2010年高三数学高考教案必胜秘诀（十一）

用心 爱心 专心 函函 数数 1 映射映射f A A B B 的概念的概念 在理解映射概念时要注意 理解映射概念时要注意 A 中元素必须都有象且唯一 B 中元素不一定都有原象 但原象不一定唯一 如 如 1 1 设 fMN 是集合M到N的映射 下列说法正确的是 A M中每一个元 素在N中必有象 B N中每一个元素在M中必有原象 C N中每一个元素在M中 的原象是唯一的 D N是M中所在元素的象的集合 答 A 2 2 点 ba在映射f的作用下的象是 baba 则在f作用下点 1 3 的原象为 点 答 2 1 3 3 若 4 3 2 1 A cbaB a b cR 则A到B的映射有 个 B到 A的映射有 个 A到B的函数有 个 答 81 64 81 4 4 设集合 1 0 1 1 2 3 4 5 MN 映射 fMN 满足条件 对任意的 xM xf x 是奇数 这样的映射f有 个 答 12 5 5 设 2 xxf 是集合 A 到集合 B 的映射 若 B 1 2 则BA 一定是 答 或 1 2 函数函数f A A B B 是特殊的映射是特殊的映射 特殊在定义域定义域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集都是非空数集 据此可知函 数图像与x轴的垂线至多有一个公共点 但与y轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意个 如 如 1 1 已知函数 f x xF 那么集合 1 x yyf x xFx yx 中 所含元素的个数有 个 答 0 或 1 2 2 若函数42 2 1 2 xxy的定义域 值域都是闭区间 2 2 b 则b 答 2 3 同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域 值域和对应法则 而值域可由定义域 和对应法则唯一确定 因此当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数 如如若一系列函数的解析式相同 值域相同 但其定义域不同 则称这些函数为 天一函数 那么解析式为 2 yx 值域为 4 1 的 天一函数 共有 个 答 9 4 求函数定义域的常用方法 在研究函数问题时要树立定义域优先的原则研究函数问题时要树立定义域优先的原则 1 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零 分母不能为零 对数logax中 0 0 xa 且1a 三角形中0A 最大角 3 最小角 3 等 如 如 a a 函数 2 4 lg3 xx y x 的定义域是 答 0 2 2 3 3 4 b b 若函数 2 7 43 kx y kxkx 的定义域为 R 则k 答 3 0 4 c c 函数 f x的定义域是 a b 0ba 则函数 F xf xfx 的定义域是 答 aa 4 4 设函数 2 lg 21 f xaxx 若 f x的定义域是 R 求实数a的取值范围 若 f x的值域 是 R 求实数a的取值范围 答 1a 01a 2 根据实际问题的要求确定自变量的范围 3 复合函数的定义域 若已知 f x的定义域为 a b 其复合函数 f g x的定义域 由不等式 ag xb 解出即可 若已知 f g x的定义域为 a b 求 f x的定义域 相当 于当 xa b 时 求 g x的值域 即 f x的定义域 用心 爱心 专心 如 如 a a 若函数 xfy 的定义域为 2 2 1 则 log2xf的定义域为 答 42 xx b b 若函数 2 1 f x 的定义域为 2 1 则函数 f x的定义域为 答 1 5 5 求函数值域 最值 的方法 1 配方法配方法 二次函数 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求闭区间 m n上的最值 二是求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 求二次函数的最值问题 二次函数的最值问题 勿忘数形结合勿忘数形结合 注意 两看两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 如 如 a a 求函数 2 25 1 2 yxxx 的值域 答 4 8 b b 当 2 0 x时 函数3 1 4 2 xaaxxf在2 x时取得最大值 则 a的取值范围是 答 2 1 a 3 3 已知 3 24 x b f xx 的图象过点 2 1 则 1212 F xfxfx 的值域为 答 2 5 2 换元法换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 如 如 a a 2 2sin3cos1yxx 的值域为 答 17 4 8 b b 211yxx 的值域为 答 3 令1xt 0t 运用运用 换元法时 要特别要注意新元换元法时 要特别要注意新元t的范围的范围 c c sincossincosyxxxx A的值域为 