高中数列教学案完整版

第 1 页 第三章第三章 数列数列 第一教时第一教时 教材 教材 数列 数列的通项公式 目的 目的 要求学生理解数列的概念及其几何表示 理解什么叫数列的通项公式 给出一些数列 能够写出其通项公式 已知通项公式能够求数列的项 过程 过程 一 从实例引入 P110 1 堆放的钢管 4 5 6 7 8 9 10 2 正整数的倒数 5 1 4 1 3 1 2 1 1 3 的不足近似值 精确到414 1 41 1 4 11001 0 1 012 4 1 的正整数次幂 1 1 1 1 5 无穷多个数排成一列数 1 1 1 1 二 提出课题 数列 1 数列的定义 按一定次序排列的一列数 数列的有序性 2 名称 项 序号 一般公式 表示法 n aaa 21 n a 3 通项公式 与之间的函数关系式 n an 如 数列 1 数列 2 数列 4 3 nan n an 1 1 Nna n n 4 分类 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 有穷数列 无穷数列 5 实质 从映射 函数的观点看 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1 2 n 的函数 当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值 通项公式即相应的函数解析式 6 用图象表示 是一群孤立的点 例一 P111 例一 略 三 关于数列的通项公式 1 不是每一个数列都能写出其通项公式 如数列 3 2 数列的通项公式不唯一 如 数列 4 可写成 和 n n a 1 1 1 n a 2 12 Nkkn Nkkn 3 已知通项公式可写出数列的任一项 因此通项公式十分重要 例二 P111 例二 略 第 2 页 四 补充例题 写出下面数列的一个通项公式 使它的前项分别是下列n 各数 1 1 0 1 0 2 1 1 1 Nna n n 2 3 2 8 3 15 4 24 5 35 6 1 1 1 1 2 n n a n n 3 7 77 777 7777 110 9 7 n n a 4 1 7 13 19 25 31 56 1 na n n 5 2 3 4 5 16 9 256 17 1 2 2 12 n n n a 五 小结 1 数列的有关概念 2 观察法求数列的通项公式 六 作业 练习 P112 习题 3 1 P114 1 2 课课练 中例题推荐 2 练习 7 8 第二教时第二教时 教材 教材 数列的递推关系 目的 目的 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念 了解数列递推公式的意义 会根据给 出的递推公式写出数列的前 n 项 过程 过程 一 复习 数列的定义 数列的通项公式的意义 从函数观点出发去刻划 二 例一 若记数列的前 n 项之和为 Sn试证明 n a 1 1 S SS a nn n 1 2 n n 证 证 显然时 1 n 11 Sa 当即时 1 n2 n nn aaaS 211211 nn aaaS nnn aSS 1 1 1 S SS a nn n 1 2 n n 注意 注意 1 此法可作为常用公式 2 当时 满足时 则 11 Sa 1 nn SS 1 nnn SSa 第 3 页 例二 已知数列的前n项和为 n annSn 2 21 2 nnSn 求数列的通项公式 n a 解 解 1 当时 1 n1 11 Sa 当时 2 n34 1 1 22 22 nnnnnan 经检验 时 也适合 1 n1 1 a34 nan 2 当时 1 n3 11 Sa 当时 2 nnnnnnan21 1 1 1 22 n an 2 3 2 1 n n 三 递推公式 见课本 P112 113 略 以上一教时钢管的例子 3 nan 从另一个角度 可以 1 4 1 1 nn aa a 2 1 n n 递推公式 定义 已知数列的第一项 且任一项与它的前 n a n a 一项 或前项 间的关系可以用一个公式来表示 这个公式就叫 1 n an 做这个数列的递推公式 例三 P113 例三 略 例四 已知 求 2 1 a4 1 nn aa n a 解一 解一 可以写出 2 1 a2 2 a6 3 a10 4 a 观察可得 1 42 4 1 2 nnnan 解二 解二 由题设 4 1 nn aa 4 4 4 32 21 1 nn nn nn aa aa aa 4 12 aa 第 4 页 1 4 1 naan 1 42 nan 例五 已知 求 2 1 a nn aa2 1 n a 解一 解一 2 1 a 2 2 222 a 32 3 222 a 观察可得 n n a2 解二 解二 由 即 nn aa2 1 1 2 nn aa2 1 n n a a 1 1 2 3 2 2 1 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a nn n aa22 1 1 四 小结 由数列和求通项 递推公式 简单阶差 阶商法 五 作业 P114 习题 3 1 3 4 课课练 P116 118 课时 2 中 例题推荐 1 2 课时练习 6 7 8 第三教时第三教时 教材 教材 等差数列 一 目的 目的 要求学生掌握等差数列的意义 通项公式及等差中项的有关概念 计算公式 并能用 来解决有关问题 过程 过程 一 引导观察数列 4 5 6 7 8 9 10 3 0 3 6 第 5 页 2 1 10 2 10 3 10 4 12 9 6 3 1 312 nan 特点 从第二项起 