2019-2020学年高中数学 课时作业12 正弦定理 北师大版必修5

1 课时作业课时作业 十二十二 1 在 abc 中 角 a b c 所对的边分别是 a b c 若 a 105 b 45 b 2 则 c 2 a b 1 2 2 c d 2 2 答案 d 2 在 abc 中 a 3 b 3 a 120 则 b 的值为 3 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 a 3 下列对三角形的情况的判断中 正确的是 a a 4 b 5 a 30 有一解 b a 5 b 4 a 60 有两解 c a b a 120 有一解 32 d a b a 60 无解 36 答案 d 4 在 abc 中 若 则 b 的值为 sina a cosb b a 30 b 45 c 60 d 90 答案 b 解析 cosb sinb sina a sinb b cosb b sinb b 从而 tanb 1 又 0 bbsina 3 2 2 3 b 或 3 2 3 6 以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是 a 在 abc 中 a b c sina sinb sinc b 在 abc 中 a b sin2a sin2b c 在 abc 中 a sina b c sinb sinc d 在 abc 中 正弦值较大的角所对的边也较大 答案 b 解析 对于 b 项 当 a b 时 sina sinb 且 cosa cosb sin2a sin2b 但是反过来若 sin2a sin2b 2a 2b 或 2a 2b 即 a b 或 a b 2 不一定 a b b 错误 7 在 abc 中 a b c 4 1 1 则 a b c 为 a 3 1 1 b 2 1 1 c 1 1 d 1 1 23 答案 d 解析 由已知得 a 120 b c 30 根据正弦定理的变形形式 得 a b c sina sinb sinc 1 1 3 8 在 abc 中 若 则 abc 是 cosa cosb b a a 等腰三角形b 等边三角形 c 直角三角形d 等腰三角形或直角三角形 答案 d 解析 sin2a sin2b 2a 2b 或 2a 2b a b 或 a b cosa cosb sinb sina 2 9 在 abc 中 内角 a b c 的对边的边长分别是 a b c 且 bcosc 2a c cosb 则 角 b 的大小为 a b 3 6 3 c d 12 4 答案 a 10 2015 宁波高一检测 已知 abc 的内角 a b c 所对的边为 a b c 且 acosc c b 则角 a 等于 1 2 a b 3 4 c d 6 12 答案 a 11 在 abc 中 若 tana c 150 bc 1 则 ab 1 3 答案 10 2 解析 tana sina 1 3 10 10 由正弦定理 知 ab sinc bc sina ab sinc bc sina sin150 10 10 10 2 12 在 abc 中 a b c 分别是角 a b c 的对边 则 a sinc sinb b sina sinc c sinb sina 答案 0 解析 asinb bsina a sina b sinb 同理可得 asinc csina 且 bsinc csinb 原式 0 13 在 abc 中 lg sina sinc 2lgsinb lg sinc sina 则该三角形的形状是 答案 直角三角形 解析 由已知条件 得 lg sina sinc lg sinc sina lgsin2b sin2c sin2a sin2b 由正弦定理可得 c2 a2 b2 故三角形为直角三角形 14 已知在 abc 中 a 45 a 2 c 解此三角形 6 解析 由正弦定理 得 a sina c sinc 4 sinc sin45 6 2 6 2 2 2 3 2 因为 a 45 c a 所以 c 60 或 120 所以 b 180 60 45 75 或 b 180 120 45 15 又因为 b 所以 b 1 或 1 asinb sina33 所以 c 60 b 75 b 1 3 或 c 120 b 15 b 1 3 15 关于 x 的方程 x2 bcosa x acosb 0 的两根之积等于两根之和 其中 a b a b 分别是 abc 的边和角 试判断 abc 的形状 解析 由题意知 bcosa acosb 由正弦定理有 a sina b sinb 所以 sinbcosa sinacosb 所以 sin a b 0 所以 a b 所以 abc 是等腰三角形 16 在 abc 中 c a sinb 2 1 3 1 求 sina 的值 2 设 ac 求 abc 的面积 6 解析 1 由 c a 和 a b c 得 2a b 0 a 2 2 4 故 cos2a sinb 即 1 2sin2a sina 1 3 3 3 2 由 1 得 cosa 6 3 又由正弦定理 得 bc ac 3 bc sina ac sinb sina sinb2 所以 s abc ac bc sinc ac bc cosa 3 1 2 1 22 例 1 为何说任意一个三角形中 一边与其所对应的角的正弦值之比都等于该三角形 的外接圆的直径 即 2r r 为 abc 的外接圆半径 a sina b sinb c sinc 解析 如图 1 当 abc 为直角三角形时 直接得到 2r a b c 分别为 abc 中角 a b c 的对边 r 为外接圆半径 a sina b sinb c sinc 5 如图 2 当 abc 为锐角三角形时 连接 bo 交圆 o 于 d 连接 cd 因为 a d 则在 bcd 中 2r 同理 2r 即 2r a sina a sind b sinb c sinc a sina b sinb c sinc 如图 3 当 abc 为钝角三角形时 连接 bo 交圆 o 于 d 连接 cd a 180 d 所以 2r 同理 2r 即 a sina a sin 180 d a sind b sinb c sinc 2r a sina b sinb c sinc 综上所述 对于任意 abc 2r 恒成立 a sina b sinb c sinc 例 2 在 abc 中 设 a a b b c c 并且a a b b b b c c c c a a 求证 abc 为 bc ca ab 正三角形 证明 如图所示 由a a b b b