高考数学总复习 031数列与函数的极限2 新人教A版

用心 爱心 专心1 g3 1031g3 1031 数列与函数的极限 数列与函数的极限 2 2 一 知识回顾一 知识回顾 1 函数的极限 函数的极限 1 1 当当 x x 时函数时函数 f x f x 的极限的极限 axf x lim axf x lim axf x lim 1 1 2 3 当自变量 x 取正值并且无限增大时 如果函数 f x 无限趋近于一个常数 a 就说当 x 趋 向于正无穷大时 函数 f x 的极限是 a 记作axf x lim 或 x 时 f x a 当自变量 x 取负值并且无限增大时 如果函数 f x 无限趋近于一个常数 a 就说当 x 趋 向于负无穷大时 函数 f x 的极限是 a 记作axf x lim 或 x 时 f x a 注 注 自变量 x 和 x 都是单方向的 而 x 是双向的 故有以下等价命题 lim xf x axf x lim axf x lim 令令 2 121 1 2 x f xf x xx 分别求 分别求lim lim lim xxx f xf xf x 2 2 当当 x x x0时函数时函数 f x f x 的极限的极限 axf xx lim 0 axf xx lim 0 axf xx lim 0 1 1 2 3 如果当 x 从点 x x0左侧 即 x x0 无限趋近于 x0时 函数 f x 无限趋近于常数 a 就说 a 是函数 f x 的左极限 记作 axf xx lim 0 如果当 x 从点 x x0右侧 即 x x0 无限趋近于 x0时 函数 f x 无限趋近于常数 a 就说 a 是函数 f x 的右极限 记作 axf xx lim 0 注 注 1 1 axf xx lim 0 与函数 f x 在点 x0处是否有定义及是否等于 f x0 都无关 2 2 lim 0 xf xx axf xx lim 0 axf xx lim 0 并且可作为一个判断函数在一点处有无 极限的重要工具 注 极限不存在的三种形态 注 极限不存在的三种形态 左极限不等于右极限 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 0 xx 时 xf 0 xx 时 xf的值不唯一 4 4 函数极限的运算法则 函数极限的运算法则 若 axf xx lim 0 bxg xx lim 0 那么 baxgxf xx lim 0 abxgxf xx lim 0 0 lim 0 b b a xg xf xx lim 0 xfc xx caxfc xx lim 0 nn xx n xx axfxf lim lim 00 用心 爱心 专心2 注 注 以上规则对于 x 的情况仍然成立 5 5 两个重要的极限 两个重要的极限 e xx x x xx 1 1lim 1 sin lim 0 和一个法则 罗必塔法则 和一个法则 罗必塔法则 0 0 0 lim xg xf xg xf xx 2 2 函数的连续性 函数的连续性 1 1 函数连续性的概念函数连续性的概念 如果函数 f x 在 x x0处及其附近有定义 而且 lim 0 0 xfxf xx 就说函数 f x 在 x x0处连续 注 注 函数 f x 在 x x0处连续必须具备三个条件 函数 f x 在 x x0处及其附近有 定义 函数 f x 在 x x0处有极限 函数 f x 在 x x0处的极限值等于这一点处的 函数值 f x0 右连续 或左连续 如果函数 f x 在 x x0处及其右侧 或左侧 有定义 而且 lim 0 0 xfxf xx 或 lim 0 0 xfxf xx 若函数 f x 在 a b 内每一点都连续 且在 a 点右连续 b 点左连续 则称 f x 在闭 区间 a b 上连续 注 注 函数 f x 在 a b 内连续 只要求在 a b 内每一点都连续即可 对在端点处是否 连续不要求 2 2 函数连续性的运算函数连续性的运算 若 f x g x 都在点 x0处连续 则 f x g x f x g x xg xf g x 0 也在点 x0处连续 若 u x 都在点 x0处连续 且 f u 在 u0 u x0 处连续 则复合函数 f u x 在点 x0处连续 3 3 初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数 指数函数 对数函数 三角函数等 在定义域里每一点处都连续 基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数 都是初等函数 初等函数 在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值 3 图甲表示的是 f x 在点 x0处的左 右极限存在但不相等 即 lim 0 xf xx 不存在 用心 爱心 专心3 图乙表示的是 f x 在点 x0处的左极限存在 右极限不存在 也属于 lim 0 xf xx 不存在 图丙表示的是 lim 0 xf xx 存在 但函数 f x 在点 x0处没有定义 图丁表示的是 lim 0 xf xx 存在 但它不等于函数 f x 在点 x0处的函数值 注意 注意 函数 f x 在 x x0处连续与函数 f x 在 x x0处有极限的联系与区别 连续必有极 限 有极限未必连续 二 基本训练二 基本训练 1 lim o xx f x lim o xx f