每一项与它的前一项的差是常数 等差 二 得出等差数列的定义 见 P115 注意 注意 从第二项起 后一项减去前一项的差等于同一个常数 1 名称 AP 首项 公差 1 a d 2 若 则该数列为常数列0 d 3 寻求等差数列的通项公式 daddadaa daddadaa daa 3 2 2 1134 1123 12 由此归纳为 当时 成立 dnaan 1 1 1 n 11 aa 注意注意 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数n 2 如果通项公式是关于的一次函数 则该数列成 APn 证明 证明 若AnBABAnABAnan 1 1 它是以为首项 为公差的 AP BA A 3 公式中若 则数列递增 则数列递减0 d0 d 4 图象 一条直线上的一群孤立点 三 例题 注意在中 四数中已知三个可以求 dnaan 1 1 n n a 1 ad 出另一个 例一 P115 例一 例二 P116 例二 注意 该题用方程组求参数 例三 P116 例三 此题可以看成应用题 四 关于等差中项 如果成 AP 则bAa 2 ba A 证明 证明 设公差为 则 ddaA dab2 Ada daaba 2 2 2 例四 教学与测试 P77 例一 在 1 与 7 之间顺次插入三个数使这五个数成cba AP 求此数列 第 6 页 解一 解一 是 1 与 7 的等差中项APcba成7 1 b 又是 1 与 3 的等差中项 3 2 71 ba1 2 31 a 又是 1 与 7 的等差中项 c5 2 73 c 解二 解二 设 1 1 a7 5 ad 15 17 2 d 所求的数列为 1 1 3 5 7 五 小结 等差数列的定义 通项公式 等差中项 六 作业 P118 习题 3 2 1 9 第四教时第四教时 教材 教材 等差数列 二 目的 目的 通过例题的讲解 要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义 并且能够用定义与 通项公式来判断一个数列是否成等差数列 过程 过程 一 复习 等差数列的定义 通项公式 二 例一 在等差数列中 为公差 若且 n ad Nqpnm qpnm 求证 1 2 qpnm aaaa dqpaa qp 证明 证明 1 设首项为 则 1 a dqpadqadpaaa dnmadnadmaaa qp nm 2 2 1 1 2 2 1 1 111 111 qpnm qpnm aaaa 2 dpaap 1 1 dpadqpdqadqpaq 1 1 11 dqpaa qp 注意 注意 由此可以证明一个定理 设成 AP 则与首末两项距离相等的两 项和等于首末两项的和 即 23121nnn aaaaaa 同样 若 则 pnm2 pnm aaa2 第 7 页 例二 在等差数列中 n a 1 若 求 aa 5 ba 1015 a 解 解 即 15510 2aaa 15 2aab aba 2 15 2 若 求 maa 8365 aa 解 解 65 aa maa 83 3 若 求 6 5 a15 8 a 14 a 解 解 即 daa 58 58 d3615 3 d 从而 33396 514 514 daa 4 若 求30 521 aaa 80 1076 aaa 151211 aaa 解 解 6 6 11 1 7 7 12 2 1116 2aaa 1227 2aaa 从而 2 151211 aaa 521 aaa 1076 aaa 2 151211 aaa 1076 aaa 521 aaa 2 80 30 130 三 判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1 定义法 定义法 即证明 1 常数daa nn 例三 课课练 第 3 课 例三 已知数列的前项和 求证数列成等差数列 n annnSn23 2 n a 并求其首项 公差 通项公式 解 解 123 11 Sa 当时 2 n 56 1 2 1 3 23 22 1 nnnnnSSa nnn 时 亦满足 1 n56 nan 首项 1 1 a 6 5 1 6 56 1 常数 nnaa nn 第 8 页 成 AP 且公差为 6 n a 2 中项法 中项法 即利用中项公式 若 则成 AP cab 2cba 例四 课课练 第 4 课 例一 已知 成 AP 求证 也成 AP a 1 b 1 c 1 a cb b ac c ba 证明 证明 成 AP 化简得 a 1 b 1 c 1 cab 112 2cabac ac caac ac cacab ac abacbc c ba a cb 222222 2 b ca cab ca ac ca 2 2 22 也成 AP a cb b ac c ba 3 通项公式法 通项公式法 利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质 n 例五 设数列其前项和 问这个数列成 AP 吗 n an32 2 nnSn 解 解 时 时 1 n2 11 Sa2 n32 1 nSSa nnn 32 1 naa n 不满足 32 2 n an 2 1 n n 数列不成 AP 但从第 2 项起成 AP n a 四 小结 略 五 作业 教学与测试 第 37 课 练习题 课课练 第 3 4 课中选 第五教时第五教时 教材 教材 等差数列前项和 一 n 目的 目的 要求学生掌握等差数列的求和公式 并且能够较熟练地运用解决问题 过程 过程 一 引言 P119 著名的数学家 高斯 德国 1777 1855 十岁时计算 1 