高考导数专题(含详细解答)

第 1 页 共 34 页 导数及其应用导数及其应用 导数的运算导数的运算 1 几种常见的函数导数 c 为常数 Rn c n x sin x cos x x a x e a log x lnx 2 求导数的四则运算法则 0 2 v v uvvu v u 注 vu 必须是可导函数 uvuv vuvuuv 2 v vuvu v u 3 复合函数的求导法则 或 xufxfx xux uyy 一 求曲线的切线 导数几何意义 一 求曲线的切线 导数几何意义 导数几何意义 导数几何意义 表示函数在点 处切线 L 的斜率 0 f x yf x 0 x 0 f x 函数在点 处切线 L 方程为 yf x 0 x 0 f x 000 yf xf xxx 1 曲线在点处的切线方程为 A B C D 答案详解B 正确率 69 易错项 C 解析 本题主要考查导数的几何意义 导数的计算以及直线方程的求解 对求导得 代入得即为切线的斜率 切点为 所以切线 方程为即 故本题正确答案为 B 2 变式一 变式一 第 2 页 共 34 页 3 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 A 4 B 1 4 C 2 D 1 2 4 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 A 21yx B yx C 32yx D 23yx 变式二 变式二 5 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线 的斜率为 2 则点 P 的坐标为 第 3 页 共 34 页 6 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x 令lg nn ax 则 1299 aaa 的值为 7 已知点 P 在曲线 y 4 1 x e 上 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 则的取值范围是 A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 第 4 页 共 34 页 变式三 变式三 8 已知直线 y x 1 与曲线yln xa 相切 则 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 第 5 页 共 34 页 9 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相切 则a等于 A 1 或 25 64 B 1 或 21 4 C 7 4 或 25 64 D 7 4 或7 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 11 本小题满分 13 分 设 I 求在上的最小值 1 0 x x f xaeb a ae f x 0 II 设曲线在点的切线方程为 求的值 yf x 2 2 f 3 2 yx a b 第 6 页 共 34 页 12 若曲线 2 f xaxInx 存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 二 求单调性或单调区间二 求单调性或单调区间 1 利用导数判定函数单调性的方法 利用导数判定函数单调性的方法 设函数 xfy 在某个区间 D 内可导 如果 0 则 xfy 在区间 D 上为增函数 x f 如果 0 则 xfy 在区间 D 上为减函数 x f 如果 0 恒成立 则 xfy 在区间 D 上为常数 x f 第 7 页 共 34 页 2 利用导数求函数单调区间的方法 利用导数求函数单调区间的方法 不等式 0 的解集与函数 xfy 定义域的交集 就是 xfy 的增区 x f 间 不等式 0 的解集与函数 xfy 定义域的交集 就是 xfy 的减区间 x f 1 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 2 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 3 已知函数 讨论的单调性 答案详解由题意 的定义域是 所以有 设 二次方程的的判别式 当 即时 对一切都有 此时 在上 是增函数 当时 此时在上也是增函数 第 8 页 共 34 页 当 即时 方程有两个不同的实根 此时在上单调递增 在上单调递减 在 上单调递增 解析 本题主要考查导数在研究函数中的应用 本题的难点在于参数分类的讨论 如何做到不重不漏 首先在定义域的情况下 对函数求导 在求极值的过程中 会涉及到二次方程的根个数 问题 要针对判别式 进行分类讨论 在极值为两个的情况下 讨论其与定义域的关系 并 根据导数与函数增减性的关系 列表求得函数增减性 4 已知函数 当时 求曲线在点处 的切线的斜率 当时 求函数的单调区间与极值 答案详解 当时 故 所以曲线在点 处的切线的斜率为 令 解得或 由知 以下分两种情况讨论 1 若 则 当 变化时 的变化情况如下表 第 9 页 共 34 页 所以在内是增函数 在内是减函数 函数在处取得 极大值 且 函数在处取得极小值 且 2 若 则 当 变化时 的变化情况如下表 