论文_浅析函数极值的求法及应用[1]

XX 学院学院 毕业论文毕业论文 浅析函数极值的求法及应用 院系 数学与计算机科学学院 专业 数学与应用数学 年级 班级 08 数本 姓名 XXX 学号 XXXXXXX 指导教师 职称 XXXXX 2012 年 3 月 15 日 I 浅析函数极值的求法及应用 摘要 函数极值是数学研究的重要内容之一 故对函数极值问题的探讨具有重要意义 本文讨论了利用拉格朗日乘数法 柯西不等式法和梯度法求函数条件极值 以及利用 方向导数判别法 MATLAB 法求函数无条件极值 归纳出了函数极值在不等式证明 物 理学 生产销售和蜂房最优化问题的若干应用 关键词 函数 极值 求法 应用 Analysis of the function extreme value solution and its application Abstract The extreme value of function is one of the important contents of mathematics study so the function extreme problems of the function extreme value has important significance This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum and the use of directional derivative method MATLAB software and function unconditional extremum summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality physics production and sales and bee house problems Keywords function extreme value solution application II 目录 摘要 关键词 第一章 引言 1 第二章 函数极值的定义及其存在的条件 1 2 1 多元函数极值的定义 2 2 2 多元函数极值存在的条件 2 第三章 函数极值的若干求法 3 3 1 拉格朗日乘数法求极值 3 3 2 柯西不等式法求极值 4 3 3 梯度法求极值 5 3 4 利用方向导数判别多元函数的极值 7 3 5 Matlab 求函数极值 9 第四章 函数极值理论的应用 12 4 1 函数极值在不等式证明中的应用 12 4 2 函数极值在物理学中的应用 13 4 3 函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 14 4 4 运用函数极值分析蜂房的最优化问题 15 第五章 结束语 18 致谢语 18 引用文献 18 1 第一章 引言 函数极值一直是数学研究的重要内容之一 在科学与生产实践中存在着许多和极 值有关问题 由于函数极值应用广泛 加之函数本身变化纷繁 所以人们对求函数极 值的方法研究较多 这些与许多数学家的努力是分不开的 他们将理论与实际有机的 结合起来 不仅为科研打下了良好的基础 也为诸多领域的实际工作提供了便捷 如 在物理 经济 现实生活等方面提供了便捷的方法 使得许多问题很便利的得以解决 多元函数涉及到的量比较多 在求解某类形式上比较复杂的函数极值问题比较困 难 所以在本文将重点介绍多元函数极值的求法 而我们在解题的过程当中常常会遇 到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解 在解这种条件极值的问题时当然我 们不能不考虑其限制条件 那么我们什么时候 什么地方 如何用这些限制条件就成 了我们所关心的问题 所以 本文重点探讨多元函数条件极值问题 针对多元函数条 件极值求法 文中归纳出了三种方法 拉格朗日乘数法 柯西不等式法 梯度法 其 中拉格朗日乘数法就是求条件极值最常用的方法 对于求无条件极值 求解的方法相 对来说就更多了 除了数学分析课本介绍的判别法之外还有方向导数判别法等 随着 现代科技的进步 计算机软件已得到广泛应用 应用软件求解函数极值应运而生 大 学期间就开设了 数学建模与数学实验 的课程 可以从中学习运用 MATLAB 软件求函 数极值 它不但方便而且准确 是一种求无条件极值的好方法 在解题的过程中合理 的选择一种好的方法 就等于成功了一半 同时可以大大减少解题的时间 对拓展解 题的思路是很有帮助的 函数极值在不等式证明 物理学 生产销售和蜂房最优化问题等方面有着广泛的 应用 不等式的证明是数学学习过程中我们经常遇到的 其对综合能力和分析能力的 要求都很高 目前有多种形式的方法来证明不等式 本文以举例说明的方式给出应用 多元函数条件极值的解法来解决不等式证明的思想 即在不等式证明中 适当变换目 标函数和相应的限制条件来证明不等式 函数极值在物理学中的应用也是非常广泛的 