四直角三角形的射影定理

射影定理同步练习 一 选择题 1 在 ABC 中 BAC 90 AD 是 BC 边上的高 则相似三角形共有 A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对 解析 如图所示 ACD BAD ACD BCA ABD CBA 共有 3 对 答案 D 2 在 Rt ACB 中 C 90 CD AB 于 D 若 BD AD 1 4 则 tan BCD 的值是 A B C D 2 1 4 1 3 1 2 解析 如图所示 由射影定理得 CD2 AD BD 又 BD AD 1 4 令 BD x 则 AD 4x x 0 CD2 AD BD 4x2 CD 2x 在 Rt CDB 中 tan BCD BD CD x 2x 1 2 答案 C 3 如图 ACB 90 CD AB 于 D AD 3 CD 2 则的值为 AC BC A B C D 3 2 9 4 2 3 4 9 解析 由题意得 CD2 AD BD BD 又 AC2 AD AB BC2 BD AB 4 3 则 故 AC2 BC2 AD BD 9 4 AC BC 3 2 答案 A 4 在 Rt ABC 中 BAC 90 AD BC 垂足为 D 若 BC m B 则 AD 的长为 A m sin2 B m cos2 C m sin cos D m sin tan 解析 由射影定理 得 AB2 BD BC AC2 CD BC 即 m2cos2 BD m m2sin2 CD m 即 BD mcos2 CD msin2 又 AD2 BD DC m2cos2 sin2 AD mcos sin 故选 C 答案 C 二 填空题 5 如图所示 四边形 ABCD 是矩形 BEF 90 这四个三角形能 相似的是 解析 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 A D 90 因为 BEF 90 所以 1 2 90 因为 1 ABE 90 所以 ABE 2 又因为 A D 90 所以 ABE DEF 答案 6 2012 陕西 如图 在圆 O 中 直径 AB 与弦 CD 垂直 垂足为 E EF DB 垂足为 F 若 AB 6 AE 1 则 DF DB 解析 连接 AD 因为 AB 6 AE 1 所以 BE 5 所 以 DE2 AE BE 1 5 5 在 Rt BDE 中 有 DE2 DF DB 5 答案 5 7 在 Rt ABC 中 C 90 a b 1 tan A 其中 a b 分别是 A 和 3 2 B 的对边 则斜边上的高 h 解析 由 tanA 和 a b 1 a b 3 2 a 3 b 2 故 c h 13 ab c 6 13 13 答案 6 13 13 8 如图所示 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D AD 4 sin ACD 则 CD BC 4 5 解析 在 Rt ADC 中 AD 4 sin ACD 得 AC 5 又由射影定理 AD AC 4 5 AC2 AD AB 得 AB AC2 AD 25 4 BD AB AD 4 25 4 9 4 由射影定理 CD2 AD BD 4 9 9 4 CD 3 又由射影定理 BC2 BD AB BC 9 4 25 4 15 4 答案 3 15 4 三 解答题 9 如图所示 AD CE 是 ABC 中边 BC AB 的高 AD 和 CE 相交于点 F 求证 AF FD CF FE 证明 因为 AD BC CE AB 所以 AFE 和 CFD 都是直角三角形 又因为 AFE CFD 所以 Rt AFE Rt CFD 所以 AF FE CF FD 所以 AF FD CF FE 10 如图所示 D 为 ABC 中 BC 边上的一点 CAD B 若 AD 6 AB 10 BD 8 求 CD 的长 解 在 ABD 中 AD 6 AB 10 BD 8 满足 AB2 AD2 BD2 ADB 90 即 AD BC 又 CAD B 且 C CAD 90 C B 90 即 BAC 90 故在 Rt BAC 中 AD BC 由射影定理知 AD2 BD CD 即 62 8 CD CD 9 2 11 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 CD 是 AB 上的高 已知 BD 4 AB 29 试求出图中其他未 知线段的长 解析 因为 BD 4 AB 29 由直角三角形的射影定理有 BC2 BD AB