高三数学试题

高三数学试题高三数学试题 1 填空题 1 假设某 10 张奖券中有 1 张 奖品价值 100 元 有二等奖 3 张 每份奖品价值 50 元 其 余 6 张没有奖 现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张 获得奖品的总价值不少于其数学期望 的概率为 E 2 已知对任意的 不等式 00 1 1xy 恒成立 则实数的取值范围为 22 2 68 210 xxyya xx a 3 在平面上 将两个半圆弧和xOy 22 1 1 1 xyx 两条直线和围成的封 22 3 1 3 xyx 1y 1y 闭图形记为 D 如图中阴影部分 记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 过作的水平截面 所得截 0 1 yy 面面积为 试利用祖暅原理 一个平放的 2 418y 圆柱和一个长方体 得出的体积值为 4 已知是定义在上的增函数 且的图像关于点对称 若实数 x yf x A yf x 6 0 y 满足不等式 则的取值范围 22 6 836 0f xxf yy 22 xy 5 已知一玻璃杯杯口直径 6cm 杯深 8cm 如图所示 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物 线的一部分 一个玻璃小球放入玻璃杯中 若小球能够碰到杯底 求小球半径的范围 不记玻 璃杯的玻璃厚度 二 选择题 6 已知 O 是外接圆的圆心 A B C 为的内角 若ABC ABC 则 m 的值为 答 coscos 2 sinsin BC ABACm AO CB A 1B C D sin Acos Atan A 7 已知点列均为函数的图像上 点列满 nnn Aa bnN 0 1 x yaaa 0 n Bn 足 若数列中任意连续三项能构成三角形的三边 则的取值范围 1nnnn A BA B n ba 为 A B 5151 0 22 5151 11 22 C D 3131 0 22 3131 11 22 8 过圆的圆心 作直线分别交 x y 正半轴于点 22 1 1 1C xy A B 被圆分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足则直AOB SSSS 线 AB 有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 三 解答题 9 已知直线是双曲线的一条渐近线 点都2yx 22 22 1 xy C ab 1 0 0AM m nn 在双曲线上 直线 AM 与轴相交于点 P 设坐标原点为 O Cy 1 设点 M 关于 y 轴相交的对称点为 N 直线 AN 与 y 轴相交于点 Q 问 在轴上是否x 存在定点 T 使得若存在 求出点 T 的坐标 若不存在 请说明理由 TPTQ 2 若过点的直线 与双曲线 C 交于 R S 两点 且 试求直线 0 2DlOROSRS 的方程 l 10 已知双曲线 设过点的直线 l 的方向向量为 2 2 1 2 x Cy 3 2 0 A 1 ek 1 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时 求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离 2 证明 当时 在双曲线 C 的右支上不存在点 Q 使之到直线 l 的距离为 2 2 k 6 11 已知集合 M 是满足下列性质的函数的全体 存在非零常数 k 对定义域中的任意 f x x 等式 恒成立 f kx 2 k f x 1 判断一次函数 ax b a 0 是否属于集合 M f x 2 证明函数 属于集合 M 并找出一个常数 k f x 2 log x 3 已知函数 a 1 与 y x 的图象有公共点 证明 M f xlogax f xlogax 12 设函数和都是定义在集合上的函数 对于任意的 都有 xf xgMxM 成立 称函数与在上互为 函数 xfgxgf xf xgMH 1 函数与在上互为 函数 求集合 xxf2 xxgsin MHM 2 若函数 与在集合上互为 函数 x axf 0aa 且1 1 xxgMH 求证 1 a 3 函数与在集合且 上互为 2 xxf xg1 xxM32 kx Nk H 函数 当时 且在上是偶函数 求函数10 x 1 log 2 xxg xg 1 1 xg 在集合上的解析式 M 13 设数列的前项和为 且 n an n S 2 1 nnn Sa SnN 1 求出的值 并求出及数列的通项公式 123 S SS n S n a 2 设 求数列的前项和 1 1 1 n nnn ba anN n bn