比如利用函数极值来证明光的折射定律等 在生产和销售商品的过程中销售量 成本 与售价是相互影响的 厂家可以运用函数极值 知道如何选择合理的销售价格才能获 得最大利润 很多的数学模型都源于生活 是从一些实际问题中抽象出来的 所以 可以通过探讨函数极值的方法来分析现实生活中许多有趣的问题 如著名的数学家华 罗庚就利用极值探讨过蜂房结构有关的数学问题 综上所述 我们对函数极值的求法及应用做一个比较全面的了解是相当重要的 第二章 函数极值的定义及其存在的条件 极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题 定义在一个有界闭区域上的每一 个连续函数都必定达到它的最大值和最小值 问题在于要确定它在哪些点处达到最大 值或最小值 我们先来了解下一元函数极值的定义 定义 1 设函数在的某个邻域有定义 如果对该邻域的所有点 都有 f x 0 x 0 x 0 f xf x 则是函数的一个极大值 如果对该邻域的所有的点 都有 0 f x f x 0 x 0 f xf x 2 则是函数的一个极小值 极大值和极小值统称为极值 极大点和极小 0 f x f x 点统称为极值点 下面重点了解多元函数极值的定义及其存在的条件 2 1 多元函数极值的定义 定义 2 设元函数在点的某个邻域内有n 2 n 12 n zf x xx 000 012 n p xxx 定义 如果对该邻域内任一异于的点都有 000 012 n p xxx 12 n p x xx 000 1212 nn f x xxf xxx 则称函数在点有极大值 类似的 若在该邻域内 000 012 n p xxx 000 12 n f xxx 任一异于的点都有 000 012 n p xxx 12 n p x xx 000 1212 nn f x xxf xxx 则称函数在点有极小值 000 012 n p xxx 000 12 n f xxx 2 2 多元函数极值存在的条件 定理 1 必要条件 若元函数在点存在n 2 n 12 n zf x xx 000 12 n xxx 偏导数 且在该点取得极值 则有 000 12 0 i xn fxxx 1 2 in 证明 因为函数在点 取得极值 所以固定 12 n zf x xx 00 2 0 10n xxxp 在 后所得的一元函数 在点取得极值 于是 2n xx 00 2 n xx 00 12 n f x xx 0 1 x 0 1 11 00 12 0 xn xx fx xx 同理 0 2 22 00 12 xn xx fxxx 0 00 12 0 0 n nn xn xx fxxx 因此 0 pgradf 12 n xxx fff 0 p 定理 2 充分条件 设元函数在附近具 1 n 2 n 12 n f x xx 000 12 n xxx 有二阶连续偏导数 且为的驻点 那么当二次型 000 12 n xxx 12 n zf x xx 000 12 1 ij n x xnij i j gfxxx 正定时 为极小值 当负定时 为极大值 000 12 n f xxx g 000 12 n f xxx 当不定时 不是极值 g 000 12 n f xxx 3 记 并记 000 12 ij ijx xn afxxx 111213 212223 12 k kkkk aaa aaa A aaa 它称为的阶黑塞矩阵 fk 特殊地 当时 有如下推论 2n 推论 1 若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导 00 zf x yxy 在点的 数 且 0000 0 0 xy fxyfxy 令 则 000000 xxxyyy AfxyBfxyCfxy 当时 2 0ACB 0 0 A A 取极大值 取极小值 当时 没有极值 2 0ACB 当时 不能确定 2 0ACB 第三章 函数极值的若干求法 函数极值问题是数学中的一个重点问题 在讨论极值问题时 往往会遇到函数的 自变量要受某些条件的限制 从而引出了极值和条件极值问题 或限制极值问题 例如 决定一给定点到一曲面的最短距离的问题就是条件极值 000 xyz 0G x y z 问题 下面 3 1 3 2 和 3 3 将重点探讨函数条件极值的求法 3 1 拉格朗日乘数法求极值 拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方 法 这种方法将一个有个变量与个约束条件的最优化问题转换为一个有个变nknk 量的方程组的极值问题 其变量不受任何约束 拉格朗日乘数法是求多元函数条件极 值一种最常用的方法 求目标函数在条件函数 12 n f x xx 12 0 kn x xx 1 2 km mn 组限制下的极值 若及有连续的偏导数 且雅克比矩阵 12 n f x xx 12 kn x xx 的秩为 则可以用拉格朗日乘数法求极值 12 12 n n xxx m 首先 构造拉格朗日函数 4 121 nm L x