2 3 100 的故事 故事结束 归结为 1 这是求等差数列 1 2 3 100 前 100 项和 第 9 页 2 高斯的解法是 前 100 项和 2 1001 100 100 S 即 2 1n n aan S 二 提出课题 等差数列的前项和n 1 证明公式 1 2 1n n aan S 证明 证明 nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn 2 23121nnnnnn aaaaaaaaS 23121nnn aaaaaa 由此得 2 1nn aanS 2 1n n aan S 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 推导公式 2 用上述公式要求必须具备三个条件 n S n aan 1 但 代入公式 1 即得 dnaan 1 1 2 1 1 dnn naSn 此公式要求必须具备三个条件 有时比较有用 n Sdan 1 总之 两个公式都表明要求必须已知中三个 n S n adan 1 3 例一 P120 例一 用公式 1 求 n S 例二 P120 例一 用公式 2 求n 学生练习 P122 练习 1 2 3 三 例三 P121 例三 求集合的元素个 100 7 mNnnmmM且 数 并求这些元素的和 解 解 由得 1007 n 7 2 14 7 100 n 正整数共有 14 个即中共有 14 个元素nM 即 7 14 21 98 是为首项7 1 aAPa的98 14 答 略735 2 987 14 n S 第 10 页 例四 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 前 20 项的和是 1220 由此可以确定求其前项和的公式吗 n 解 解 由题设 310 10 S1220 20 S 得 122019020 3104510 1 1 da da 6 4 1 d a nn nn nSn 2 36 2 1 4 四 小结 等差数列求和公式 五 作业 习题 3 1 P122 123 第六教时第六教时 教材 教材 等差数列前项和 二 n 目的 目的 使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题 从而提高学生分析问题 解决n 问题的能力 过程 过程 一 复习 等差数列前项和的公式n 二 例一 在等差数列中 1 已知 求和 n a48 8 S168 12 S 1 ad 解 解 1686612 48288 1 1 da da 8 1 a4 d 2 已知 求 40 53 aa 17 S 解 解 40 153171 aaaa340 2 4017 2 17 171 17 aa S 例二 已知 都成 AP 且 试求数 n a n b5 1 a15 1 b100 100100 ba 列的前 100 项之和 nn ba 100 S 解 解 6000 2 100155 100 2 100 10010011 100 baaa S 例三 一个等差数列的前 12 项之和为 354 前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32 27 求公差 第 11 页 解一 解一 设首项为 公差为 则 1 ad 17 32 2 2 56 6 2 2 56 6 354 2 1112 12 1 1 1 da dda da 5 d 解二 解二 由 27 32 354 奇 偶 偶奇 S S SS 162 192 奇 偶 S S dSS6 奇偶 5 d 例四 已知 问多少项之和为最 n n a 1 2lg10243010 0 2lg Nn 大 前多少项之和的绝对值最小 解 解 1 02lg1024 02lg 1 1024 1 na na n n 340334011 2lg 1024 2lg 1024 nn3402 n 2 0 2lg 2 1 1024 nn nSn 当近于 0 时其和绝对值最小 nn SS或0 令 即 1024 0 n S0 2lg 2 1 nn 得 99 68041 2lg 2048 n Nn 6805 n 例五 项数是的等差数列 中央两项为是方程的 n2 1 nn aa 和0 2 qpxx 两根 求证此数列的和是方程 0 lg lglg lg lglg 2222 pnxpnx 的根 0 2 n S 解 解 依题意 paa nn 1 paaaa nnn 121 np aan S n n 2 2 21 2 0 lg lglg lg lglg 2222 pnxpnx 获证 0 lg lg 2 npx n Snpx 2 第 12 页 例六 机动 作了解 求和 1 n 321 1 321 1 21 1 1 解 解 1 11 2 1 2 321 1 nnnnn an 1 2 1 1 1 2 1 11 3 1 2 1 2 1 1 2 n n nnn Sn 2 12 34 9798 99100 22222222 解 解 原式 50505010150 2 3199 37195199 三 作业 精编 P167 168 6 7 8 9 10 第七教时第七教时 教材 教材 等差数列的综合练习 目的 目的 通过练习 要求学生对等差数列的定义 通项公式 求和公式及其性质有深刻的理解 过程 过程 一 复习 1 等差数列的定义 通项公式 关于的一次函数n 2 判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3 求等差数列前项和的公式n 二 处理 教学与测试 P79 第 38 课 