数学分析第三版答案下册.docx

数学分析第三版答案下册【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126；2、2；3、1?x?x2?xn?o(xn)； 4、arcsinx?c（或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a；4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1?1、lim1?2? 2、limxlnx ?n?x?0 ?n? ? n 1? ?lim?1?2?n?n? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的?n定义证明：lim2（10分） n?n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3?22 n?3n?3n 993n2 因此，对任给的?0，只要?，即n?便有2 ?3? （3分） n?n?3 3n2x3,，当n?n便有2故，对任给的?0，取n?ma（2分） ?3?成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分） 即得证lim2 n?n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1? (a?b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分） 即 arcta六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y?xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分） 解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间?,上的最大值与最小值。（10 42 分） 15 解：函数f(x)在闭区间?,上连续，故必存在最大最小值。 （2分） 42 ?2?x(2x?9x?12),? 由于f(x)?|2x3?9x2?12x|? ?x(2x2?9x?12),? ?6(x?1)(x?2),? 因此 f?(x)? ?6(x?1)(x?2),? ? 1 ?x?04 （2分） 5 0?x? 2? 1 ?x?04 （2分） 5 0?x? 2 又因f?(0?0)?12,f?(0?0)?12，可知函数f(x)在 x?0处不可导。求出函数 15 的稳定点x?1,2，不可导点x?0，以及端点x?,的函数值： 42 11155 f(1)?5,f(2)?4,f(0)?0,f()?,f()?5 （2分） 4322 5 可知函数f(x)在x?0处取得最小值0，在x?1和x?处取得最大值5.（2分） 2 九、求摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost).(a?0),t?0,2?的弧长。（10分） 解：x?(t)?a(1?cost)，y?(t)?asint，根据弧长计算公式有 （2分） s? ? 2? 02? x?2(t)?y?2(t)dt （3分） 2a2(1?cost)dt （2分） 2?0 ? ?2a? sin t dt?8a （3分） 2【篇二：数学分析下册期末考试卷及参考答案】ss=txt一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知u?则?u?u?，?y?x du?。 2、设l：x2?y2?a2，则?xdy?ydx?。 l ?x=3cost，l：3、设?（0?t?2?），则曲线积分?（x2+y2）ds=。 ?y=3sint.l 4、改变累次积分?dy?（fx，y）dx的次序为 。 2y33 x?y?1，则?1)dxdy 。5、设dd 共15分） px0，y0）px0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一fx，y）fx，y） 阶偏导数。 ( ) px0，y0）px0，y0）2、若函数（在点（ 可微，则函数（在点（连续。 fx，y）fx，y） ( ) px0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0)，则 fx，y） ?必有 fxy(x0,y0)fyx(0x,0y) 。 l(b,a)( ) ( ) 4、l(a,b)?f(x,y)dx?f(x,y)dx。 5、若函数（在有界闭区域d上连续，则函数（ 在d上可积。( ) fx，y）fx，y） 第 1 页 共 5 页 三、计算题 （ 每小题9分，共45分） 1、用格林公式计算曲线积分 i?(exsiny?3y)dx?(excosy?3)dy ， ?ao ao为由a(a,0)到o(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部分的路线。 其中?、计算三重积分 ?(xv2?y2)dxdydz， 是由抛物面z?x2?y2与平面z?4围成的立体。 第 2 页 共 5 页 3、计算第一型曲面积分 i?ds， s 其中s是球面x2?y2?z2?r2上被平面z?a(0?a?r)所截下的顶部（z?a）。 4、计算第二型曲面积分 22 i?y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy， s 其中s是立方体v?0,b?0,b?0,b?的外表面。 第 3 页 共 5 页 5、设d?(x,y)2?y2?r 曲顶柱体的体积。 四、证明题(每小题7分，共14分) 1、验证曲线积分第 4 页 共 5 页 ?2?. 求以圆域d为底，以曲面z?e?(x2?y2)为顶的 l 与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(x,y,z)。 2、证明：若函数（在有界闭区域d上连续，则存在(?,?)?d, fx，y） 使得 参考答案 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、xyxy；dx?dy。 22222222x?yx?yx?yx?y 2?f(x,dy)?d?f?(?,?)d s ，这里sd是区域d的面积。 2、2?a；3、54? ； 4、?dx?f(x,y)dy；5、1)。 