n T 3 设 在数列中取出项 按照原来 1 nn cnanN n c 3m mNm 且 的 顺序排列成一列 构成等比数列 若对任意的数列 均有 n d n d 试求的最小值 12n dddM M 14 已知数列的各项均为正数 其前项的和为 满足 n an n S nn apSp 2 1 其中为正常数 且 Nn p1 p 1 求数列的通项公式 n a 2 是否存在正整数 使得当时 恒成立 若MMn 7823741 aaaaa n 存在 求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值 若不存在 请说明理由 pM 3 若 设数列对任意 都有 2 1 p n b Nn 2123121 abababab nnnn 问数列是不是等差数列 若是 请求出其通项公式 若不是 1 2 1 2 1 nab n n n b 请说明理由 15 已知抛物线上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于 5 0 2 2 ppxyC 1 求抛物线的方程 2 设直线与抛物线交于两点 且 0 kbkxy 2211 yxByxA 是弦的中点 过做平行于轴的直线交抛物线于点 0 21 aayyMABMxD 得到 在分别过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点 得到ABD BDAD xFE 三角形 按此方法继续下去 BDFADE 解决如下问题 求证 计算的面积 根据的面积的计算结 2 2 1 16 k kb a ABD ABD S ABD 果 写出的面积 请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积BDFADE CAB 的方法 并求出封闭图形的面积 1 假设某 10 张奖券中有 1 张 奖品价值 100 元 有二等奖 3 张 每份奖品价值 50 元 其 余 6 张没有奖 现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张 获得奖品的总价值不少于其数学期望 的概率为 E 3 2 2 已知对任意的 不等式 00 1 1xy 恒成立 则实数的取值范围为 01 8 2 16 2 2 2 ay x xy x xa 248 3 在平面上 将两个半圆弧和xOy 22 1 1 1 xyx 两条直线和围成的封 22 3 1 3 xyx 1y 1y 闭图形记为 D 如图中阴影部分 记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 过作的水平截面 所得截 0 1 yy 面面积为 试利用祖暅原理 一个平放的 2 418y 圆柱和一个长方体 得出的体积值为 4 已知是定义在上的增函数 且的图像关于点对称 若实数 x yf x A yf x 6 0 y 满足不等式 则的取值范围 22 6 836 0f xxf yy 22 xy 解 由对称性可知 由单调性可知时 时 6 0f 6x 0f x 6x 0f x 由 则 22 836 4 206yyy 2 66xx 结合草图可知到 6 的距离不超过比到 6 的距离 2 836yy 2 6xx 即 整理得 22 83666 6 yyxx 2222 68240 3 4 1xyxyxy 其几何意义是以为圆心 1 为半径的圆 及其内部 3 4 而即为该区域内点到原点距离的平方 结合图形可知 故其取值范围为 22 xy 16 36 5 已知一玻璃杯杯口直径 6cm 杯深 8cm 如图所示 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物 线的一部分 一个玻璃小球放入玻璃杯中 若小球能够碰到杯底 求小球半径的范围 不记玻 璃杯的玻璃厚度 解 如图建系 抛物线方程为抛物线 2 8 3 3 9 yxx 小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心 C 距离最短的点 由小球能碰到杯底 则有 COCP 设在抛物线上 3 3 P x y x 设小球的半径为 r 则圆心的坐标为 0 Cr 2222 9 2 0 3 8 CPxyryr yr y 由 即当时 最小 故 min CPCO 0y CP 1 9 2 0 2 8 r 所以 9 0 16 r 选择题 6 已知 O 是外接圆的圆心 A B C 为的内角 若ABC ABC 则 m 的值为 答 B coscos 2 sinsin BC ABACm AO CB A 1B C D sin Acos Atan A 解 不妨设外接圆的半径为 1 如图建立直角坐标系 则有 2 2AOBCAOCB 故可设 cos2 