所以在内是增函数 在内是减函数 函数在处取 得极大值 且 函数在处取得极小值 且 解析 本题主要考查利用导数判断函数单调性 求出这种情况下 函数在处的导数 即为切线斜率 首先求解出极值 然后对参数进行分类讨论 使用列表法 对函数和导数列表 列出 函数的单调区间和极值 三 求函数的极值与最值三 求函数的极值与最值 1 极值的判别方法 极值的判别方法 当函数 xf在点 0 x处连续时 如果在 0 x附近的左侧 0 右侧 0 那么 0 xf是极大值 x f x f 如果在 0 x附近的左侧 0 右侧 0 那么 0 xf是极小值 x f x f 也就是说 0 x是极值点的充分条件为 0 x点两侧导数异号 而不是 0 x f 2 最值的求法 最值的求法 求 f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求 f x 在区间 a b 内的极值 极大值或极小值 2 将 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 注 极值与最值的区别 极值是在局部对函数值进行比较 最值是在整体区间上对函数值进行比较 1 设函数 则 x f xxe A 为的极大值点 B 为的极小值点1x f x1x f x 第 10 页 共 34 页 C 为的极大值点 D 为的极小值点1x f x1x f x 答案详解D 正确率 53 易错项 B 解析 本题主要考查函数极值的计算 令导函数求得 且在上小于零 在上大于零 则 在上单调递减 在上单调递增 为的极小值点 2 函数 32 31f xxx 在x 处取得极小值 3 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 设其中 曲线在点处的切线垂直于轴 13 ln1 22 f xaxx x aR yf x 1 1 fy 求的值 求函数的极值 a f x 4 本小题满分 13 分 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式 其中 3 x 6 a 为常数 已知销售价格为 5 元 千克时 2 10 6 3 a yx x 每日可售出该商品 11 千克 I 求 a 的值 II 若该商品的成本为 3 元 千克 试确定销售价格 x 的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 第 11 页 共 34 页 5 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60的正方形硬纸片 cm切去阴 影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得 A B C D 四个点重合与 图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上 是被切去的一个 等腰直角三角形斜 边的两个端点 设 cmxFBAE 1 某广告商要求包装盒的侧面积 S最大 试问应取何值 2 cmx 2 某厂商要求包装盒的容积 V最大 试问应取何值 并求出此时 3 cmx 包装盒 的高与底面边长的比值 答案详解 1 所以 时侧面积最大 2 所以 当时 递增 当时 递减 所以 当时 最大 此时 包装盒的高与底面边长 的比值为 解析 本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法 第 12 页 共 34 页 1 由图写出侧面积 的函数表达式 再对表达式化简 配方 即可求得 取最大值对应的 值 2 由图写出容积 的函数表达式 再通过对函数求导 判断函数的单调性 从而求得 取 最大值对应的 值 再求解高与底面边长的比值即可 四 判断函数的零点四 判断函数的零点 1 函数 f x 23 x x 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案详解B 正确率 64 易错项 C 解析 本题主要考查连续函数的性质 由于是连续函数 且在上单调递增 根据零点附近函数值符号相反 可 采用代入排除的方法求解 A 项 故 A 项错误 B 项 则零点定理知有零点在区间上 故 B 项正确 C 项 故 C 项错误 D 项 故 D 项错误 综上所 述 符合题意的是 B 项 故本题正确答案为 B 2 设函数 1 ln 0 3 f xxx x 则 yf x A 在区间 1 1 1 e e 内均有零点 B 在区间 1 1 1 e e 内均无零点 C 在区间 1 1 e 内有零点 在区间 1 e内无零点 D 在区间 1 1 e 内无零点 在区间 1 e内有零点 答案详解D 正确率 33 易错项 C 解析 本题主要考查导数的应用 定义域为 先对求导 解得在单调递减 单调递增 讨论上 在其上单调 故在上无零点 讨论 上 在其上单调 故在上有零点 故本题正确答案为 D 第 13 页 共 34 页 易错项分析 零点存在定理不熟悉导致易错 零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的 零点问题 局限于判断在给定区间是否有零点 而对于在给定的区间有多少个零点却无法处 理 3 已知函数 y x3 