三）例题分析：.2004年高考数学题选1. (2004年四川卷理3)设复数i，则1A.B.2C.D.2(2004重庆卷2）)设复数, 则 （ ）A3 B3 C3i D3i3. （2004高考数学试题广东B卷14）已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = .范例分析实数？虚数？纯虚数？复数z是实数的充要条件是：当m2时复数z为实数复数z是虚数的充要条件：当m3且m2时复数z为虚数复数z是纯虚数的充要条件是：当m1时复数z为纯虚数【说明】要注意复数z实部的定义域是m3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件要特别注意复数za+bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0，所以，代入得，故选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z运算简化解：设z=x+yi(x，yR)将z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)当|z1|13时，即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有：(3)1+2i+3+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设S1+2i+3+1000，则iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足、的值.【解】得3分上式化简为6分9分当12分【例7】设z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，问在（0，2）内是否存在使(z1-z2)2为实数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答【解】假设满足条件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2R，故z1-z2为实数或为纯虚数又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，则由方程组得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，则由方程组得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，从而=或=综上所知，在(0，2)内，存在=或=，使(z1-z2)2为实数【说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+=0z纯虚数以及z2RzR或z纯虚数（注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立【例8】设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论【解】设|z|=r若a0，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，对r作如下讨论：（1）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为实数解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()i(a1)综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z=()i；当0a1时，解为：z=()，z=()i；当a1时，解为：z=()【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得，.方程的判别式.，由此得方程无实根.【例10】给定实数a，b，c已知复数z1、z2、z3满足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解【解】解法一由=1，可设=cos+isin，=cos+isin，则=cos(+)-isin(+)因=1，其虚部为0，故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2sin（cos-cos）=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kZ因而z1=z2或z2=z3或z3=z1若z1=z2，代入（2）得=i，此时az1+bz2+cz3=|z1|a+bci=类似地，如果z2=z3，则az1+bz2+cz3=；如果z3=z1，则az1+bz2+cz3=解法二由（2）知R，故=，即=由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【说明】解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：zRz=，以及视，等为整体，从而简化了运算解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果（四）巩固练习：设复数z=3cos+2isin，求函数y=-argz(0)的最大值以及对应角的值【分析】先将问题实数化，将y表示成的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、基本不等式等）以及数形结合法进行求解解法一、由0，得tan0，从而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=当且仅当，即tan=时，取“=”又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当=arctan时，y取最大值为arctan解法二、因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz)=，sin(argz)=显然y(-，)，且siny为增函数siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)=当且仅当，即tan=，取“=”，此时ymax=arctan9图xargzyoZ1Z2Z解法三、设Z1=2(cos+isin)，Z2=cos，则Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的辐角主值分别为、0，argz如图所示，必有y=ZOZ1，且0y在ZOZ1中，由余弦定理得cosy=+当且仅当4+5cos2=6，即cos=时，取“=”又因为余弦函数在0为减函数，故当=arccos时，ymax=arccos【说明】解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的四课后作业：1、下列说法正确的是 A0i是纯虚数B原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D是虚数2、下列命题中，假命题是 A两个复数不可以比较大小B两个实数可以比较大小C两个虚数不可以比较大小D一虚数和一实数不可以比较大小3、已知对于x的方程+（12i）x+3mi=0有实根，则实数m满足 4、复数1+i+等于 Ai B i C2i D2i5、已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹。6、设复数，记。（1）求复数的三角形式；（2）如果，求实数、的值。7、（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理17)）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求8、已知复数满足，且。（1） 求的值；（2）求证：；（3）求证对于任意实数，恒有。9、（1992三南试题）求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)z+是实数，且1z+6；(2)z的实部和虚部都是整数参考答案1、解0i=0R故A错；原点对应复数为0R故B错，i2=-1R，故D错，所以答案为C。2、解本题主要考察复数的基本性质，两个不全是实数的复数不能比较大小，故命题B，C，D均正确，故A命题是假的。3、解本题考察复数相等概念，由已知4、解：因为i的四个相邻幂的和为0，故原式=1+i+i2+0+0=i，答案：A。5、解：Z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心，以为半径的圆，但应除去原点。6、答案：（1）；（2）7、解：设，则复数由题设8、答案（1）；（2）、（3）省略。9、分析：按一般思路，应设zxyi（x，yR），或z=r（cos1t6=t2-400，解方程得又z的实部和虚部都是整数，t=2或t=6故z=13i或z=3i解法二：z+R，从而z=或z=10若z=，则zR，因1z+6，故z0，从而z+6，此时无解；若z=10，则1z+6设z=x+yi(x、yZ)，则12x6，且x2+y2=10，联立解得或或或故同时满足下列两个条件的所有复数z1+3i，1-3i，3+i，3-i。