sin2 BCC cos 2 2 sin 2 2 CBB 结合诱导公式得 cos2 sin2 CBB 则 cos21 sin2 cos21 sin2 ABCCACBB 由 coscos 2 sinsin BC ABACm AO CB 得 coscos cos21 cos21 2 sinsin BC CBm CB 又 上式化为 2 cos212sinCC 2 cos212sinBB 22 coscos 2sin 2sin 2 sinsin BC CBm CB 整理得 故选 B sincoscossinsin sinmCBCBBCA 7 已知点列已知点列均为函数均为函数的图像上 点列的图像上 点列满满 nnn Aa bnN 0 1 x yaaa 0 n Bn 足足 若数列 若数列中任意连续三项能构成三角形的三边 则中任意连续三项能构成三角形的三边 则的取值范围的取值范围 1nnnn A BA B n ba 为 为 B A B 5151 0 22 5151 11 22 C D 3131 0 22 3131 11 22 8 过圆的圆心 作直线分别交 x y 正半轴于点 A B 被圆 22 1 1 1C xy AOB 分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足则直线 SSSS AB 有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 三 解答题 9 已知直线是双曲线的一条渐近线 点都2yx 22 22 1 xy C ab 1 0 0AM m nn 在双曲线上 直线 AM 与轴相交于点 P 设坐标原点为 O Cy 1 设点 M 关于 y 轴的对称点为 N 直线 AN 与 y 轴相交于点 Q 问 在轴上是否存在x 定点 T 使得若存在 求出点 T 的坐标 若不存在 请说明理由 TPTQ 2 若过点的直线 与双曲线 C 交于 R S 两点 且 试求直线 0 2DlOROSRS 的方程 l 10 已知双曲线 设过点的直线 l 的方向向量为 2 2 1 2 x Cy 3 2 0 A 1 ek 3 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时 求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离 4 证明 当时 在双曲线 C 的右支上不存在点 Q 使之到直线 l 的距离为 2 2 k 6 1 解 双曲线 C 的渐近线 即 0 2 x my 20 xy 直线 l 的方程为 23 20 xy 直线 l 与 m 的距离为 3 2 6 12 d 2 证法一 设过原点且平行于 l 的直线 0b kxy 则直线 l 与 b 的距离 当时 2 3 2 1 k d k 2 2 k 6d 又双曲线 C 的渐近线方程为 20 xy 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方 双曲线 C 的右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q 使之到直线 l 的距离为 6 证法二 假设双曲线右支上存在点到直线 l 的距离为 00 Q xy6 则 00 2 22 00 3 2 6 1 1 22 2 kxyk k xy 由 1 得 2 00 3 261ykxkk 设 2 3 261tkk 当时 2 2 k 2 3 2610tkk 2 2 22 21 3 26160 31 k tkk kk 将代入 2 得 00 ykxt 222 00 12 42 1 0kxktxt 2 0 2 kt 2 120k 40kt 2 2 1 0t 方程 不存在正根 即假设不成立 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q 使之到直线 l 的距离为 6 11 已知集合 M 是满足下列性质的函数的全体 存在非零常数 k 对定义域中的任意 f x x 等式 恒成立 f kx 2 k f x 1 判断一次函数 ax b a 0 是否属于集合 M f x 2 证明函数 属于集合 M 并找出一个常数 k f x 2 log x 3 已知函数 a 1 与 y x 的图象有公共点 证明 M f xlogax f xlogax 解 1 若 ax b M 则存在非零常数 k 对任意 x D 均有 f x akx b 即 a k 1 x 恒成立 得无解 所以 f kx 2 k f x 2 k10 0 k k M f x 2 则 k 4 k 2 时等式恒成立 所以 2 log kx 2 k 2 log x 2 log k 2 k f x M 2 log x 3 