3x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点 则 c A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 答案详解A 正确率 53 易错项 C 解析 本题主要考查导数在函数中应用 对函数求导 得到函数的增减性和极值 作出函数图象 由图可知 当函数取极大 值和极小值时 有两个横坐标与之对应 极大值为 2 极小值为 2 可知 故本题正确答案为 A 4 16 分 分 若函数在处取得极大值或极小值 则称为函数 的极值点 已知 xfy 0 xx 0 x xfy 是实数 1 和是函数的两个极值点 ab 1 32 f xxaxbx 1 求和的值 2 设函数的导函数 求的极值点 ab g x 2g xf x g x 3 设 其中 求函数的零点个数 h xf f xc 22 c yh x 答案详解 1 由题设知 且 解得 2 由 1 知 因为 所以的根为 于是函数的极值点只可能是 或 第 14 页 共 34 页 当时 当时 故是的极值点 当或时 故 不是的极值点 所以的极值点为 3 由 1 知 其函数图象如下图所示 先讨论 的零点 即与的交点的个数 时 由图象得的零点为和 时 由图象得的零点为和 时 由图象得的零点为 时 由图象得的零点分别在 三个区间内 时 由图象得的零点分别在 三个区间内 令 现在考虑 的零点 当时 有两个根和 而有三个不同的根 分别在 三个区间内 有两个不同的根和 故有 个零点 第 15 页 共 34 页 当时 有两个根和 而有三个不同的根 分别在 三个区间内 有两个不同的根和 故有 个零点 当时 有三个不同的根 满足 而 有三个不同的根 故有 个零点 综上可知 当时 函数有 个零点 当时 函数有 个零点 解析 本题主要考查导数在研究函数中的应用 1 对函数求导 代入极值点使该点处导数值为 得到关于的方程组 解出的值 2 由 1 问所得的 求出的表达式 令其等于 求极值点 验证极值点 真假后列出结果 3 先结合图象分类讨论 的零点 再令 分类讨论 的零点 五 导数与图像五 导数与图像 1 函数在区间 0 1上的图象如图所示 则 m n的值可能是 1 n m f xaxx A 1 1mn B 1 2mn C 2 1mn D 3 1mn 第 16 页 共 34 页 2 若函数 yf x 的导函数在区间 a b上是增函数 则函数 yf x 在区间 a b上的图象可能是 A B ababa o x o x y ba o x y o x y b C D 3 2010 江西理数 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记 t 时刻五角星露出水 面部分的图形面积为 00S tS 则导函数 yS t 的图像大致为 六 导数与不等式六 导数与不等式 利用导数求解 证明 不等式利用导数求解 证明 不等式 主要方法是 将不等式左右两边的多项式移到一边 构造出一个新的 t xg x 函数 通过对求导 根据的大小和导数的性质 结合已知条件进行求解或证明 f xt xg x f x fx y 第 17 页 共 34 页 1 若 则 0 的解集为 2 24lnf xxxx fx A B C D 0 1 02 2 1 0 答案详解C 正确率 50 易错项 B 解析 本题主要考查导数的运算和不等式的解法 本题的易错点是容易忽视函数的定义域 的定义域为 即 结合解得 故本题正确答案为 C 易错项分析 本题的易错点是容易忽视函数的定义域 忽视在对数函 数中真数要大于 的隐含条件 从而在解不等式时出现负数 使函数没有意义 这是解对数 不等式以及对数函数有关的问题时常见的错误 2 函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 x R 2 x f 则 f x 2x 4 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 3 本小题满分 12 分 设函数 x e f x x 1 求函数 f x的单调区间 2 若0k 求不等式 1 0fxkx f x 的解集 fx 第 18 页 共 34 页 4 设函数有两个极值点 且 1 求 满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的点和区域 2 证明 第 19 页 共 34 页 答案 1 依题意知 方程有两个根 且 等价于 由此得满足的约束条件为 满足这些条件的点的区域为图中阴影部分 2 由题设知 故 于是 由于 而由 知 故 又由 1 知 所以 解析本题主要考查导数 线性规划以及方程根的综合运用 1 本题应该根据先求出的导函数 然后再利用二分法得到关于三个参量的不等式 进而便可得出的取值范围 进而便可作出满足这些约束条件的平面区域 2 该题主要利用已知条件 将表示为与其他参量的等式 并利用 便可得 到的大致范围 再将其他参量的取值范围代入该式 便可得到欲证结论 第 20 页 共 34 页 5 本题满分 12 分 设函数 2 1f xxaInx 有两个极值点 12 xx 且 12 xx I 求a的取值范围 并讨论 f x的单调性 II 证明 2 1 22 4 In f x 