数学建模作业4优化模型-最优价格和产量的最佳安排

佛山科学技术学院 上 机 报 告 课程名称 数学建模 上机项目 优化模型 最优价格和产量的最佳安排 专业班级 姓 名 学 号 8 1 问题提出问题提出 问题 1 某厂根据产品成本和销售情况 在产销平衡条件下 产品的产量等 于市场的销售量 如何确定商品的最优价格 使获得利润最大 问题 2 某厂生产一种产品有甲 乙两个品牌 讨论在产销平衡的情况下如何 确定各自的产量 使总利润最大 利润既取决于销量和单件价格 也依赖于产量和单件成本 按照市场规律 甲种品牌的价格固然会随其销量的增长而降低 同时乙品牌销量的增长也 1 p 1 x 2 x 会使甲的价格有稍微下降 可以简单地假设价格与销量成线性关系 即 211 09 0 35 2 300 xxp 乙的价格遵循同样的规律 有 2 p 212 98 2 14 0 480 xxp 2 成本与产量成负指数关系 甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低 按该厂的实际情况进行大量调查 呈现为负指数关系 即有 11638 1 023 0 1 x eq 乙品牌的成本遵循同样的规律 有 2 q 14594 2 018 0 2 x eq 2 问题分析问题分析 1 问题问题 1 分析 分析 由产销平衡知 产品的产量等于市场的销售量 而利润是销量收入和生产支出 之差 于是确定商品的最优价格 使获得最大利润 就要找出价格和利润之间的关 系 2 问题问题 2 分析 分析 要在产销平衡的情况下确定甲 乙的产量 使总利润最大 需要明确价格 成 本 销量之间的关系 即根据该厂的实际情况 可以假设价格与销量成线性关系 成本与产量成负指数关系 3 模型假设模型假设 一 优化模型 一 优化模型 最优价格的假设 最优价格的假设 1 产量等于销量 产销平衡 记作 x 2 收入与销量 成正比 系数 即价格 xp 3 支出与产量 成正比 系数 即成本 xq 4 销量 依赖于价格 是减函数 xp px 5 进一步设 即假设它是线性函数 0 babqapx 二 优化模型 二 优化模型 产量的最佳安排的假设 产量的最佳安排的假设 根据该厂的实际情况进行大量调查 可做出以下假设 1 价格与销量呈现线性关系 利润既取决于销量和单件价格 也依赖于产量和单件成本 按照市场规律 甲 种品牌的价格固然会随其销量的增长而降低 同时乙品牌销量的增长也会 1 p 1 x 2 x 使甲的价格有稍微下降 可以简单地假设价格与销量成线性关系 即 0 且 21211111 xaxabp 1 b 11 a 12 a 11 a 12 a 乙的价格遵循同样的规律 有 2 p 0 且 22212122 xaxabp 2 b 21 a 22 a 21 a 22 a 2 成本与产量成负指数关系 甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低 按该厂的实际情况进行大量调查 呈现为负指数关系 即有 0 111 11 cerq x 1 r 1 1 c 乙品牌的成本遵循同样的规律 有 2 q 0 222 22 cerq x 2 r 2 2 c 符号说明 符号说明 表示总利润 21 xxz 分别表示甲的价格 成本 销量 1 p 1 q 1 x 分别表示乙的价格 成本 销量 2 p 2 q 2 x 四 模型建立四 模型建立 显示模型函数的构造过程 1 优化模型优化模型 最优价格最优价格 利润是销量收入和生产支出之差 则设每件产品售价为 成本为 销量为 pqx 则总收入与总支出分别为 1 pxpX 2 qxpY 在市场竞争的情况下 销量 x 依赖于价格 记p 3 0 babpapx 则无论成本与销量是否相关 收入和支出都是价格的函数 qxXYp 利润 pYpXpU 二 优化模型 二 优化模型 产量的最佳安排产量的最佳安排 由题设知 甲产品单件获利为 乙产品单件获利为 由产销平衡 11 qp 22 qp 原理 所有产品的销量即为产量 则甲 乙两种产品总获利为 22211121 xqpxqpxxz 五 模型求解五 模型求解 显示模型的求解方法 步骤及运算程序 结果 一 优化模型 一 优化模型 最优价格最优价格 要使利润达到最大的最优价格 由得 pU p0 pp dp dU 5 pppp dp dY dp dX 再由每件产品的成本与产量无关 将 1 3 代入 4 得qx 6 bpaqppU 用微分法求得最优价格 7 b aq p 22 二 优化模型 二 优化模型 产量的最佳安排产量的最佳安排 原实际问题转化为求的最大值 利用 Matlab 中的 fminunc 命令 求 21 xxz 的最小值 2121 xxzxxy 为确定初始值 要先忽略成本 并令价格中的项的较小系数 0 09 和价 1 p 2 x 2 p 格中的项的较小系数 0 14 等于 0 因为它们对价格的作用较小 可忽略不计 1 x 则确定初始值问题为转化为求的极值 121122 3002 35 4802 98 z x xx xx x 可以求得 则将其作为初始问题的初始解 1 300 63 83 2 2 35 x 2 480 80 54 2 2 98 x 先建立先建立 M M 文件 命名为文件 命名为 fun m fun m function y fun x p1 300 2 35 x 1 0 09 x 2 q1 38 exp 0 023 x 1 116 p2 480 0 14 x 1 2 98 x 2 q2 94 exp 0 018 x 2 145 y