xa 是函数在点 xo处存在极限的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 条件 2 m0 时 22 220 lim x mxm nxn 的值是 A m n B 0 C 1 D n m 3 2 2 3 215 lim 5724 x xx xx A 0 B 11 23 C 11 23 D 不存在 4 2 12 lim x x x 的值为 A 1 B 0 C 1 D 1 5 f x 2 1 0 x 1 xx 下面结论正确的是 A 1 lim x f x 1 lim x f x B 1 lim x f x 2 1 lim x f x 不存 在 C 1 lim x f x 0 1 lim x f x 不存在 D 1 lim x f x 1 lim x f x 6 05 江西卷 8 11 1 1 lim1 lim 1 22 xx f xx xfx 若则 A 1B 1C 2 1 D 2 1 7 05 辽宁卷 极限 lim 0 xf xx 存在是函数 xf在点 0 xx 处连续的 A 充分而不必要的条件B 必要而不充分的条件 C 充要条件D 既不充分也不必要的条件 用心 爱心 专心4 8 1 指出下列函数的不连续点 23 2 2 2 xx x xf 2 tan x x xf 1 4 1 12 xx xx xf 2 已知 1 2 1 1 3 2 xax xx xf 确定常数 a 使 lim 1 xf x 存在 三 例题分析 例例 1 1 判断下列函数的极限是否存在 1 xf x x x x xf x lim 01 1 0 1 2 2 xg x x xg x0 lim 01 02 3 xp xx xx xp x1 lim 11 11 4 1 aaxf x xf x lim 例例 2 2 设 0 1 0 0 0 xe x xbax xf x 问 a b 为何值时 lim 0 xf x 存在 例例 3 3 求下列各极限 1 lim 2 x 4 4 2 x2 1 x 2 xlim xbxax 3 lim 0 x x x 4 2 sin 2 cos cos lim 2 xx x x 5 lim x x 3 1 例例 4 4 利用连续函数的图象特征 判断方程 0152 3 xx是否存在实数根 例例 5 5 已知 2 2 lim 2 2 n x mxx x 求nm 例例 6 6 xf为多项式 且5 lim 1 4 lim 0 2 3 x xf x xxf xx 求 xf 用心 爱心 专心5 答案 基本训练 1 7 CBBCB CB 例 1 1 不存在 2 不存在 3 存在 4 不存在 例例 2 2 当 b 2 a 为任何实数时 lim 0 xf x 存在 例例 3 3 1 1 4 2 ab 3 不存在 4 2 5 x时 lim x x 3 1 不存 在 例例 4 4 解 解 设152 3 xxxf 则 xf在 R 上连续 又038 3 1 0 ff 因此在 3 0 内必存在点 x0使得0 0 xf 所以 x0是方程0152 3 xx的一个实 数根 因此方程0152 3 xx有实根 例 5 3 m 1 n 例例 6 6 xxxxf54 23 四 作业四 作业 g3 1031 数列与函数的极限 数列与函数的极限 2 1 1 1 lim 2 1 x x x 的值为 A 不存在 B 2 C 0 D 1 2 8 12 2 1 lim 3 2 xx x A 0 B 2 1 C 1 D 2 1 3 若1 12 lim 2 nbnna n 则 ab 的值是 A 42 B 82 C 8 D 16 4 下列各式不正确的是 A 3 2 13 32 lim 2 2 x xx x B 0 13 124 lim 4 2 x xx x C 4 1 78 12 lim 2 3 xx x x D 6 1 3 1 lim 9 3 lim 3 2 3 xx x xx 用心 爱心 专心6 5 给出下列命题 1 若函数 f x 在 x0处无定义 则 lim 0 xf xx 必不存在 2 lim 0 xf xx 是否存在与函数 f x 在 x0处是否有定义无关 3 lim 0 xf xx 与 lim 0 xf xx 都存在 则 lim 0 xf xx 也存在 4 若 lim 0 xf xx 不存在 则 2 lim 0 xf xx 必定不存在 正确的命题个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 6 05 全国卷全国卷 22 1 11 lim 3243 x xxxx A A 1 2 B 1 2 C 1 6 D 1 6 7 05 湖北卷 若1 11 lim 2 1 x b x a x 则常数ba 的值为 C A 4 2 baB 4 2 baC 4 2 baD 4 2 ba 8 04 年广东卷 3 函数 2 322 2 42 2 x x f xxx x a 在2x 处连续 则a A 1 3 B 1 4 C 1 4 D 1 2 9 04 年福建卷 理 14 设函数 0 0 11 xa x x x xf 在0 x处连续 则实数a的值 为 10 51 1 lim 52 5 0 xx xx x 11 1 1 lim 1 n m x x x m 和 n 为自然数 用心 爱心 专心7 12 x x x 1ln lim 0 13 若 f x 1 1 1 2 2 xx x 的极限为 1 则 x 的变化趋向是