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 2 22g xxxa 其对称轴为 1 2 x 由题意知 12 xx 是方程 0g x 的两个均大于1 的不相等的实根 其充要条件为 480 1 0 a ga 得 1 0 2 a 当 1 1 xx 时 0 fxf x 在 1 1 x 内为增函数 当 12 xx x 时 0 fxf x 在 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0 fxf x 在 2 x 内为增函数 II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 设 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当 1 0 2 x 时 0 h xh x 在 1 0 2 单调递增 当 0 x 时 0h x h x在 0 单调递减 111 2ln2 0 224 xh xh 当时 故 22 1 22 4 In f xh x 6 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 1 x 2 ax a 1 ln x 1a 1 讨论函数 f x的单调性 2 证明 若5a 则对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 12 12 1 f xf x xx 解析 1 f x的定义域为 0 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx 2 分 fx i 若11a 即 2a 则 2 1 x fx x 故 f x在 0 单调增加 fx ii 若1 1a 而1a 故12a 则当 1 1 xa 时 0fx 当 0 1 xa 及 1 x 时 0fx 第 21 页 共 34 页 故 f x在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 iii 若11a 即2a 同理可得 f x在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 2 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a0 xf x f 22 2 1 21 ax axax exf x 知在 R 上恒成立 因此由此并结合 a 0 知 012 2 axax 0 1 444 2 aaaa10 a 3 已知函数 曲线在点处的切线方程为 求 的值 如果当 且时 求 的取值范围 由于直线的斜率为 且过点 故 即 解得 由 知 所以 考虑函数 则 i 设 由知 当时 而 故当时 可得 当时 可得 从而当 且 时 即 ii 设 由于当时 故 而 故当 时 可得 与题设矛盾 iii 设 此时 而 故当时 可得 而 与题设矛盾 综合得 的取值范围为 解析 本题主要考查函数求导和函数的单调性 以及分类讨论思想 先对函数求导 将点代入到导函数 得出斜率 又在直线上 从 而得到两个方程 联立解得的值 本问为不等式与函数的问题 要进行分类讨论 讨论时应注意不要漏情况 首先将不 等式转化为求函数极值 即将不等式右边式子左移 得 讨论函数 这里应 注意 的取值范围 通过分类讨论可得 取值范围为 第 27 页 共 34 页 解读 本题 2 中 若直接对作差后所得的函数求导 形式繁杂 且不易得出导数零点 由于只 是判断函数的正负号 可以提出 这样 余下的部分的求导变得简单可行 且的 正负容易判断 4 本小题满分 100 分 已知函数 1 求的单调区间 2 若对于任意的 都有 求 的取值范围 答案详解 1 令 得 当时 与的情况如下 所以 的单调递增区间是和 单调递减区间是 当时 与的情况如下 所以 的单调递减区间是和 单调递增区间是 2 当时 因为 所以不会有 当时 由 1 知在上的最大值是 所以等价于 解得 解析 本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题 1 先对函数求导得 当时 单调递增 求得的 的取值范围即为单调增区 间 当时 单调递减 求得的 的取值范围即为单调减区间 2 利用函数的单调性 求得的最大值 代入不等式 即可求得 的取值范围 5 本小题满分 12 分 已知函数 其中 第 28 页 共 34 页 1 若在处取得极值 求 的值 2 求的单调区间 3 若的最小值为 求 的取值范围 答案详解 1 因为 所以 又在处取得极值 所以 2 令 当 即时 在定义域内恒成立 所以函数在内单调递增 当 即时 在区间内 函数递减 在区间内 函数递增 综上所述 当时 函数在区间内单调递增 当时 函数在区间内 单调递减 在区间内单调递增 3 当时 函数在区间内单调递增 此时 所以满足条件 当时 函数在区间内单调递减 在区间内单调递增 此时 所以不满足题意 所以 的取值范围为 解析 本题主要考查函数与导数的单调性 函数的极值 1 对函数求导 在函数极值点处导数有意义时导数为零 然后计算求解 2 导数大于零时函数递增 导数小于零时函数递减 然后分类讨论的取值范围进行求解 3 分两种情况讨论函数的最小值 