例题 1 2 3 三 补充例题 教学与测试 备用题 1 成等差数列的四个数之和为 26 第二数和第三数之积为 40 求这四个数 解 解 设四个数为dadadada3 3 则 40 26 3 3 dada dadadada 由 代入 得 2 13 a 2 3 d 四个数为 2 5 8 11 或 11 8 5 2 2 在等差数列中 若 求 n a2 1512841 aaaa 15 S 解 解 而 124151 aaaa 2 8 a3015 815 aS 3 已知等差数列的前项和为 前项和为 求前项和 nan2bn3 第 13 页 解 解 由题设 aSn bS n 2 而abaaa nnn 221 2 22132 21221nnnnnnn aaaaaaaaa 从而 32 212221213nnnnnnnn aaaaaaaaaS 3 3 221 abaaa nnn 四 补充例题 供参考 选用 4 已知 求及 1 1 a nn anS 2 1 n n a n S 解 解 从而有 1 22 1 1 nnnnn ananSSa 1 1 1 nn a n n a 1 1 a 3 1 2 a 3 1 4 2 3 a 3 1 4 2 5 3 4 a 3 1 4 2 5 3 6 4 5 a 1 2 34 1 1 123 2 1 nnnnn nn an 1 2 2 n n anS nn 5 已知 求的关系式及通项公式 2 1 4 2 NnaS n nn nn aaa和 11 n a 解 解 1 2 1 4 1 21 111 aaSa 2 1 11 2 2 1 4 2 1 4 n nn n nn aS aS 即 21 11 2 1 2 1 nn nnn aaa n nn aa 2 1 2 1 1 将上式两边同乘以得 n 2122 1 1 n n n n aa 即 122 1 1 n n n n aa 显然 是以 1 为首项 1 为公差的 AP n n a 1 2 nnan n 1 1 12 1 1 2 n n n a 6 已知 求及 n nn Saa23 11 且 n a n S 解 解 1 nnn SSa n nn SS22 1 1 22 1 1 n n n n SS 第 14 页 设 则是公差为 1 的等差数列 n n n S b 2 n b1 1 nbbn 又 2 3 22 11 1 aS b 2 1 2 n S n n1 2 12 n n nS 当时 2 n 2 1 2 32 n nnn nSSa 2 2 32 3 n n n a 2 1 n n 1 2 12 n n nS 7 设求证 1 433221 nnan 2 1 2 1 2 n a nn n 证 证 nnnn 2 1 2 12 2 1 1 2 n nnn 2 12 1 n nnn 2 12 31 321 n an n 2 1 2 1 2 n a nn n 五 作业 教学与测试 第 38 课 练习题 P80 第八教时第八教时 教材 教材 等比数列 一 目的 目的 要求学生理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算 过程 过程 一 1 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例 得一个数列 1 6332 2 2 2 2 1 2 数列 2 625 125 25 5 3 8 1 4 1 2 1 1 观察 归纳其共同特点 1 从第二项起 与 前一项 之比为常数 q 2 隐含 任一项00 qan且 3 q 1 时 an 为常数 第 15 页 二 通项公式 64 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 555 2 221 1 1 1 11 1 11 11 1 3 134 2 123 12 Nnna q q a a a a a q q a aqaa qaqaa qaqaa qaa nn n n n nn n nn n nn n n n n n 且如 数列 缩后图象上的孤立点 是经过指数函数纵向伸图象 如数列 或 三 例一 P127 例一 实际是等比数列 求 a5 a1 120 q 120 a5 120 1205 1 12052 5 1010 例二 P127 例二 强调通项公式的应用 例三 求下列各等比数列的通项公式 1 a1 2 a3 8 解 24 2 13 qqqaa nn n nn n aa 2 2 2 22 2 11 或 2 a1 5 且 2an 1 3an 解 1 1 1 2 3 55 2 3 n n n n aa a a q又 3 a1 5 且 1 1 n n a a n n 解 n n a a a a a a n n a a n n n n 1 3 2 2 1 1 12 3 1 21 以上各式相乘得 n a n an 31 1 四 关于等比中项 如果在 a b 中插入一个数 G 使 a G b 成 GP 则 G 是 a b 的等比中项 注意两解且同号两项才有等比中项 abGabG G b a G 2 例 2 与 8 的等比中项为 G 则 G2 16 G 4 例四 已知 b 是 a 与 c 的等比中项 且 a b c 同号 第 16 页 求证 也成 GP 3 3 3 abc cabcabcba 证 由题设 b2 ac 得 2 2 333 3 333 cabcabbcbab b cba abc cba 也成 GP 3 3 3 abc cabcabcba 五 小结 等比数列定义 通项公式 中项定理 六 作业 P129 习题 3 4 1 8 第九教时 教材教材 