答 1 1 2 2 4 4 2 49yxx 的值域为 答 1 3 24 3 函数有界性法函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来 确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 如如求函数 2sin1 1sin y 3 1 3 x x y 2sin1 1cos y 的值域 答 1 2 0 1 3 2 4 单调性法单调性法 利用一次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函数的单调性 如如求 1 19 yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 5 3 2log1 x yx 的值域为 答 80 0 9 11 9 2 2 10 5 数形结合法数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 如 如 a a 已知点 P x y在圆 22 1xy 上 求 2 y x 及2yx 的取值范围 答 33 33 5 5 b b 求函数 22 2 8 yxx 的值域 答 10 3 3 求函数 22 61345yxxxx 及 22 61345yxxxx 的值域 答 43 26 26 注意注意 求两点距离之和时 要将函数式变形 使两定点在x轴的两侧 而求两点距离之 用心 爱心 专心 差时 则要使两定点在x轴的同侧 6 判别式法判别式法 对分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型 有时也可以用其它方法进行求解 不必拘泥在判别式法上 也可先通过部分分式后 再利用 均值不等式 2 b y kx 型 可直接用不等式性质 如如求 2 3 2 y x 的值域 答 3 0 2 2 bx y xmxn 型 先化简 再用均值不等式 如 如 a a 求 2 1 x y x 的值域 答 1 2 b b 求函数 2 3 x y x 的值域 答 1 0 2 2 2 xm xn y xmxn 型 通常用判别式法 如如已知函数 2 3 2 8 log 1 mxxn y x 的定义域 为 R 值域为 0 2 求常数 m n的值 答 5mn 2 xm xn y mxn 型 可用判别式法或均值不等式法 如如求 2 1 1 xx y x 的值域 答 3 1 7 不等式法不等式法 利用基本不等式2 abab a bR 求函数的最值 其题型特征 解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项 和两边平方等技巧 如如设 12 x a ay成等差数列 12 x b by成等比数列 则 21 2 21 bb aa 的取 值范围是 答 0 4 8 导数法导数法 一般适用于高次多项式函数 如如求函数 32 2440f xxxx 3 3 x 的最小值 答 48 提醒提醒 1 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 函数的最值 与值域之间有何关系 6 分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来表 示对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 在求分段函数的值求分段函数的值 0 f x时 一定首先要判断时 一定首先要判断 0 x属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内不同子属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内不同子 集上各关系式的取值范围的并集集上各关系式的取值范围的并集 如 如 1 1 设函数 2 1 1 41 1 xx f x xx 则使得 1f x 的自变量x的取值范围是 答 2 0 10 2 2 已知 1 0 1 0 x f x x 则不等式 2 2 5xxf x 的解集是 答 3 2 7 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法待定系数法 已知所求函数的类型 二次函数的表达形式有三种 一般式 2 f xaxbxc 顶点式 2 f xa xmn 零点式 12 f xa xxxx 要会根据已知条件的特点 灵活地选用二次函数的表达形式 如如 已知 f x为二次函数 且 2 2 xfxf 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得的线段长 用心 爱心 专心 为 22 求 f x的解析式 答 2 1 21 2 f xxx 2 代换 配凑 法代换 配凑 法 已知形如 f g x的表达式 求 f x的表达式 如 如 1 1 已 知 sin cos1 2 xxf 求 2 xf的解析式 答 242 2 2 2 f xxxx 2 2 若 2 2 1 1 x x x