xx 12 n f x xx 12 1 m kkn k x xx 然后 解方程组 从此方程组中解出驻点的坐标 0 1 2 0 2 i k L in x L kim 进而求出函数的极值 0 0 0 012 n P xxx 2 例 1 求函数在条件下的极值 22 zxy 1 xy ab 解 本题是条件极值问题 设拉格朗日函数为 F x y 22 xy 1 xy ab 令 20 20 1 x y Fx a Fy b xy ab 解得 22 22 2 a b axby ab 故得驻点 222 222 aba b xy abab 又 2 0 xxyyxy FFF 所以 222 2 0d F x ydxdy 故 是极小值点 22 00 2222 aba b xy abab 极小值 22 22 00 22 a b zxy ab 3 2 柯西不等式法求极值 柯西不等式是由 法国数学家柯西 Cauchy 研究得到的一个非常重要的不等式 柯西不等式非常重要 灵活巧妙地应用它 可以使一些较为困难的问题迎刃而解 某 些函数的极值可以转化为柯西不等式的形式求解 柯西不等式 对于任意的实数 总有 1212 nn a aab bb 和 5 2 1 122 nn aba ba b 222222 1212 nn aaabbb 简述为 积和方不大于方和积 当且仅当实数与 b RRa ii 12 n a aa 对应成比例时 等号成立 由此 得到两个重要结论 12 n b bb 3 1 若 则 1 122nn a xa xa xS 2 222 1 1222 22 12 12 S nn n n b xb xb x aaa bbb 2 若 则 222 1 122nn b xb xb xT 1 122nn a xa xa x 222 12 12 n n aaa T bbb 其中 bR i 1 2 in 4 在使用时 往往要采取一些方法 如巧拆常数 巧变结构 巧设数组等 构造符 合柯西不等式的形式及条件 继而达到使用柯西不等式解决有关的问题 例2 设 且 求u 的最小值 0 x y z 1xyz 149 xyz 解 由柯西不等式可得 149149 uxyz xyzxyz 2 149 xyz xyz 2 12336 由 及 22 2 49 yz x 1xyz 可得 111 632 xyz 此时 min 36u 本题通过巧用 1 构造出了符合柯西不等式的形式及条件 继而达到解题目的 3 3 梯度法求极值 梯度法每次迭代都是沿迭代点函数值下降最快的方向搜索 所以梯度法又名最速 6 下降法 是无约束优化方法中最基本的方法之一 用梯度法求目标函数在条件函数 12 n f x xx 12 0 in x xx 组限制下的极值 方程组 1 2 im mn 的解 就是所求极值问题的可能极值 1212 1 12 0 1 2 m niin i in gradf x xxgradx xx x xxim 点 5 其中表示目标函数的梯度向量 gradf 12 n f x xx 12 n fff xxx 表示条件函数的梯度向量 i grad 12 in x xx 12 iii n xxx 实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写 这是因为将 以上的梯度形式按各分量写开 就是拉格朗日乘数法的形式 例 3 试求个正数 其和为定值 的条件下 什么时候乘积最大 并证明nl 1212 1 n nn x xxxxx n 证明 本题的实质是求在条件下的 1212 nn yf x xxx xx 12n xxxl 最大值问题 根据本文定理 列出下列方程组 求解可能的极值点 1212 12 nn n grad x xxgrad xxxl xxxl 进一步求解得 2313121 12 1 1 1 nnn n x xxx xxx xx xxxl 容易得到 12n l xxx n 根据题意 则是唯一的极大值点 也是最大值点 所以 1 11 n nn 即 2 12 1 n f x xx n 1212 1 n nn x xxxxx n 这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题 例如 求在 zf x y 7 条件下的极值 只要列出方程组 再求出相应的 0 x y 0 gradf x ygradx y x y 则其中是可能的极值点 x y x y 例 4 求斜边之长为 的一切直角三角形中最大周长的直角三角形 l 解 设两条直角边为 本题的实质是求在条件 x y f x yxyl 222 xyl 下的极值问题 根据梯度法 列出方程组 222 222 grad xylgrad xyl xyl 进一步求解得 222 1 12 2xy xyl 容易解出 2 l xy 根据题意是唯一的极大值点 也是最大值点 22 ll 所以 当两条直角边都为时 直角三角形的周长最大 2 l 函数无条件极值也是解决数学问题中会经常遇到的 对于它的求法也有很多 下 面 3 