等比数列 二 目的目的 在熟悉等比数列有关概念的基础上 要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质 并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法 过程过程 一 复习 1 等比数列的定义 通项公式 中项 2 处理课本 P128 练习 重点是第三题 二 等比数列的有关性质 1 与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方 2 若 则 qpnm qpnm aaaa 例一 1 在等比数列 已知 求 n a5 1 a100 109 aa 18 a 解 109181 aaaa 20 5 100 1 109 18 a aa a 2 在等比数列中 求该数列前七项之积 n b3 4 b 第 17 页 解 45362717654321 bbbbbbbbbbbbbb 前七项之积 536271 2 4 bbbbbbb 2187333 7 3 2 3 在等比数列中 求 n a2 2 a54 5 a 8 a 解 1458 2 54 54 2 5 5 3 58 a a aqaa 另解 是与的等比中项 5 a 2 a 8 a254 8 2 a 1458 8 a 三 判断一个数列是否成 GP 的方法 1 定义法 2 中项法 3 通项公式法 例二 已知无穷数列 10 10 10 10 5 1 5 2 5 1 5 0 n 求证 1 这个数列成 GP 2 这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1 3 这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证 1 常数 该数列成 GP 5 1 5 2 5 1 1 10 10 10 n n n n a a 2 即 10 1 10 10 10 1 5 4 5 1 5 n n n n a a 5 10 1 nn aa 3 5 2 5 1 5 1 101010 qpqp qpa aNqp 2 qp 且 第项 11 qp Nqp 1 5 1n 5 2 1010 qp 1 qp 例三 设均为非零实数 dcba 02 22222 cbdcabdba 求证 成 GP 且公比为 cba d 证一 关于的二次方程有实根 d 02 22222 cbdcabdba 044 22 2 2 bacab 0 2 2 acb 则必有 即 成 GP0 2 acbacb 2 cba 设公比为 则 代入qaqb 2 aqc 02 422222222 qaqadaqaaqdqaa 第 18 页 即 即 01 22 aq02 22 qqdd0 qd 证二 02 22222 cbdcabdba 022 222222 cbcddbbabdda 且 0 22 cbdbadbad cbd 非零 dcba d b c a b 四 作业 课课练 P127 128 课时 7 中 练习 4 8 P128 129 课时 8 中 例一 例二 例三 练习 5 6 7 8 第十教时 教材教材 等比数列的前项和n 目的目的 要求学生掌握求等比数列前项的和的 公式 并了解推导公式所用的方法 n 过程过程 一 复习等比数列的通项公式 有关性质 及等比中项等概念 二 引进课题 采用印度国际象棋发明者的故事 即求 6362 64 228421 s 用错项相消法推导结果 两边同乘以公比 6463 64 22168422 S 这是一个庞大的数字 1 84 1221 6464 64 S 19 10 以小麦千粒重为 40计算 则麦粒总质量达 7000 亿吨 国王是拿不出来的 g 三 一般公式推导 设 nnn aaaaaS 1321 乘以公比 q nnnn qaaaaaqS 132 时 nn qaaSq 1 11 q q qa q aqa q qaa S nn n n 1 1 11 111 时 1 q 1 naSn 注意 1 和各已知三个可求第四个 n Snqa 1nn Sqaa 1 2 注意求和公式中是 通项公式中是不要混淆 n q 1 n q 第 19 页 3 应用求和公式时 必要时应讨论的情况 1 q1 q 四 例 1 P131 例一略 直接应用公式 例 2 P131 例二略 应用题 且是公式逆用 求 要用对数算 n 例 3 P131 132 例三略 简单的 分项法 例 4 设数列为求此数列前项的和 n a 132 4 3 2 1 n nxxxx 0 xn 解 用错项相消法 132 4321 n n nxxxxS nn n nxxnxxxxS 132 132 nn n nxxxxSx 12 11 当时 1 x x nxxn x nxnxx nx x x Sx nnnnn n n n 1 11 1 1 1 1 1 11 2 1 1 11 x nxxn S nn n 当时 1 x 2 1 4321 nn nSn 五 小结 1 等比数列前项和的公式 及其注意点 2 错项相消法 n 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法 作机动 法 1 设 nn aaaaS 321 成 GP n aq a a a a a a a a n n 13 4 2 3 1 2 由等比定理 即 1321 321 q aaaa aaaa n n q aS aS nn n 1 当时 1 q q qa q qaa S n n n 1 1 1 11 当时 1 q 1 naSn 法 2 1 1 2 111 n n