xf 则函数 1 xf 答 2 23xx 3 3 若函数 xf是定义在 R 上的奇函数 且当 0 x时 1 3 xxxf 那么当 0 x时 xf 答 3 1 xx 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的定 义域的等价性 即 f x的定义域应是 g x的值域 3 方程的思想方程的思想 已知条件是含有 f x及另外一个函数的等式 可抓住等式的特征 对等式的进行赋值 从而得到关于 f x及另外一个函数的方程组 如 如 a a 已知 2 32f xfxx 求 f x的解析式 答 2 3 3 f xx b b 已知 f x是奇函数 xg是偶函数 且 f x xg 1 1 x 则 f x 答 2 1 x x 8 反函数 1 存在反函数的条件存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值域中的任一个y值 都有唯一的值 都有唯一的x值与之对值与之对 应应 故单调函数一定存在反函数 但反之不成立 偶函数只有 0 0 f xx 有反函数 周期函数一定不存在反函数 如如函数 2 23yxax 在区间 1 2 上存在反函数的充要条件 是 A 1a B 2 a C 1 2 a D 1a 2 答 D 2 求反函数的步骤 反求x 互换 x y 注明反函数的定义域 原来函数 的值域 注意注意函数 1 yf x 的反函数不是 1 1 yfx 而是 1 1 yfx 如如设 0 1 2 x x x xf 求 xf的反函数 1 xf 答 1 1 1 1 fxx x 3 反函数的性质 反函数的定义域是原来函数的值域 反函数的值域是原来函数的定义域 如如单调递增 函数 xf满足条件 3 axf x 其中a 0 若 xf的反函数 1 xf 的定义域为 aa 4 1 则 xf的定义域是 答 4 7 函数 yf x 的图象与其反函数 1 yfx 的图象关于直线yx 对称 注意注意函数 yf x 的图象与 1 xfy 的图象相同 如 如 a a 已知函数 yf x 的图象过点 1 1 那么 4fx 的反函数的图象一定经过点 答 1 3 b b 已知函数 1 32 x x xf 若函数 yg x 与 1 1 xfy的图象关于直线 xy 对称 求 3 g的值 答 7 2 1 f abfba 用心 爱心 专心 如 如 a a 已知函数 2 4 log 3 x xf 则方程4 1 xf的解 x 答 1 b b 设函数 f x 的图象关于点 1 2 对称 且存在反函数 1 fx f 4 0 则 1 4 f 答 2 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性 如如已知 f x是R上的增函数 点 1 1 1 3AB 在它的图象上 1 fx 是它的反函数 那么不等式 1 2 log1fx 的解集为 答 2 8 设 f x的定义域为 A 值域为 B 则有 1 f fxx xB 1 ff xx xA 但 11 f fxff x 9 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数的 奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 如如若函数 xf2sin 3 x 25 3 x 为奇函数 其中 2 0 则 的值是 答 0 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断 其奇偶性 定义法 如如判断函数 2 4 4 9 x y x 的奇偶性 答 奇函数 利用函数奇偶性定义的等价形式 0f xfx 或 1 fx f x 0f x 如如判 断 11 212 x f xx 的奇偶性 答 偶函数 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数 若 f x为偶函数 则 fxf xfx 如如若定义在 R 上的偶函数 f x在 0 上是减函数 且 3 1 f 2 则不等式2 log 8 1 xf的解集为 答 0 0 5 2 若奇函数 f x定义域中含有 0 则必有 0 0f 故 0 0f 是 f x为奇函数的既 不充分也不必要条件 如如若 22 21 x x aa f x 为奇函数 则实数a 答 1 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函数 的和 或差 如如设 xf是定义域为 R 的任一函数 2 f xfx F x 2 f xfx G x 判断 xF与 xG的奇偶性 若将函数 110lg x xf 表示成一个奇函数 xg和一个偶函数 xh之和 则 xg 答 xF为偶函数 xG为奇函数 xg 1 2 x 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外内偶则偶 内奇同外 既奇又偶函数有无穷多个 0f x 定义域是关于原点对称的任意一个数集 10 函数的单调性函数的单调性 用心 爱心 专心 