旋转的应用专题整理

1 A B C P 3 5 4 A B C 旋转的应用 旋转的应用 1 等边三角形中的旋转 利用旋转的方法解决问题 等边三角形中的旋转 利用旋转的方法解决问题 例例 1 已知 已知 P 为正为正 ABC 内一点 内一点 若若 APB 113 APC 123 求证 以 求证 以 AP BP CP 为边可以构成一个三角形 为边可以构成一个三角形 求证 无论求证 无论 P 的位置如何 以的位置如何 以 AP BP CP 为边都可以构成一个三角形 为边都可以构成一个三角形 例 2 P 为等边三角形为等边三角形 ABC 内部一点 且内部一点 且 P 到三角形的三角形顶点的长分别为到三角形的三角形顶点的长分别为 3 4 5 求 求 CPB 的度的度 数和这个等边三角形的面积 数和这个等边三角形的面积 例 3 1 如图 BCM 中 BMC 120 以 BC 为边向三角形外作等边 ABC 把 ABM 绕着点 A 按逆时针方向旋转 60 到 CAN 的位置 若 BM 2 MC 3 求 AMB 的度数 求 AM 的长 2 如图 ABC 中 BM 2 CM 3 以 BC 为边的 ABC 是等边三角形 求 AM 的最大值 最小值 AM 最大 AM 5 AM 最小 AM 1 A M C B Q A M C B Q A M C B 2 3 2 1 P D C B A E A B CD 作业 作业 1 如图 在等腰三角形 如图 在等腰三角形 ABC 中 中 AB AC 1 P 是三角形内的一点 且是三角形内的一点 且 APB APC 求证 求证 PB PC 2 若 若 P 为正方形为正方形 ABCD 内一点 内一点 PA PB PC 1 2 3 试证 试证 APB 135 P C B A 1 2 3 在等边三角形内有一点 在等边三角形内有一点 P 连接 连接 P 与各顶点的三条线段的长为与各顶点的三条线段的长为 3 4 5 求正三角形的边长求正三角形的边长 P C BA 2 已知 在五边形已知 在五边形 ABCDE 中 中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 求证 AD 是是 CDE 的平分线 的平分线 3 3 请阅读下列材料 问题 如图 1 在等边三角形 ABC 内有一点 P 且 PA 2 PB PC 1 求 BPC 度数的大小3 和等边三角形 ABC 的边长 李明同学的思路是 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 画出旋转后的图形 如图 2 连接 PP 可得 P PB 是等边三角形 而 PP A 又是直角三角形 由勾股定理的逆定理可证 所以 AP B 150 而 BPC AP B 150 进而求出等边 ABC 的边长为 问题得到解决 7 请你参考李明同学的思路 探究并解决下列问题 如图 3 在正方形 ABCD 内有一点 P 且 PA BP PC 1 求 BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长 52 4 如图 已知 如图 四边形 ABCD 中 AD CD 75ABC 60ADC AB 2 BC 2 1 以线段 BD AB BC 作为三角形的三边 则这个三角形为 三角形 填 锐角三角形 直 角三角形 钝角三角形 求 BD 边所对的角的度数 2 求四边形 ABCD 的面积 5 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCD 中 中 ABC 30 ADC 60 AD DC 证明 证明 BD2 AB2 BC2 图 3 图 1图 2 A B C D A B C D B 4 D C BA AB C D AB C D E D C B A D A B C E A DC B 6 2011丰台一模 已知 在 ABC中 BC a AC b 以AB为边作等边三角形ABD 探究下列问题 1 如图 1 当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时 a b 3 且 ACB 60 则 CD 2 如图 2 当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时 a b 6 且 ACB 90 则 CD 3 如图 3 当 ACB 变化 且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时 求 CD 的最大值及相应的 ACB 的 度数 图 1 图 2 图 3 解 1 1 33 2 2 2363 3 以点 D 为中心 将 DBC 逆时针旋转 60 则点 B 落在点 A 点 C 落在点 E 联结 AE CE CD ED CDE 60 AE CB a CDE 为等边三角形 CE CD 4 当点 E A C 不在一条直线上时 有 CD CE AE AC a b 当点 E A C 在一条直线上时 CD 有最大值 CD CE a b 5 此时 CED BCD ECD 60 ACB 120 7 因此当 ACB 120 时 CD 有最大值是 a b 7 2011 房山一模 已知 等边三角形 ABC 1 如图 1 P 为等边 ABC 外一点 且 BPC 120 试猜想线段 BP PC AP 之间的数量关系 并证明你的猜想 2 如图 2 P 为等边 ABC 内一点 且 APD 120 求证 PA PD PC BD 8 09 崇文一模 在等边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为 ABC 外一点 且ABC BD DC 探究 当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时 BM NC MN 60MDN 120BDC 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的周长 L 的关系 AMN ABC 图 1 图 2 图 3 C B A P D 