qaqaqaaS 2 1 2 1111 n qaqaqaaqa nnn aSqaqSa 111 从而 当时 下略 qaaSq nn1 11 q q qaa S n n 1 1 第 20 页 当时1 q 1 naSn 六 作业 P132 133 练习 习题 3 5 第十一教时第十一教时 教材 教材 等比数列 教学与测试 第 40 41 课 目的 目的 通过处理有关习题以达到复习 巩固等比数列的有关知识与概念的目的 过程 过程 一 复习 等比数列的有关概念 等比数列前 n 项和的公式 二 处理 教学与测试 第 40 课 例一 P83 先要求 x 还要检验 等比数列中任一项 an 0 q 0 例二 P83 注意讲 1 设 的技巧 2 区别 计划增产台数 与 实际生产台数 例三 P83 涉及字母比较多 5 个 要注意消去 a2 a4 例四 备用题 已知等比数列 an 的通项公式且 1 2 1 3 n n a nnnn aaab 31323 求证 bn 成 GP 证 1 2 1 3 n n a 132333 31323 2 1 3 2 1 3 2 1 3 nnn nnnn aaab 3333 2 1 4 21 4 1 2 1 1 2 1 3 nn bn 成 GP 31 2 1 n n b b 三 处理 教学与测试 第 41 课 例一 P85 可利用等比数列性质 a1an a2 an 1 再结合韦达定理求出 a1与 an 两解 再求解 例二 P85 考虑由前项求通项 得出数列 an 再得出数列 再求和 注意 n a 1 从第二项起是公比为的 GP 2 1 例三 P85 应用题 先弄清 资金数 上年资金 1 50 消费基金 然后逐一 推算 用数列观点写出 a5 再用求和公式代入求解 例四 备用题 已知数列 an 中 a1 2 且 an 1 Sn 求 an Sn 解 an 1 Sn 又 an 1 Sn 1 Sn Sn 1 2Sn Sn 是公比为 2 的等比数列 其首项为 S1 a1 2 S1 a1 2n 1 2n 第 21 页 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 2 2 1 2 1 n n a n n 例五 备用题 是否存在数列 an 其前项和 Sn组成的数列 Sn 也是等比数列 且公 比相同 解 设等比数列 an 的公比为 q 如果 Sn 是公比为 q 的等比数列 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q qa qna SqaqSS n n nn n 而 11 1 1 1 1 11 1 1 1 矛盾得即 时nnq n n na an S S naqaSq n nn n 1 1 1 1 1 1 1 111 1 矛盾即 时 qq q q S S q qa qaSq n n n n n n n 所以 这样的等比数列不存在 四 作业 教学与测试 P84 P86 练习题 第十二教时第十二教时 教材教材 等比数列综合练习 目的目的 系统复习等比数列的概念及有关知识 要求学生能熟练的处理有关问题 过程过程 一 处理 教学与测试 P87 第 42 课习题课 2 1 练习题 1 选择题 2 例一 略 注意需用性质 3 例三 略 作图解决 解 nn n n PPPPPPPPBPABAP 14332211 1 n na aa a 2 1 22 2 12 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 2 1 1 n n n n aa 二 补充例题 1 在等比数列中 求的范围 n a400 60 36 4231 n Saaaan 解 36 2 2 131 qaaa6 1 qa 又 且 601 2 142 qqaaa 01 2 q0 1 qa B AP2P1P3P4 Pn 第 22 页 解之 101 6 2 1 qqa 3 2 3 2 11 q a q a 或 当时 3 2 1 qa 4013400 2 132 1 1 1 n nn n q qa S6 n 27335 72936 当时 3 2 1 qa 8013400 4 132 n n n S 且必须为偶数 Nn 8 n 65613 21873 87 2 等比数列前项和与积分别为 S 和 T 数列的前项和为 n an n a 1 n S 求证 n S S T 2 证 当时 1 q 1 naS n aT 1 1 a n S 成立 2 2 1 1 1 1 Ta a n na S S n n n 当时 1 q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 qqa q q qa SqaT q qa S n nn nn n 成立 2 2 1 2 1 1 1 2 1 Tqaqa S S nn n n n n 综上所述 命题成立 3 设首项为正数的等比数列 它的前项之和为 80 前项之和为 6560 且前nn2 项中数值最大的项为 54 求此数列 n 解 81821 26560 1 1 180 1 1 2 1 1 nn n n qq q qa q qa 代入 1 得 从而 qqa n 1801 1 01 1 qa1 q 递增 前项中数值最大的项应为第项 n ann 第 23 页 54 1 1 n qa 3 275481 541 1 111 n n nnnn q q qqqqqq 此数列为2 1 a 162 54 18 6 2 4 设数列前项之和为 若且 n an n S2 1 21 SS 2023 11 nSSS nnn 问 数列成 GP 吗 