223x 第 5 页 共 5 页【篇三：数学分析简明教程第二版第二章课后答案】1 函数概念 1证明下列不等式： (1) x?y?x?y； (2) x1?x2?xn?x1?x2?xn； (3) x1?x2?xn?x?x?(x1?x2?xn) 证明（1）由 x?(x?y)?y?x?y?y，得到 x?y?x?y， 在该式中用x与y互换，得到 y?x?y?x，即 x?y?x?y， 由此即得，x?y?x?y （2）当n?1,2时，不等式分别为x1?x1,x1?x2?x1?x2，显然成立 假设当n?k时，不等式成立，即 x1?x2?xk?x1?x2?xk，则当 n?k?1时，有 x1?x2?xk?xk?1?(x1?x2?xk)?xk?1?x1?x2?xk?xk?1 ?(x1?x2?xk)?xk?1?x1?x2?xk?xk?1 有数学归纳法原理，原不等式成立 （3）x1?x2?xn?x?x?(x1?x2?xn)?x?x1?x2?xn ?x?(x1?x2?xn) 2求证 a?b1?a?b ? a1?a ? b1?b 证明 由不等式 a?b?a?b，两边加上a?b(a?b)后分别提取公因式得， a?b(1?a?b)?(a?b)(1?a?b)， 即 a?b1?a?b ? a?b1?a?b ? a1?a?b ? b1?a?b ? a1?a ? b1?b 3求证 max(a,b)? a?ba?b ； ? 22 a?ba?b min(a,b)? 22 证明 若a?b，则由于a?b?a?b，故有 a?ba?ba?ba?b，min(a,b)?b?， max(a,b)?a? 2222 若a?b，则由于a?b?(a?b)，故亦有 max(a,b)?b? a?ba?ba?ba?b ，min(a,b)?a?， ? 2222 因此两等式均成立 4已知三角形的两条边分别为a和b，它们之间的夹角为?，试求此三角形的面积 s(?)，并求其定义域 1 absin?，定义域为开区间(0,?) 2 5在半径为r的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数 解 s(?)?的定义域 x2 解 设内接圆柱高为x，则地面半径为r?r?，因而体积 4 2 x2 v?r?x?x(r?)， 4 2 2 定义域为开区间(0,2r) 6某公共汽车路线全长为20km，票价规定如下：乘坐5km以下（包括5km）者收费1元；超过5km但在15km以下（包括15km）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形 解 设路程为x，票价为y，则 ?1,0?x?5,? y?2,5?x?15, ?2.5,15?x?20? 函数图形见右图 7一脉冲发生器产生一个三角波若记它随时间t的变化规律为f(t)，且三个角分别有对应关系f(0)?0，f(10)?20，f(20)?0，求f(t)(0?t?20)，并作出函数的图形 解 f(t)? 0?t?10,?2t, ?40?2t,10?t?20 函数图形如右图所示 8判别下列函数的奇偶性： x4 ?x2?1； （1）f(x)?2 （2）f(x)?x?sinx； （3）f(x)?x2e?x； （4）f(x)?lg(x?x2) 解（1）定义域为(?,?)，由于?x?(?,?)，有?x?(?,?)，且有 2 (?x)4x42 f(?x)?(?x)?1?x2?1?f(x)， 22 x4 ?x2?1是偶函数 即得f(x)?2 （2）定义域为(?,?)，由于?x?(?,?)，有?x?(?,?)，且有 f(?x)?(?x)?sin(?x)?x?sinx?(x?sinx)?f(x)， 因此，f(x)?x?sinx是奇函数 （3）定义域为(?,?)，由于?x?(?,?)，有?x?(?,?)，且有 f(?x)?(?x)2e?(?x)?x2e?x?f(x)， 即f(x)?x2e?x是偶函数 （4）定义域为(?,?)，由于?x?(?,?)，有?x?(?,?)，且有 2 22 f(?x)?lg(?x?(?x)2)?lg(?x?x2)?lg ?lg(x?x2)?f(x)， 因此，f(x)?lg(x?x2)是奇函数 1x?x29判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： （1）f(x)?cosx2； （2）f(x)?cos（3）f(x)?cos（4）f(x)? xx?2sin； 23 ? 4 x； tanx 解（1）不是若为周期函数，设周期为t，则?x?r，有f(x?t)?f(x)，即 t2t2 )sin(tx?)?0，移项并使用三角公式化简得，sin(x?tx?cos(x?t)?cosx， 22 2 2 2 由x?r的任意性知道这是不可能的，故f(x)?cosx2不是周期函数 （2）是周期为 2?2? ?6?的最小公倍数12? ?4?和11 32 （3）是周期是 2? ? 4 ?8 （4）定义域是使tanx?0的一切x的取值，即d(f)?xk?x?k?由于?x?d(f)，必有x?d(f)，且f(x?)?此f(x)? ? 2 ,k?z， tan(x?)?tanx?f(x)，因 tanx是周期函数，周期为? x 在(?,?)有界 2 1?x 10证明f(x)? 证明 实际上，?x?(?,?)，都有 xx11?x21 f(x)?， 222 221?x1?x1?x 由定义，f(x)? x 在(?,?)有界 2 1?x 1 在(0,1)无界 x2 11用肯定语气叙述函数无界，并证明f(x)? 解 叙述：若?m?0,?xm?x，使得f(xm)?m，则称函数f(x)在x无界 ?m?0，要使f(x)? 1 ?m，只须x?x2 1m ，取xm? 1m?1 ?(0,1)，则有f(xm)? 11 f(x)?，所以在(0,1)无界 ?m?1?m22 xxm 12试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个 偶函数的乘积是奇函数 证明 设f(x),g(x)是定义于x偶函数，h(x),?(x)是定义于x奇函数则由于以下事实 f(?x)g(?x)?f(x)g(x)， h(?x)?(?x)?h(x)?(x)?h(x)?(x)， f(?x)h(?x)?f(x)?h(x)?f(x)h(x)， 知两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数 13设f(x)为定义在(?,?)内的任何函数，证明f(x)可分解成奇函数和偶函数之和 证明 由于f(x)的定义域为(?,?)，故?x?(?,?),f(?x)有意义 令g(x)? f(x)?f(?x)2，h(x)?f(x)?f(?x) 2 ，则g(x)是偶函数，h(x)