第一讲巧数图形

点亮教育奥数班讲义 1 第一讲 巧数图形 小朋友们 我们数学课上学习了四边形 你还记得他们的特点吗 你们是 不是做过下面的这种题 图中共有 个平行四边形 这属于我们奥数里边的一个专题 巧数图形 你能快速的数出来吗 有没有什 么巧妙的办法呢 现在让我们一起看一下吧 一 数线段一 数线段 例例1 1数出右图中共有多少条线段 方法一 方法一 找规律数线段 共有3 2 1 6 条 方法二 方法二 分类数线段 共有3 2 1 6 条 例例2 2 数出右面图中共有多少条线段 解析 解析 线段有一个重要特征 线段都是笔直的 所以 我们在数的时候 必须将这幅图分成四个部分 每一 部分分别采用以线段左端点分类数的方法 然后把四 部分算得结果加起来 第一部分从A到E共有4 3 2 1 10条线段 第二部分从G到J共有4 3 2 1 10条线段 第三部分是FG一条线段 第四部分是JK一条线段 10 10 1 1 22 条 例例3 3 一条线段上共有10个点 以这10个点为端点的不同线段共有多少条 分析分析 一条线段上有10个点 那么我们先把线段画出来 因此 共有线段 9 8 3 2 1 9 1 9 2 45 条 点亮教育奥数班讲义 2 总结 总结 1 1 找规律数线段 找规律数线段 一般地 如果线段上有几个点 其中n是大于或等于2的自然数 那么 以这n个点为端点的线段共有 n 1 n 2 3 2 1 n n 1 2 2 2 分类数线段 分类数线段 练习练习 下列图形中各有多少条线段 3 二 数角二 数角 例例4 4 右面图形中有几个角 分析 方法和数线段相同 练习练习 个角 个角 三 数三角形三 数三角形 例例5 5 数出下面图中共有多少个三角形 方法一方法一 数三角形个数的方法与数线段的方法差不多 方法二方法二 我们可以发现 可以抓住底边BC来考虑 底边BC中所包含的每一条 线段都恰好对应一个三角形 底边左端点是B的三角形共有 BDA BEA BCA三个 底边左端点是D的三角形共有 DEA DCA两个 点亮教育奥数班讲义 3 底边左端点是E的三角形只有 ECA一个 所以一共有三角形 3 2 1 6 个 方法三方法三 我们把图中 ABC ACD ADE看作基本三角形 由1个基本三角形构成的三角形有 ABC ACD ADE 由2个基本三角形构成的三角形有 ABD ACE 由3个基本三角形构成的三角形有 ABE 所以3 2 1 6 个 例例6 6 数一数图中共有多少个三角形 思路分析 我们可以将这幅图分成三个部分来数 即下面三幅图 在 ABC中 一共有5 4 3 2 1 15 个 三角形 在 ABD中 一共有5 4 3 2 1 15 个 三角形 在 BDC中 一共有5个三角形 所以 15 15 5 35 个 例例7 7 图中共有多少个不同的三角形 思路分析 可以用上一题的方法 也可以有另外的思路 横着看 有3个基本三角形 所以1 2 3 6 竖着看 有两行 所以三角形个数为6 2 12个 例例8 8 数出下图中共有多少个三角形 思路分析 这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数 把 图中最小的一个三角形看作基本图形 由一个基本三角形构成的三角形共有8个 由两个基本三角形构成的三角形共有4个 由四个基本三角形构成的三角形共有4个 因此 8 4 4 16 个 点亮教育奥数班讲义 4 例例9 9 数出下面图形中共有多少个三角形 解析 分类数三角形 由一个基本三角形构成的三角形共有9个 由四个基本三角形构成的三角形共有3个 由九个基本三角形构成的三角形只有1个 因此9 3 1 13 个 所以 图形中共有13个三角形 例例1010 数出下图中共有多少个三角形 思路分析 分类编号 由一块形成的三角形有4个 由两块拼成的三角形有5个 分别是 由三块拼成的三角形有两个 分别为 由四块拼成的三角形有1个 即是 没有由五块拼成的三角形 由六块拼成的三角形有1个 即最大的三角形 所以 图中三角形一共有4 5 2 1 1 13 个 总结 总结 1 1 找规律数三角形 找规律数三角形 2 2 纵横数三角形 纵横数三角形 3 3 分类数三角形 分类数三角形 练习练习 下列图形中各有多少个三角形 个三角形 个三角形 个三角形 点亮教育奥数班讲义 5 个三角形 个三角形 个三角形 四 数四边形四 数四边形 例例1111 数出各图中正方形的个数 解析 1 中最基本的正方形有9个 9 3 3 由4个基本正方形组成的正方形有4个 4 2 2 由9个基本正方形组成的正方形有1个 1 1 1 所以共有正方形9 4 1 14 个 2 中边长为1的正方形有16个 即16 4 4 边长为2的正方形有9个 即9 3 3 边长为3的正方形有4个 即4 2 2 边长为4的正方形有1个 即1 1 1 所以共有正方形有16 9 4 1 30 个 例例1212 图中共有多少个正方形 解析 将正方形分类 由两块小三角形构成的正方形有4个 由四块小三角形构成的正方形有4个 由八块小三角形构成的正方形有1个 由十六块小三角形构成的正方形有1个 由一 三 五 七 六 九 十 十一 十二 十三 十四 十五块小三角形 不能构成正方形 所以 图中共有4 4 1 1 10 个 正方形 例例1313 数出图中共有多少个正方形 方法一方法一 根据正方形边长的大小 我们将它们分成四类 点亮教育奥数班讲义 6 第1类 边长为1的正方形有24个 第2类 边长为2的正方形有13个 第3类 边长为3的正方形有4个 第4类 边长为4的正方形有1个 所以图中共有24 13 4 1 42 个 正方形 方法二方法二 如果把四条边长多出的8个小正方形去掉 很容易得出共有1 1 2 2 3 3 4 4 30 个 正方形 添上了去掉的小正方形后 这8个小正方形还能 再和其他图形组成4个新的正方形 所以 图中共有30 8 4 42 个 正方形 例例1414 在下图中 包含 号的长方形和正方形共有多少个 解析 解析 按包含的小块分类计数 包含1小块的有1个 包含2小块的有4个 包含3小块的有4个 包含4小块的有7个 包含5小块的有2个 包含6小块的有6个 包含8小块的有4个 包含9小块的有3个 包含10小块的有2个 包含12小块的有4个 包含15小块的有2个 所以共有1 4 4 7 2 6 4 3 2 4 2 39 个 例题例题1515 如下图 平面上有12个点 可任意取其中四个点围成一 个正方形 这样的正方形有多少个 分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形 从图中可以 看出 1 最小的正方形有6个 2 由4个小正方形组合而成的正方形有2个 点亮教育奥数班讲义 7 3 中间还可围成2个正方形 所以共有6 2 2 10个 例例1616 下面两幅图中各有多少个长方形 思路分析 1 找规律数长方形 所以 图中长方形共有4 3 2 1 10 个 2 纵横数长方形 横着看有三排 3 2 1 6 竖着看有两行 1 2 3 所以 图中共有长方形6 3 18 个 例例1717 下图中共有多少个长方形 思路分析 分类数长方形 我们可以先将大长方形中的5小块编上号 这5块都是符合要求的长方形 由两小块拼成的长方形 共有4个 即 由三小