第85课时课题：复数的代数形式及其运算一教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三教学过程：（一）主要知识：1共轭复数规律，；2复数的代数运算规律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）iiii=1，iiii=0；3辐角的运算规律（1）Arg（zz）ArgzArgz（3）Arg=nArgz（nN），n1。或zR。要条件是|z|a|。（6）zz0，则4根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。5求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的运用。即|zz|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。|zz|z|z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。（二）范例分析.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6）已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( )A B C- D-2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是 ( C )A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆.主要的思想方法和典型例题分析：1化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。解法一、设zxyi（x，yR），原方程即为用复数相等的定义得：=1，=1+3i.两边取模，得：代入式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】（1993全国理）设复数z=cosisin（0【解】zcos+isin=cos4isin4即，又0，当时，或【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。【例3】设a，b，x，yR+，且（r0），求证：分析令=ax+byi，=bx+ayi（a，b，x，yR+），则问题化归为证明：|+|r（a+b）。证明设=ax+byi，=bxayi（a，b，x，yR+），则=|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：即（x3a+yi）（i）（x3a+yi）由复数相等的定义得而点（x，y）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。2分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例5】（1990全国理）设a0，在复数集C中解方程z2|z|=a。分析一般的思路是设z=xyi（x，yR），或z=r（cosisin），若由z2|z|=a转化为z=a2|z|，则zR。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。总之，是一个需要讨论的问题。【解】解法一z=a2|z|R，z为实数或纯虚数。问题可分为两种情况：（1）若zR，则原方程即为|z|+2|z|a=0，（2）若z为纯虚数，设z=yi（yR且y0），则原方程即为|y|2|y|a=0当a=0时，|y|=2即z=2i。当0a1时，当a1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。综上所述，原方程：当a=0时，解为z0或z=2i解法二设z=xyi，x，yR，将原方程转化为3数形结合思想数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。【例6】已知|z|=1，且z+z1，求z。【解】由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。【例7】复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，AOB是面积为的直角三角形，argz(0，)，求复数z的值【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论【解】因|OA|=|z|=|OB|，故A不可能是直角，因而可能AOB=90或ABO=90若AOB=90，示意图如图1所示因z与所对应的点关于实轴对称，故argz=45,xOABy图1SAOB=|OA|OB|=|z|=|z|2=于是，|z|=2，从而，z=2(cos45+isin45)=+ixOABy图2若ABO=90，示意图如图2所示因z与所对应的点关于实轴对称，且AOB90，故argz=45令z=r(cos+isin)，则cos2=，sin2=，SAOB=|OA|OB|sin2=rr=r2=于是，r=又cos=，sin=，故z=(+i)=2+i综上所述，z=+i或z=2+i【说明】解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图解题规律：复数的几何意义来源于复数z=a+bi(a、bR)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示解题技巧：复数z与它的共轭复数在复平面内对应的向量关于实轴对称这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。4集合对应思想【例8】如图所示，在复平面内有三点P，P，P对应的复数应的复数为a，2a，3a，且它们有相同的辐角主值（如图所示），即A，P，P，P共线。从而2sin2因此有a=2i。5整体处理思想解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。因此在复数学习中，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。【例9】已知z=2i，求z3zz+5z2的值。【分析】如果直接代入，显然比较困难，将z用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再将结论转化为z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困难了。【解】z=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2。【例10】已知，求。【解】解由条件得【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦。【例11】复平面上动点z的轨迹方程为：|zz|z|，z0，另一动点z满足zz=1，求点z的轨迹。解由|zz|z|，知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分线。将此式整体代入点z1的方程，得的圆（除去原点）。【例12】设zc，a0，解方程z|z|azi=0。边取模，得【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。6有关最值问题的多角度思考【例13】复数z满足条件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。解法一|z|=1，z=cosisin|2zz+1|=|2（cosisin）（cosisin）1|=|（2cos2cos1）（2sin2sin）i|2zz+1|=|2zz+|设z的实部为a，则1a1|2zz+1|=|2az1|，|2zz+1|=4解法三：设=x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且a+b=1，这说明对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。时的圆的半径。得8x2x89r0， 由相内切条件知=0,解法四由模不等式：|2zz+1|2|z|z|+1=4，等号成立的条件是2z，z，1所对应的向量共线且同向，可知z是负实数，在|z|=1的条件下，z=-1当z=1时|2zz+1|=4。但另一方面：|2zz+1|2|z|z|1=0，这是显然成立的，可是这不能由此确定|2zz+1|=0，实际上等号成立的条件应为2z，z，1表示的向量共线且异向，由2z与1对应的向量共线且异向知z=i，但是当z=i时，2z与z不共线，这表明|2zz+1|的最小值不是0。以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为重点也为难点，应向学生强调说明，并举例，切记取等号的条件。【例14】2001年普通高等学校招生全国统一考试(理18)已知复数z1i(1i)3()求argz1及|z|；()当复