因为 y a 1 与 y x 有交点 由图象知 y 与 y 必有交点 logaxlogax 2 x 设 则 所以 M logak 2 k f kxlog a kxlogaklogax 2 k f x f x 12 设函数和都是定义在集合上的函数 对于任意的 都有 xf xgMxM 成立 称函数与在上互为 函数 xfgxgf xf xgMH 1 函数与在上互为 函数 求集合 xxf2 xxgsin MHM 2 若函数 与在集合上互为 函数 x axf 0aa 且1 1 xxgMH 求证 1 a 3 函数与在集合且 上互为 2 xxf xg1 xxM32 kx Nk H 函数 当时 且在上是偶函数 求函数10 x 1 log 2 xxg xg 1 1 xg 在集合上的解析式 M 1 由得 xfgxgf xx2sinsin2 化简得 或 20 cos1 sin2 xx0sin x1cos x 解得或 即集合 2 分 kx kx2 Zk kxxM Zk 若学生写出的答案是集合的非空子集 扣 1 分 以示区别 ZkkxxM 2 证明 由题意得 且 变形得 由于1 1 xx aa0 a1 a1 1 aa x 且 因为 所以 即0 a1 a 1 1 a a x 0 x a0 1 1 a 1 a 3 当 则 由于函数在上是偶函数01 x10 x xg 1 1 则 所以当时 1 log 2 xxgxg 11 x 1 log 2 xxg 由于与函数在集合上 互为函数 2 xxf xgMH 所以当 恒成立 Mx xfgxgf 对于任意的 恒成立 即 2 2 xgxg 12 12 nnxNn 所以 2 2 xgxg2 1 2 2 1 2 nxgnxg 即 所以 2 1 2 2 nxgnxgnxgnxg2 2 当 时 12 12 nnxNn 1 1 2 nx 所以当时 2 1 log 2 2 nxnxg Mx nnxnnxgnnxgxg2 2 1 log2 2 2 2 2 13 设数列的前项和为 且 n an n S 2 1 nnn Sa SnN 1 求出的值 并求出及数列的通项公式 123 S SS n S n a 2 设 求数列的前项和 1 1 1 21 Nnaanb nn n n n bn n T 3 设 在数列中取出项 按照原来 1 nn cnanN n c 3m mNm 且 的 顺序排列成一列 构成等比数列 若对任意的数列 均有 n d n d 试求的最小值 12n dddM M 14 已知数列的各项均为正数 其前项的和为 满足 n an n S nn apSp 2 1 其中为正常数 且 Nn p1 p 1 求数列的通项公式 n a 2 是否存在正整数 使得当时 恒成立 若MMn 7823741 aaaaa n 存在 求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值 若不存在 请说明理由 pM 3 若 设数列对任意 都有 2 1 p n b Nn 2123121 abababab nnnn 问数列是不是等差数列 若是 请求出其通项公式 若不是 1 2 1 2 1 nab n n n b 请说明理由 解 解 1 由题设知 解得 1 分 1 2 1 1 apap pa 1 由两式作差得 即 2 1 1 1 2 1 2 nn nn apSp apSp 11 1 nnn aaap nn a p a 1 1 分 所以 数列是首项为 公比为的等比数列 3 分 n ap p 1 所以 4 分 21 11 nn n pp pa Nn 2 5 分 而 2 53 43 521 23741 11 nn n n pp aaaa 76 78 1 p a 由题意 6 分 所以 76 2 53 11 pp nn 当时 则 即 1 p1 1 0 p 76 2 53 nn 015253 2 nn 解得 舍去 7 分 8 3 19 n 当时 则 即 10 p1 1 p 76 2 53 nn 015253 2 nn 解得或 舍去 此时存在满足题意的 8 分 8 n 3 19 n8 min M 综上 当时 存在的最小值为 使恒成立 1010 pM8 7823741 aaaaa n 分 3 令 则 因为 所以 11 分 1 n 2 1 1 2 1 2 11 ab 2 1 1 a1 1 b 因为 2123121 abababab nnnn 1 2 1 2 1 nab n n 所以 13 2 1 2 1 2 1 1122332211 nababababab n nnnnn 2 n 分 因为的公比 所以在 的两边同乘以得 n a2 1 p 2 15 分 12 2123121 nabababab n nnnn 2 n 减去 得 所以 17 分 2 1 n abn nbn 2 n 因为 所以是等差数列 其通项公