n a 解 即023 11 nnn SSS 02 11 nnnn SSSS02 1 nn aa 即 成 GP2 1 n n a a 2 n n a 2 n 又 2 1 1 1 2 12211 a a SSaSa 不成 GP 但时成 GP 即 n a 2 n 22 11 1 n n a n n 三 作业 教学与测试 P87 88 练习题 3 4 5 6 7 补充 1 三数成 GP 若将第三数减去 32 则成 AP 若将该等差数列中项减 去 4 以成 GP 求原三数 2 10 50 或 9 38 9 26 9 2 2 一个等比数列前项的和为前项之和 求 n 48 n Sn260 2 n S n S3 63 3 在等比数列中 已知 求 36 4 63 Sa n a 1 2 7 1 n 精编 P176 177 第 2 4 题 第十三教时第十三教时 教材 教材 数列求和 目的 目的 小结数列求和的常用方法 尤其是要求学生初步掌握用拆项法 裂项法和错位法求一 些特殊的数列 过程 过程 一 提出课题 数列求和 特殊数列求和 常用数列的前 n 项和 2 1 321 nn n 2 12 531nn 第 24 页 6 12 1 321 2222 nnn n 23333 2 1 321 nn n 二 拆项法 例一 教学与测试 P91 例二 求数列的前 n 项和 23 1 10 1 7 1 4 1 11 132 n aaaa n 解 设数列的通项为 an 前 n 项和为 Sn 则 23 1 1 n a a n n 23 741 111 1 12 n aaa S n n 当时 1 a 2 3 2 231 2 nnnn nSn 当时 1 a 2 13 1 2 231 1 1 1 1 1 nn aa ann a a S nn n n n 三 裂项法 例二 求数列前 n 项和 1 6 43 6 32 6 21 6 nn 解 设数列的通项为 bn 则 1 11 6 1 nnnn bn 1 6 1 1 1 6 1 11 3 1 2 1 2 1 1 6 21 n n n nn bbbS nn 例三 求数列前 n 项和 1 21 1 321 1 21 1 n 解 2 1 1 1 2 2 1 2 1 21 1 nnnnn an 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 n n nnn Sn 四 错位法 例四 求数列前 n 项和 2 1 n n 解 n n nS 2 1 8 1 3 4 1 2 2 1 1 第 25 页 1 2 1 2 1 1 16 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 nn n nnS 两式相减 11 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 8 1 4 1 2 1 2 1 n n nn n n nS nnnn n nn S 22 1 2 22 1 1 2 11 例五 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 2 1 2 Nn a S n n 求数列 an 的前 n 项和 解 取 n 1 则1 2 1 1 21 1 a a a 又 可得 2 1n n aan S 21 2 1 2 nn aaan 12 1 naNna nn 2 12 531nnSn 五 作业 教学与测试 P91 92 第 44 课 练习 3 4 5 6 7 补充 1 求数列前 n 项和 23 1 10 7 4 1 n n 为偶数 为奇数 n n n n Sn 2 3 2 13 2 求数列前 n 项和 2 32 3 n n 3 2 12 8 n n 3 求和 5050 12 9798 99100 222222 4 求和 1 4 2 5 3 6 n n 1 3 51 nnn 5 求数列 1 1 a 1 a a2 1 a a2 an 1 前 n 项和 2 1 1 1 01 2 1 1 0 a aann Sa nn Sa nSa n n n n 时 时 时 第 26 页 第十四教时第十四教时 教材 教材 数列的应用 目的 目的 引导学生接触生活中的实例 用数列的有关知识解决具体问题 同时了解处理 共项 问题 过程 过程 五 例题 1 教学与测试 P93 例一 大楼共 n 层 现每层指定一人 共 n 人集中到设在第 k 层 的临时会议室开会 问 k 如何确定能使 n 位参加人员上 下楼梯所走的路程总和最 短 假定相邻两层楼梯长相等 解 设相邻两层楼梯长为 a 则 2 1 21 0 121 2 2 nn knka knkaS 当 n 为奇数时 取 S 达到最小值 2 1 n k 当 n 为偶数时 取 S 达到最大值 2 2 2 nn k或 2 在 1000 2000 内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个 解 不妨设 14 3 Nnmmbna mn 则 cp 为 an 与 bn 的公共项构成的等差数列 1000 cp 2000 an bm 即 3n 4m 1 令 n 3 则 m 2 c1 9 且有上式可知 d 12 cp 9 12 p 1 p N 由 1000 cn 2000 解得 12 11 166 12 7 83 p p 取 84 85 166 共 83 项 3 某城市 1991 年底人口为 500 万 人均住房面积为 6 m2 如果该城市每年人口平均 增长率为 1 每年平均新增住房面积为 30 万 m2 求 2000 