图 2 C A B P 图 1 B P N D A C M P M D C A B N 6 旋转的应用 旋转的应用 2 等边三角形中的旋转 旋转性质的应用 等边三角形中的旋转 旋转性质的应用 例 1 如图 ADB 中 ADB 120 以 AB 为边向三角形外作等边 ABC 把 CAD 绕着点 C 按逆时 针方向旋转 60 到 CBE 的位置 若 AD a BD b 求 1 CDE 的度数 2 求 CD 的长 例 2 如图 ABC 和 ECD 都是等边三角形 B C D 在一条直线上 AC 和 BE 相交于点 M AD 和 CE 相交于点 N 1 求证 BCE ACD BCM ACN 2 求 BE 和 AD 的所成的角的大小 例 3 如图 1 已知等边 ABC 和菱形 BDEF 其中 DF DB 连接 AF CD 1 观察图形 猜想 AF 与 CD 之间有怎样的数量关系 直接写出结论 不必证明 2 将菱形 BDEF 绕点 B 按顺时针方向旋转 使菱形 BDEF 的一边落在等边 ABC 内部 在图 2 中画出一个变换后的图形 并对照已知图形标记字母 请问 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请 证明 若不成立 请说明理由 3 在上述旋转过程中 AF CD 所夹锐角的度数是否发生变化 若不变 请你求出它的度数 并 说明你的理由 若改变 请说明它的度数是如何变化的 E F C A B D E F C B A D 图 1 图 2 E A B C D NM E A B C D 7 例 4 09 宣武一模 如图 已知等边三角形 ABC 中 点 D E F 分别为边 AB AC BC 的中点 M 为直线 BC 上一动点 DMN 为等边三角形 点 M 的位置改变时 DMN 也随之整体移动 1 如图 1 当点 M 在点 B 左侧时 请你连结 EN 并判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系 点 F 是否 在直线 NE 上 请写出结论 并说明理由 2 如图 2 当点 M 在 BC 上时 其它条件不变 1 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立 若成立 请利用图 2 证明 若不成立 请说明理由 3 如图 3 若点 M 在点 C 右侧时 请你判断 1 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立 若成立 请直接写出结论 若不成立 请说明理由 图 1 图 2 图 3 N F E D C B A M N F E D CB A M A E F D B N CM 8 作业 1 如图 C 为 BD 上一点 分别以 BC 和 CD 为边向同侧作等边三角形 ABC 和 ECD AD 和 BE 相交于点 M A B C D E M A B C D E M 探究线段 BE 和 AD 的数量关系和位置关系 相等 夹角为 60 当绕点 C 在平面内转动时 线段 BE 和 AD 有何关系 相等 夹角为旋转角 ECD 2 如图 O 是等边 ABC 内一点 将 AOB 绕 A 点逆时针旋转 使得 B O 两点的对应点分别为 C D 则旋转角为 图中除 ABC 外 还有等边三角形是 C B A D E 第 2 题图 第 3 题图 3 07 陇南中考 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG 1 求证 AE CG 2 观察图形 猜想 AE 与 CG 之间的位置关系 并证明你的猜 想 9 E AGDB C 旋转的应用 旋转的应用 3 等腰直角三角形中的旋转 等腰直角三角形中的旋转 引入引入 填空填空 如图所示 如图所示 ACB 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 ACB 90 D 为为 AB 上一点 上一点 ACE 是通是通 过旋转过旋转 BCD 得到的得到的 所以所以 ACE 于是有于是有 CD BD BCD CBD 则则 DCE EAD 若连结若连结 DE 则则 CED 若 若 CG AB BD 3 DG 2 则则 DE 例 1 在等腰直角 ABC 中 D 是 AB 中点 EDF 90 求证 1 DE DF 2 AEBFEF 3 222 EFBFAE 例 2 如图 已知 ABC 为等腰直角三角形 BAC 90 E F 是 BC 边上点 且 EAF 45 求证 222 BECFEF A CBFE A BC EF F 10 B CA P 例 3 如图 1 已知点 D 在 AC 上 和都是等腰直角三角形 点 M 为 EC 的中点 ABC ADE 1 求证 为等腰直角三角形 BMD 2 将绕点 A 逆时针旋转 如图 2 1 中的 为等腰直角三角形 是否仍然成立 ADE 45BMD 请说明理由 3 将绕点 A 逆时针旋转 如图 3 1 中的 为等腰直角三角形 成立吗 ADE 135BMD 4 我们是否可以猜想 将绕点 A 任意旋转一定的角度 如图 4 1 中的 为等腰直角ADE BMD 三角形 均成立 不用说明理由 练习 练习 1 如图 如图 ABC 中 中 ACB 90 AC BC P 是是 ABC 内的一点 且内的一点 且 AP 3 CP 2 BP 1 求求 BPC 的度数的度数 11 图 图 图 2图 N M A C E F B 图 图 图3图 M N E A C F B 图 图 图1 N M F A E B C 2 点 A B C 在同一直线上 在直线 AC 的同侧作和 连接 AF CE 取ABE BCF AF CE 的中点 M N 连接 BM BN MN 1 若和是等腰直角三角形 且 如图 1 则 是 ABE FBC 0 90 FBCABEMBN 三角形 2 在和中 若 BA BE BC BF 且 如图 2 则是 ABE BCF FBCABEMBN 三角形 且 MBN 3 若将 2 中的绕点 B 旋转一定角度 如同 3 其他条件不变 那么 2 中的结论是否成立 