4 和 3 5 讲重点探讨函数无条件极值的求法 3 4 利用方向导数判别多元函数的极值 定义 3 设函数在点的某邻域内有定义 令 6 f x 0 x 0 U x 0 xU x 若存在 称此极限为函数在点沿方向的方 0 xx 0 0 lim f xf x f x 0 x 0 lxx 向导数 记作 0 fx 引理 1 设二元函数在点的某邻域内连续 在内 3 f x y 000 pxy 0 U x 0 0 Up 可微 用 表示方向 0 0 p x yUp l 0 pp 1 若 则在点取得极大值 0 l fp f p 0 p 2 若 则在点取得极小值 0 l fp f p 0 p 与二元函数相类似 多元函数也可以利用方向导数来判别极大值和极小值 现将 上述引理推广到多元函数的情况并举例说明 8 定理 3 设多元函数在点的某邻域内连续 在 1 n f xx 00 01 n p xx 0 U p 内可微 用 表示方向 0 0 Up 0 10 n p xxUp l 0 pp 1 若 则在点取得极大值 0 l fp f p 0 p 2 若 则在点取得极小值 0 l fp f p 0 p 证明 设为领域内任意一点 L 为领域内过点和的直线段 p x y 000 p xy p x y 由假设知 函数在点处沿方向的导数 且在 L 上点 zf x y p x y 0 pp 0 l fp 与处 该方向的方向导数均为正 由引理知 在 L 上单调减少 000 p xy p x y f x y 即 由的任意性 是极大值 情形 2 同理可证 00 f xy f x y p x y 00 f xy 推论 2 设多元函数在的某邻域内连续 在 1 n f xx 00 01 n p xx 0 0 Up 内可微 0 0 Up 0 10 n p xxUp 1 若 则在取极大值 1 00 11 0 n xxnn fxxfxx 1 n f xx 0 p 2 若 则在取极小值 1 00 11 0 n xxnn fxxfxx 1 n f xx 0 p 例 5 讨论函数的极值 222 246uf x y zxyzxyz 解 先求三个一阶偏导数 令它们为 0 解方程组得稳定点 再利用定理的推论确定极值 220 240 260 xyz uxuyuz 求得稳定点为 1 2 3 222 1222243262122230 xxyyzzxyz 由推论知在点处取得极小值 222 246uf x y zxyzxyz 1 2 3 0 22 2 1 2 312321426 314 p uf 也可以利用上述方法按下面的步骤判别极值 1 求出函数的驻点 用射线及将的 f x y 000 p xy 3 0 22 a 0 0 xy ff 0 p 邻域划分成若干区域 2 及上和各部分区域内 判断方向导数各项符号 3 0 22 a 0 0 ff xy 9 进而判断方向导数的符号 3 根据定理 3 推论 2 判断该驻点是否为极值点 例 6 求函数 的极值 f x y 22 4 xyxy 解 令 得到稳定点 即驻点方向420 x fx 420 y fy 2 2p 2 2 导数 42cos 42 sin l fpxaya 在点邻近 各项符号见表 1 2 2p 0 0 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 0 0 42x 0 0 cos 0 0 42y 0 0 sin fl 表 1 所以 由定理 1 点 2 2 为极大值 0 l fp 3 5 MATLAB 求函数极值 MATLAB 是一款可用于数值计算的高级技术计算语言和交互式环境的商业数学软件 用它来求函数既方便 又可避免复杂的计算 可谓好处多多 MATLAB 提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数 fmin 和 fmins 它们分别用 于单变量函数和多变量函数的最小值 其调用格式为 x fmin fname x1 x2 x fmins fname x0 这两个函数的调用格式相似 其中 fmin 函数用于求单变量函数的最小值点 fname 是被最小化的目标函数名 x1 和 x2 限定自变量的取值范围 fmins 函数用于求 多变量函数的最小值点 x0 是求解的初始值向量 7 例 7 解函数xyxyxyxf933 2233 的极值 解 实验使用的函数与命令 1 函数求导指令 diff 2 方程求解指令 sovle 3 显示文本指令 disp 4 创建二维等高线指令 contour 1 contour Z 参数 Z 为一个矩阵 表示相对于 XY 平面的高度 Z 最小为 2 行 2 列的矩阵 2 contour Z n 根据矩阵绘制 n 组等高线 3 contour Z v 根据矢量 v 绘制指定等高线 10 4 contour X Y Z 或 contour X Y Z n 或 contour X Y Z v 其 中矢量 X Y 分别表示两个坐标范围 如果它们为矩阵 必须与矩阵 