满足函数最小值为 的 的取值范围即为解 6 设函数 1 若为的极值点 求实数 2 求实数 的取值范围 使得对任意的 恒有成立 注 为自然对数的底数 答案详解 1 求导得 因为是的极值点 所以 解得或 经检验 符合题意 所以或 第 29 页 共 34 页 2 当时 对于任意的实数 恒有成立 当时 由题意 首先有 解得 由 1 知 令 则 且 又在内单调递增 所以函数在内有唯一零点 则 从而 当时 当时 当时 即在内单调递增 在内单调递减 在内单调递增 所以要是对恒成立 只要成立 由 知 将 代入 得 又 注意到函数在内单调递增 故 再由 以及函数在内单调递增 可得 又 解得 所以 综上 的取值范围为 解析 本题主要考查导数以及不等式的综合运用 1 本题应该先对函数求导 又因为 为的极值点 所以 据此便可解的实数 的取值范围 2 由于当时 所以此时恒成立 所以只需讨论当时的 情况即可 本题应该先判断出的零点即的极值点 从而可判断出的单调性 最后 判断得在内单调递增 在中单调递减 在中单调递增 所以应该使得 第 30 页 共 34 页 在该区间内的极大值点或者在端点处满足 这样便可解得 的取值范围 7 已知 函数 1 证明 当时 i 函数的最大值为 ii 2 若对恒成立 求的取值范围 答案详解 1 i 当时 有 此时在上单调递增 当时 此时在上单调递减 在上单 调递增 所以当时 ii 由于 故当时 当时 设 则 所以 所以当时 故 2 由 i 知 当时 所以 若 则由 ii 知 所以对任意恒成立 第 31 页 共 34 页 的充要条件是 即 或 在直角坐标系中 所 表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 做一组平行直线 得 所以的取值范围是 解析 本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值 1 i 先对函数求导 得导函数 讨论和两种情况下函数的单调性 求 得 ii 分别讨论和两种情况下 对进行放缩 再令 对其求导 分析其单调性 求得 故 可得 2 列出对任意恒成立的充要条件 画出不等式组的平面区域图 设目 标函数为 可求得的取值范围为 8 本小题满分 13 分 已知函数 其中 a 0 1 若对一切 x R 1 恒成立 求 a 的取值 f x ax ex f x 集合 2 在函数的图像上取定两点 记直线 AB 的斜率为 K f x 11 A xf x 22 B xf x 12 xx 问 是否存在x0 x1 x2 使成立 若存在 求的取值范围 若不存在 请说明理由 0 fxk 0 x 解 若 则对一切 这与题设矛盾 又 故 0a 0 x f x1 ax ex 0a 0a 而令 1 ax fxae 11 0 ln fxx aa 得 当时 单调递减 当时 单调递增 故当时 11 lnx aa 0 fxf x 11 lnx aa 0 fxf x 11 lnx aa 第 32 页 共 34 页 取最小值 f x 11111 ln ln f aaaaa 于是对一切恒成立 当且仅当 1xR f x 111 ln1 aaa 令则 ln g tttt ln g tt 当时 单调递增 当时 单调递减 01t 0 g tg t 1t 0 g tg t 故当时 取最大值 因此 当且仅当即时 式成立 综上所述 的取值集合为 1t g t 1 1g 1 1 a 1a a 1 由题意知 令 21 21 2121 1 axax f xf xee k xxxx 21 21 axax ax ee xfxkae xx 则 1 21 121 21 1 ax a xx e xea xx xx 2 12 212 21 1 ax a xx e xea xx xx 令 则 1 t F tet 1 t F te 当时 单调递减 当时 单调递增 0t 0 F tF t 0t 0 F tF t 故当 即0t 0 0 F tF 10 t et 从而 21 21 10 a xx ea xx 12 12 10 a xx ea xx 又 1 21 0 ax e xx 2 21 0 ax e xx 1 0 x 2 0 x 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线 存在使 yx 12 x x 012 xx x 0 0 x 单调递增 故这样的是唯一的 且 2 0 ax xa ex c 21 21 1 ln axax ee c aa xx 故当且仅当时 21 2 21 1 ln axax ee xx aa xx 0 fxk 综上所述 存在使成立 且的取值范围为 012 xx x 0 fxk 0 x 21 2 21 1 ln axax ee x aa xx 9 本题满分 14 分 已知函数 ln axxxf 的最小值为 0 其中 0 a 求a的值 若对任意的 0 x有 xf 2 kx成立 求实数k的最小值 证明 n i n i 1 2 12ln 12 2 Nn 解 函数 f x的定义域为 a 第 33 页 共 34 页 ln f xxxa 11 101 xa fxxaa xaxa 01 01fxxa fxaxa 得 1xa 时 min 1 101f xfaaa 设 22 ln 1 0 g xkxf xkxxxx 则 0g x 在