1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法 在解答题中常用 定义法 取值 作差 变形 定号 导数法 在区间 a b内 若总有 0fx 则 f x为增函数 反之 若 f x在区间 a b内为增函数 则 0fx 请注意两者的区别注意两者的区别所在 如如已知函数 3 f xxax 在区间 1 上是增函 数 则a的取值范围是 答 0 3 在选择填空题中还可用数形结合法 特殊值法等等 特别要注意特别要注意 0 b yaxa x 0 b 型函数的图象和单调性在解题中的运用 增区间为 bb aa 减区间为 0 0 bb aa 如 如 1 1 若函数2 1 2 2 xaxxf 在区间 4 上是减函 数 那么实数a的取值范围是 答 3 a 2 2 已知函数 1 2 ax f x x 在区间 2 上为增函数 则实数a的取值范围 答 1 2 3 3 若函数 log40 1 a a f xxaa x 且的值域为 R 则实数a的取值范围是 答 04a 且1a 复合函数法 复合函数单调性的特点是同增异减同增异减 如如函数 2 1 2 log2yxx 的单调 递增区间是 答 1 2 2 特别提醒 特别提醒 求单调区间时 一是勿忘定义域 如如若函数 2 log 3 a f xxax 在区间 2 a 上为减函数 求a的取值范围 答 1 2 3 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号 和 或 三是单调区间应该用区间表示 不能用集合或不等式表示 3 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用单调性与奇偶性的逆用了吗 比较大小 解不等式 求参数 范围 如如已知奇函数 xf是定义在 2 2 上的减函数 若0 12 1 mfmf 求实 数m的取值范围 答 12 23 m 11 常见的图象变换常见的图象变换 函数 axfy 0 a的图象是把函数 xfy 的图象沿x轴向左平移a个单位 得到的 如如设 2 x f xg x 的图像与 f x的图像关于直线yx 对称 h x的图像由 g x的图像向右平移 1 个单位得到 则 h x为 答 2 log 1 h xx 函数 axfy 0 a的图象是把函数 xfy 的图象沿x轴向右平移a个单 位得到的 如如 1 1 若 2 199 443f xxx 则函数 f x的最小值为 答 2 2 2 要得到 3lg xy 的图像 只需作xylg 关于 轴对称的图像 再向 平移 3 个单位而得到 答 y 右 3 3 函数 lg 2 1f xxx 的图象与x轴的交点个数有 个 答 2 函数 xfy a 0 a的图象是把函数 xfy 助图象沿y轴向上平移a个单位 得到的 函数 xfy a 0 a的图象是把函数 xfy 助图象沿y轴向下平移a个单位 用心 爱心 专心 得到的 如如将函数a ax b y 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 所得图象 如果与原图象关于直线xy 对称 那么 0 1 baA RbaB 1 0 1 baC RbaD 0 答 C 函数 axfy 0 a的图象是把函数 xfy 的图象沿x轴伸缩为原来的 a 1 得到 的 如 如 1 1 将函数 yf x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 1 3 纵坐标不变 再将此 图像沿x轴方向向左平移 2 个单位 所得图像对应的函数为 答 36 fx 2 2 如若函数 21 yfx 是偶函数 则函数 2 yfx 的对称轴方程是 答 1 2 x 函数 xafy 0 a的图象是把函数 xfy 的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得 到的 12 函数的对称性函数的对称性 满足条件 f xaf bx 的函数的图象关于直线 2 ab x 对称 如如已知二次函 数 0 2 abxaxxf满足条件 3 5 xfxf且方程xxf 有等根 则 xf 答 2 1 2 xx 点 x y关于y轴的对称点为 x y 函数 xfy 关于y轴的对称曲线方程为 xfy 点 x y关于x轴的对称点为 xy 函数 xfy 关于x轴的对称曲线方程为 xfy 点 x y关于原点的对称点为 xy 函数 xfy 关于原点的对称曲线方程为 xfy 点 x y关于直线yxa 的对称点为 yaxa 曲线 0f x y 关于 直线yxa 的对称曲线的方程为 0fyaxa 特别地 点 x y关于直线 yx 的对称点为 y x 曲线 0f x y 关于直线yx 的对称曲线的方程为 f y x0 点 x y关于直线yx 的对称点为 yx 曲线 0f x y 关于直线yx 的对称曲 线的方程为 0fyx 如如己知函数 33 232 x f xx x 若 1 xfy的图像是 1 C 它关于直线yx 对称图像是 22 C C关于原点对称的图像为 33 CC 则对应的函数解析式 是 答 2 21 x y x 曲线 0f x y 关于点 a b的对称曲线的方程为 