Z 大小相同 此时的 Z 为一般用函数 surf 创建的面 解题总共分为四步 第一步 求解偏导数 y f x f MATLAB 的 M 文件程序及结果 syms x y f x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x diff f x diff f y ans 3 x 2 6 x 9 ans 3 y 2 6 y 第二步 求解驻点坐标 x y solve 3 x 2 6 x 9 0 3 y 2 6 y 0 x y 得到四个驻点为 P 1 0 Q 3 0 R 1 2 S 3 2 第三步 求借二阶偏导数 并输出结果 A diff f x 2 B diff diff f x y C diff f y 2 A 6 x 6 B 0 C 6 y 6 第四步 分别判别 P Q R S 四点是否为极值 建立 M 文件 自动判断 P Q R S 四点的极值情况 xx 1 3 1 3 驻点横坐标 yy 0 0 2 2 驻点纵坐标 for i 1 4 D 6 xx i 6 6 yy i 6 if D 0 if 6 xx i 6 0 x xx i y yy i disp 为极小值点 disp 极小值为 fmin x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x 11 end end if D 0 x xx i y yy i disp 该点不是极值点 end if D 0 x xx i y yy i disp 无法确定 end end 运行输出结果为 x 1 y 0 为极小值点 极小值为 fmin 5 x 3 y 0 该点不是极值点 x 1 y 2 该点不是极值点 x 3 y 2 为极大值点 极大值为 fmax 31 下面绘出函数图形观察极值点和鞍点的情形 在函数曲面图 1 左中 观察不到细 节 而右图的等高线图中有两个极值点 1 0 3 2 又因为极值点有等高线环 绕 而 3 0 1 2 周围没有等高线 故不是极值点 是鞍点 x 5 0 1 5 y 1 0 1 3 X Y meshgrid x y Z X 3 Y 3 3 X 2 3 Y 2 9 X subplot 2 1 1 mesh X Y Z title 函数曲面图 subplot 2 1 2 contour X Y Z 200 xlabel x 12 ylabel y title 等高线图 13 第四章 函数极值理论的应用 函数极值不但在数学 物理等学科中有着广泛的应用 而且在现实生活中的某些 问题也可以借助函数极值来分析 下面归纳了函数极值在不等式证明 物理学 生产 销售和蜂房最优化问题的应用 4 1 函数极值在不等式证明中的应用 不等式证明具有很强的技巧性 是对知识的综合性灵活运用 我们已经接触了很 多证明不等式的方法 本节给出应用函数极值的求法来解决不等式证明 即在不等式 证明中 适当变换目标函数和相应的限制条件 把问题转化为求函数极值的问题 例 8 证明不等式 其中 n1 0 0 2 nn xy 2 n xy x y 证明 设函数 在求条件下的最小值 f x y 2 nn xy xyc 根据拉格朗日乘数法 做辅助函数 则 2 nn xy L x yxyc 0 即 1 2 n Ln x x 1 2 n n x 0 即 1 2 n Ln y y 1 2 n n y 0 L xyc 图 1 函数曲面图与等高线图 14 由 和 解得 将代入 解得 xy xy 2 c xy 函数 存在最小值 而无最大值 f x y 2 nn xy 所以函数在 处取得最小值 2 c 2 c 故 当 n 1 时等式成立 2 nn xy 1 22 n c 2 n c 2 n n c 2 n xy 关于不等式的证明 高中时候就有学过一种很清晰的思路 即要证明一个式子大 于等于 0 或小于等于 0 只需证明这个式子的最小值大于等于 0 或最大值小于等于 0 例 9 证明不等式 ln0 1 0 y exxxxyxy 证明 令 则只需证明函数在区域 ln y f x yexxxxy f x y 上存在最小值且大于等于 0 1 0 Dx yxy 对于 令 得 且1x 0 y y fx yex lnyx 当时 当时 0lnyx 0 y fx y lnyx 0 y fx y 易知 为最小值点 lnyx 即在曲线上取得最小值 lnyx f x y 最小值 ln ln lnln0 x f xxexxxxx 故在上 即 D 0f x y ln0 y exxxxy 4 2 函数极值在物理学中的应用 函数极值为其它学科问题的求解带来了方便 其在物理学中就有着非常广泛的应 用 比如可以利用函数极值来证明光的折射定律 例 10 设定点和位于以平面分开的不同光介质中 从点射出的光线折射后ABA 到达点 已知光在两介质中的传播速度分别为 求需时最短的传播方式 B 1 v 2 v 解 设到平面的距离为 到平面的距离为 见图 2 AaBb 光线从点射到点所需时间为 