高中数学数列知识点整理

数列数列 1 数列中与之间的关系 n a n S 注意通项能否合并 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 2 等差数列 定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 即 n a d n 2 n N 1 n a 那么这个数列就叫做等差数列 等差中项 若三数成等差数列aAb 2 ab A 通项公式 1 1 nm aandanm d 或 n apnq pq 是常数 前项和公式 n 1 1 1 22 n n n nn aa Snad 常用性质 若 则 Nqpnmqpnm qpnm aaaa 下标为等差数列的项 仍组成等差数列 2mkmkk aaa 数列 为常数 仍为等差数列 ban b 若 是等差数列 则 是非零常数 n a n b n ka nn kapb kp 也成等差数列 p nq ap qN 单调性 的公差为 则 n ad 为递增数列 0d n a 为递减数列 0d n a 为常数列 0d n a 数列 为等差数列 p q 是常数 n a n apnq 若等差数列的前n项和 n S 则 k S kk SS 2 kk SS 23 是等差数列 n a 3 等比数列 定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个 数列就叫做等比数列 等比中项 若三数成等比数列 同号 反之不一定成立 反之不一定成立 ab G 2 Gab ab 通项公式 1 1 nn m nm aa qa q 前项和公式 n 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 常用性质 若 则 Nqpnmqpnm mnpq aaaa 为等比数列 公比为 下标成等差数列 则对应的项成等比数列 2mkmkk aaa k q 数列 为不等于零的常数 仍是公比为的等比数列 正项等比数列 则 n a q n a 是公差为的等差等差数列 lg n algq 若是等比数列 则 n a 2 nn caa 1 n a 是等比数列 公比依次是 r n arZ 2 1 r qqq q 单调性 为递增数列 11 0 10 01aqaq 或 n a 为递减数列 11 0 010 1 n aqaqa 或 为常数列 1 n qa 为摆动数列 0 n qa 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列 若等比数列的前n项和 n S 则 k S kk SS 2 kk SS 23 是等比数列 n a 4 非等差 等比数列通项公式的求法 非等差 等比数列通项公式的求法 类型类型 观察法 观察法 已知数列前若干项 求该数列的通项时 一般对所给的项观察分 析 寻找规律 从而根据规律写出此数列的一个通项 类型类型 公式法 公式法 若已知数列的前n项和 n S与的关系 求数列的通项可用 n a n a n a 公式 构造两式作差求解 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 用此公式时要注意结论有两种可能 一种是 一分为二 即分段式 另一种是 合二 为一 即和合为一个表达 要先分和两种情况分别进行运算 然后验 1 a n a1n 2 n 证能否统一 类型类型 累加法 累加法 形如形如型的递推数列型的递推数列 其中是关于的函数 可构造 1 nfaa nn nfn 1 12 21 1 2 1 nn nn aaf n aaf n aaf 将上述个式子两边分别相加 可得 1 n 1 1 2 2 1 2 n af nf nffan 若是关于的一次函数 累加后可转化为等差数列求和 f nn 若是关于的指数函数 累加后可转化为等比数列求和 f nn 若是关于的二次函数 累加后可分组求和 f nn 若是关于的分式函数 累加后可裂项求和 f nn 类型类型 累乘法 累乘法 形如形如型的递推数列型的递推数列 其中是关于的函数 可构造 1 nn aaf n 1 n n a f n a nfn 1 1 2 2 1 1 2 1 n n n n a f n a a f n a a f a 将上述个式子两边分别相乘 可得 1 n 1 1 2 2 1 2 n af nf nffan 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 类型类型 构造数列法 构造数列法 形如形如 其中 其中均为常数且均为常数且 型的递推式 型的递推式 qpaa nn 1 p q0p 1 若时 数列 为等差数列 1p n a 2 若时 数列 为等比数列 0q n a 3 3 若 若且且时 数列时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造等构造等1p 0 q n a 比数列比数列来求来求 方法有如下两种 法一 法一 设 展开移项整理得 与题设 1 nn ap a 1 1 nn apap 比较系数 待定系数法 得 1nn apaq 即 1 0 111 nn qqq pap a ppp 1 11 nn qq ap a pp 构成以为首项 以为公比的等比数列 再利用等比数列的通项公 1 n q a