年底该城市人均住房面 积为多少 m2 精确到 0 01 解 1991 年 1992 年 2000 年住房面积总数成 AP a1 6 500 3000 万 m2 d 30 万 m2 a10 3000 9 30 3270 1990 年 1991 年 2000 年人口数成 GP b1 500 q 1 8 5460937 1 50001 1500 9 10 b 2000 年底该城市人均住房面积为 2 98 5 8 546 3270 m 第 27 页 4 精编 P175 例 3 从盛有盐的质量分数为 20 的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg 盐水 然后加入 1 kg 水 以后每次都倒出 1 kg 盐水 然后再加入 1 kg 水 问 1 第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g 2 经 6 次倒出后 一共倒出多少 k 盐 此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量 分数为多少 解 1 每次倒出的盐的质量所成的数列为 an 则 a1 0 2 kg a2 0 2 kg a3 2 0 2 kg 2 1 2 1 由此可见 an n 1 0 2 kg a5 5 1 0 2 4 0 2 0 0125 kg 2 1 2 1 2 1 2 由 1 得 an 是等比数列 a1 0 2 q 2 1 003125 0 200625 0 00625 0 39375 0 4 0 39375 0 2 1 1 2 1 1 2 0 1 1 6 6 1 6 kg q qa S 六 作业 教学与测试 P94 练习 3 4 5 6 7 精编 P177 5 6 第十五教时第十五教时 教材 教材 等差 等比数列的综合练习 目的 目的 通过复习要求学生对等差 等比数列有更深刻的理解 逐渐形成熟练技巧 过程 过程 七 小结 等差 等比数列的定义 通项公式 中项公式 性质 求和公式 八 处理 教学与测试 P81 第 39 课 习题课 1 1 基础训练题 2 例一 由求 用定义法判定成 AP n S n a n a 例二 关键是首先要判定或 0 d0 d 九 处理 教学与测试 P89 第 43 课 等差数列与等比数列 1 例一 设 利用中项公式 求解 2 例二 设 的技巧 然后依题意列式 再求解 3 例三 已知数列中 是它的前项和 并且 n a n Sn24 1 nn aS1 1 a 1 设 求证数列是等比数列 nnn aab2 1 n b 第 28 页 2 设 求证数列是等差数列 n n n a c 2 n c 证 证 1 1 1 a514 21221 aaSaa32 121 aab 两式相减得 24 1 nn aS24 12 nn aS nnn aaa 12 4 即 2 22 112nnnn aaaa nnn aab2 1 即是公比为 2 的等比数列 nn bb2 1 n b 1 23 n n b 2 n n n a c 2 11 1 1 1 1 22 2 22 n n n nn n n n n nn baaaa cc 将代入 成 AP 1 23 n n b 4 3 1 nn cc n c 十 1 P90 思考题 在 ABC 中 三边成等差数列 也成等差数列 cba cba 求证 ABC 为正三角形 证 证 由题设 且 cab 2cab 2cacab24 即 从而 获证 caca2 0 2 caca cab 2 备用题 三数成等比数列 若将第三个数减去 32 则成等差数列 若再将这等差 数列的第二个数减去 4 则又成等比数列 求原来三个数 解 解 设原来三个数为 则必有 2 aqaqa 32 2 2 aqaaq 32 4 22 aqaaq 由 代入 得 或 从而或 13 a a q 24 2 a 9 5 a5 q 原来三个数为 2 10 50 或 9 338 9 26 9 2 十一 作业 教学与测试 P81 82 练习题 3 4 5 6 7 P90 5 6 7 8 第十六教时第十六教时 教材 教材 数列极限的定义 目的 目的 要求学生首先从实例 感性 去认识数列极限的含义 体验什么叫无限地 趋近 然后初步学会用语言来说明数列的极限 从而使学生在学习数学中的 有限 到N 无限 来一个飞跃 过程 过程 第 29 页 十二 实例 1 当 无限增大时 圆的内接正 边形周长无限趋近于圆周长nn 2 在双曲线中 当时曲线与轴的距离无限趋近于 01 xy xx 十三 提出课题 数列的极限 考察下面的极限 1 数列 1 10 1 10 1 10 1 10 1 32n 项 随的增大而减少 但都大于 0n 当无限增大时 相应的项可以 无限趋近于 常数 0n n 10 1 2 数列 2 1 4 3 3 2 2 1 n n 项 随的增大而增大 但都小于 1n 当无限增大时 相应的项可以 无限趋近于 常数 1n 1 n n 3 数列 3 1 3 1 2 1 1 n n 项 的正负交错地排列 并且随的增大其绝对值减小n 当无限增大时 相应的项可以 无限趋近于 常数n n n 1 引导观察并小结 最后抽象出定义 定义 一般地 当项数无限增大时 无穷数列的项无限地趋近于某个数n n a n a 即无限地接近于 0 那么就说数列以为极限 或者说是数列aaan n aaa 的极限 由于要 无限趋近于 所以只有无穷数列才有极限 n a 数列 1 的极限为 0 数列 2 的极限为 1 数列 3 的极限为 0 十四 例一 课本上例一 略 注意 首先考察数列是递增 递减还是摆动数列 再