CDd AM 1cos a v 光线从点射到点所需时间为 MB 2cos b v 且 即 图 2CMMDd tantanabd 15 问题转化为函数在条件下的最小值 12 coscos ab f vv tantanbd 作拉格朗日函数 1 12 tantan coscos ab Labd vv 令 1 1 22 1 1 22 2 sin 0 coscos sin 0 coscos tantan0 aa L v bb L v Labd 由此解得 即光线的入射角与折射角应满足 1 12 sinsin vv 光的折射定律 时光线传播时间最短 1 2 sin sin v v 4 3 函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 在生产和销售商品的过程中 销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增 加 但同时也使消费者的购买欲望下降 造成销售量下降 导致厂家消减产量 但在 规模生产中 单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的 因此销售量 成本与 售价是相互影响的 厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润 例 11 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品 两个市场的需求函 数分别是 其中和分别表示该产品在两个市场的价格 单 11 218QP 22 12QP 1 P 2 P 位 万元 吨 和分别表示该产品在两个市场的销售量 即需求量 单位 吨 并 1 Q 2 Q 且该企业生产这种产品的总成本函数是 其中表示该产品在两个市场的销52 QCQ 售总量 即 21 QQQ 1 如果该企业实行价格差别策略 试确定两个市场上该产品的销售量和价格 使 该企业获得最大利润 2 如果该企业实行价格无差别策略 试确定两个市场上该产品的销售量及其统 一的价格 使该企业的总利润最大化 并比较两种价格策略下的总利润大小 解 1 总利润函数 52 2211 QQPQPCRL510162 21 2 2 2 1 QQQQ 令 0164 1 1 QLQ0102 2 2 QLQ 分别得唯一驻点 吨 吨 4 1 Q5 2 Q 对应的价格分别为 万元 吨 万元 吨 10 1 P7 2 P 16 又实际问题一定存在最大值 故最大值必在唯一驻点处取得 即最大利润为 万元 525510416542 22 L 2 如果实行价格无差别策略 即 则有约束条件 21 PP 62 21 QQ 作拉格朗日函数 62 510162 2121 2 2 2 121 QQQQQQQQF 令 062 0102 02164 21 2 1 2 1 QQF QF QF Q Q 解得唯一驻点 吨 吨 5 1 Q4 2 Q 对应的统一价格 万元 吨 8 21 PP 又实际问题一定存在最大值 故最大值必在唯一驻点处达到 即最大利润为 万元 495410516452 22 L 由上述可知 企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润 4 4 运用函数极值分析蜂房的最优化问题 8 随着现代科学技术的迅速发展 人们在解决各种实际问题时更加精确化和定量化 数学更加深入的渗透到生活领域 很多的数学模型都源于生活 是从一些实际问题中 抽象出来的 因此我们可以运用函数极值将现实生活中的某些问题加以分析 例 12 著名生物学家达尔文说 巢房的精巧构造十分符合需要 如果一个人在观 赏精密细致的蜂巢后 而不知加以赞扬 那人一定是个糊涂虫 有人比喻小小蜜蜂是 卓越的建筑师 他们认为蜜蜂们 设计 的蜂房是最优化的 蜂窝是一个三维体建筑 但每一个蜂巢都是正六棱柱体 而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关 由此可以抽 象出一个数学问题 即寻找体积相同 表面积最小的立体模型 假设蜂房的边长为固 定边长 运用函数极值与微分知识 我们可以计算出满足设想的模型数据 问题分析 建立一个模型 假设蜂房是一个固定边长为的标准正六棱柱 上方R 被替换成三个交于一个共同点的菱形 如下图 3 所示 我们先将四面体截下 ABCD 再将与贴合 得到图 4 再对另外两个四面体做同样的动作 最终得到图ABDAABOA 5 图 3 图 4 图 5 17 柱的地面是空的 而总体面积会是一个常数 不妨设成 假设 接VCC O 下来是求此柱体的表面积 然后求出并证明当为何值时最小 S表 S表 先是计算蜂房 图 5 的表面积 表面积为六棱柱的柱面面积 减掉六个小三S周 角形 再加上三个菱形面积 由于它是正六棱柱构成的 所以我们可以只算一S三S菱 小部分的表面积即可 体积 底面积为六个小的正三角形组成 边长为 VS底R 所以底面积 22 33 3 S6 42 R