2 2 0faxby 如如若函数 xxy 2 与 xgy 的图象关于点 2 3 对称 则 xg 答 2 76xx 形如 0 axb ycadbc cxd 的图像是双曲线 其两渐近线分别直线 d x c 由分母为零确定 和直线 a y c 由分子 分母中x的系数确定 对称中心是点 d a c c 用心 爱心 专心 如如已知函数图象 C 与 2 1 1C y xaaxa 关于直线yx 对称 且图象 C 关于点 2 3 对称 则 a 的值为 答 2 f x的图象先保留 f x原来在x轴上方的图象 作出x轴下方的图象关于x轴的 对称图形 然后擦去x轴下方的图象得到 fx的图象先保留 f x在y轴右方的图象 擦去y轴左方的图象 然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到 如 如 1 1 作出函数 2 log 1 yx 及 2 log 1 yx 的图象 2 2 若函数 xf是定义在 R 上的奇函数 则函数 xfxfxF 的图象关于 对称 答 y轴 提醒提醒 1 从结论 可看出 求对称曲线方程的问题 实质上是利用代入法 转化为求点的对称问题 2 证明函数图像的对称性 即证明图像上任一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 3 证明图像 1 C与 2 C的对称性 需证两方面需证两方面 证明 1 C上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在 2 C上 证明 2 C上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在 1 C上 如如 1 1 已知函数 1 Ra xa ax xf 求证 函数 xf的图像关于点 1 M a 成 中心对称图形 2 2 设曲线 C 的方程是xxy 3 将 C 沿x轴 y轴正方向分别平行移动 t s单位长度 后得曲线 1 C 写出曲线 1 C的方程 答 3 yxtxts 证明曲线 C 与 1 C关 于点 2 2 st A对称 13 函数的周期性函数的周期性 1 类比类比 三角函数图像三角函数图像 得得 若 yf x 图像有两条对称轴 xa xb ab 则 yf x 必是周期函数 且一 周期为2 Tab 若 yf x 图像有两个对称中心 0 0 A aB bab 则 yf x 是周期函数 且一周期为2 Tab 如果函数 yf x 的图像有一个对称中心 0 A a和一条对称轴 xb ab 则函数 yf x 必是周期函数 且一周期为4 Tab 如如已知定义在R上的函数 f x是以 2 为周期的奇函数 则方程 0f x 在 2 2 上至 少有 个实数根 答 5 2 由周期函数的定义由周期函数的定义 函数 f x满足 xafxf 0 a 则 f x是周期为 a的周期函数 得得 函数 f x满足 xafxf 则 f x是周期为 2a的周期函数 若 1 0 f xaa f x 恒成立 则2Ta 若 1 0 f xaa f x 恒成立 则2Ta 如如 1 1 设 xf是 上的奇函数 2 xfxf 当10 x时 xxf 则 5 47 f等于 答 5 0 2 2 定义在R上的偶函数 f x满足 2 f xf x 且在 3 2 上是减函数 若 是锐角三角形的两个内角 则 sin cos ff 的大小关系为 答 sin cos ff 用心 爱心 专心 3 3 已知 f x是偶函数 且 1 f 993 g x 1 f x 是奇函数 求 2005 f的值 答 993 4 4 设 f x是定义域为 R 的函数 且 21f xf x 1f x 又 222f 则 2006f 答 22 2 14 指数式 对数式指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a log 10 a log1 aa lg2lg51 logln ex x log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN log log log c a c b b a loglog m n a a n bb m 如如 1 1 235 log 25 log 4 log 9AA的值为 答 8 2 2 2 log81 2 的值为 答 1 64 15 指数 对数值的大小比较指数 对数值的大小比较 1 化同底后利用函数的单调性 2 作差或作商法 3 利用中间量 0 或 1 4 化同指数 或同真数 后利用图象比较 16 函数的应用函数的应用 1 求解数学应用题的一般步骤 审题 认真读题 确切理解题 意 明确问题的实际背景 寻找各量之间的内存联系 建模 通过抽象概括 将实际问 题转化为相应的数学问题 别忘了注上符合实际意义的定义域别忘了注上符合实际意义的定义域 解模 求解所得的数学 问题 回归 将所解得的数学结果 回归到实际问题中去 2 常见的函数模型有 建立一次函数或二次函数模型 建立分段函数模型 建立指数函数模型 建立 b yax x 型 17 17 抽象函数抽象函数 抽象函数通常是指没有给