p 1 1 q a p p 式求出的通项整理可得 1 n q a p n a 法二 法二 由得两式相减并整理得即qpaa nn 11 2 nn apaq n 1 1 nn nn aa p aa 构成以为首项 以为公比的等比数列 求出的通项再转化 1nn aa 21 aa p 1nn aa 为类型类型 累加法 累加法 便可求出 n a 形如形如型的递推式型的递推式 1 nn apaf n 1 p 当当为一次函数类型 即等差数列 时 为一次函数类型 即等差数列 时 f n 法一 法一 设 通过待定系数法确定的值 转 1 1 nn aAnBp aA nB A B 化成以为首项 以为公比的等比数列 再利用等比数列的通项 1 aAB p n aAnB 公式求出的通项整理可得 n aAnB n a 法二 法二 当的公差为时 由递推式得 f nd 1 nn apaf n 两式相减得 令得 1 1 nn apaf n 11 nnnn aap aad 1nnn baa 转化为类型类型 求出 再用类型类型 累加法 累加法 便可求出 1nn bpbd n b n a 当当为指数函数类型 即等比数列 时 为指数函数类型 即等比数列 时 f n 法一 法一 设 通过待定系数法确定的值 转化成以 1 1 nn af np af n 为首项 以为公比的等比数列 再利用等比数列的通项公式求 1 1 af p n af n 出的通项整理可得 n af n n a 法二 法二 当的公比为时 由递推式得 f nq 1 nn apaf n 两边同时乘以得 由 两式相 1 1 nn apaf n q 1 1 nn a qpqaqf n 减得 即 在转化为类型类型 便可求出 11 nnnn aa qp aqa 1 1 nn nn aqa p aqa n a 法三 法三 递推公式为 其中 p q 均为常数 或 其中 n nn qpaa 11 n nn aparq p q r 均为常数 时 要先在原递推公式两边同时除以 得 1 n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 引入辅助数列引入辅助数列 其中 得 再应用类型类型 的方法解决 n b n n n q a b q b q p b nn 1 1 当当为任意数列时 可用为任意数列时 可用通法通法 f n 在两边同时除以可得到 令 则 1 nn apaf n 1n p 1 11 nn nnn aaf n ppp n n n a b p 在转化为类型类型 累加法 累加法 求出之后得 1 1 nn n f n bb p n b n nn ap b 类型类型 对数变换法 对数变换法 形如形如型的递推式 型的递推式 1 0 0 q nn apapa 在原递推式两边取对数得 令得 1 q n apa 1 lglglg nn aqap lg nn ba 化归为型 求出之后得 注意 底数不一 1 lg nn bqbp qpaa nn 1n b10 n b n a 定要取 10 可根据题意选择 类型类型 倒数变换法 倒数变换法 形如形如 为常数且 的递推式 的递推式 两边同除于 转化为 11nnnn aapaa p0p 1nn aa 形式 化归为型求出的表达式 再求 1 11 nn p aa qpaa nn 1 1 n a n a 还有形如还有形如的递推式 的递推式 也可采用取倒数方法转化成形式 化归 1 n n n ma a paq 1 11 nn mm aq ap 为型求出的表达式 再求 qpaa nn 1 1 n a n a 类型类型 形如形如型的递推式 型的递推式 nnn qapaa 12 用待定系数法 化为特殊数列的形式求解 方法为 设 1 nn aa 比较系数得 可解得 于是 112nnnn kaahkaa qhkpkh h k 是公比为的等比数列 这样就化归为型 1 nn aka hqpaa nn 1 总之 求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解 对不能转化为以上方 法求解的数列 可用归纳 猜想 证明方法求出数列通项公式 n a 5 非等差 等比数列前 非等差 等比数列前项和公式的求法项和公式的求法n 错位相减法错位相减法 若数列为等差数列 数列为等比数列 则数列的求和就要采用此法 n a n b nn ab 将数列的每一项分别乘以的公比 然后在错位相减 进而可得到数列 nn ab n b 的前项和 nn ab n 此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法 n 裂项相消法裂项相消法 一般地 当数列的通项 时 往往可将 12 n c a anbanb 12 a b b c为常数 变成两项的差 采用裂项相消法求和 n a 可用待定系数法进行裂项 设 通分整理后与原式相比较 根据对应项系数相等得 12 n a anbanb 从而可得 21 c bb 122112 11 cc anbanbbbanbanb 常见的拆项公式有 111 1 1n nnn 1111 21 21 2 2121nnnn 11 ab abab 1 1 mmm nnn CCC 1 n nnn 分组法求和分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为