ABE 若成立 给出你的证明 若不成立 写出正确的结论并给出证明 12 F E D CB A F E D CB A H F E D CB A F E D CB A F E D CB A F E B DA C 旋转的应用 旋转的应用 4 正方形中的旋转 正方形中的旋转 例例 1 1 已知 如图 已知 如图 E 是正方形是正方形 ABCD 边边 BC 上任意一点 上任意一点 AF 平分平分 EAD 交交 CD 于于 F 试说明 试说明 BE DF AE 拓展 已知 在正方形拓展 已知 在正方形 ABCD 中 中 E F 分别是分别是 BC CD 上的点 上的点 1 如图 如图 1 若有 若有 BE DF EF 求 求 EAF 的度数的度数 1 2 如图 如图 2 若有 若有 EAF 45 求证 求证 BE DF EF 2 2 3 如图 如图 3 若 若 EAF 45 AH EF 求证 求证 AH AB 3 4 如图 如图 4 若正方形 若正方形 ABCD 边长为边长为 1 CEF 的周长为的周长为 2 求 求 EAF 的大的大 小 小 4 13 B DA C N M B DA CM N B DA CM N P GH F ED CB A 5 如图 如图 5 若 若 AB 且 且 BAE 30 DAF 15 求 求 AEF 的面积 的面积 3 6 如图 6 正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF GH 分割成 4 个小矩形 P 是 EF 与 GH 的交 点 若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍 试确定 HAF 的大小 写出推导的过程 作业 1 2009 东城期末 23 已知 正方形中 绕点顺时针旋转 ABCD45MAN MAN A 它的两边分别交 或它们的延长线 于点 CBDC MN 当绕点旋转到时 如图 1 易证 MAN ABMDN BMDNMN 1 当绕点旋转到时 如图 2 线段和之间有怎样的数量关系 MAN ABMDN BMDN MN 写出猜想 并加以证明 2 当绕点旋转到如图 3 的位置时 线段和之间又有怎样的数量关系 请直MAN ABMDN MN 接写出你的猜想 图 1 图 2 图 3 2 2010 平谷一模 25 已知 正方形 ABCD 中 MAN 45 MAN 绕点 A 顺时针旋转 它的两边 分别交 CB DC 或它们的延长线 于点 M N AH MN 于点 H 1 如图 当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时 请你直接写出 AH 与 AB 的数 量关系 2 如图 当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时 1 中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗 如 果不成立请写出理由 如果成立请证明 3 如图 已知 MAN 45 AH MN 于点 H 且 MH 2 NH 3 求 AH 的长 可利用 2 得到的结论 14 3 2008 年宁德 如图 1 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 F 是 AD 延长线上一点 且 DF BE 1 求证 CE CF 2 在图 1 中 若 G 在 AD 上 且 GCE 45 则 GE BE GD 成立吗 为什么 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 2 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BC AD B 90 AB BC 12 E 是 AB 上一点 且 DCE 45 BE 4 求 DE 的长 4 2010 门头沟一模 24 已知正方形 ABCD 中 E 为对角线 BD 上一点 过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F 连接 DF G 为 DF 中点 连接 EG CG 1 直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系 2 将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 如图 2 所示 取 DF 中点 G 连接 EG CG 你在 1 中得到的结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 3 将图 1 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度 如图 3 所示 再连接相应的线段 问 1 中的结论是否仍 然成立 不要求证明 FB AD C E G 图 1 F B AD C E G 图 2 F B A C E 图 3 D B C A G D F E 图 1 图 2 B C A D E 15 5 2010 朝阳一模 如图 1 四边形 ABCD 将顶点为 A 的角绕着顶点 A 顺时针旋转 若角的一条边与 DC 的延长线交于点 F 角的另一条边与 CB 的延长线交于点 E 连接 EF 1 若四边形 ABCD 为正方形 当 EAF 45 时 有 EF DF BE 请你思考如何证明这个结论 只思 考 不必写出证明过程 2 如图 2 如果在四边形 ABCD 中 AB AD ABC ADC 90 当 EAF BAD 时 EF 与 2 1 DF BE 之间有怎样的数量关系 请写出它们之间的关系式 只需写出结论 3 如图 3 如果四边形 ABCD 中 AB AD ABC 与 ADC 互补 当 EAF BAD 时 EF 与 2 1 DF BE 之间有怎样的数量关系 请写出它们之间的关系式并给予证明 4 在 3 中 若 BC 4 DC 7 CF 2 求 CEF 的周长 直接写出结果即可 图 1 图 2 图 3 16 6 2011 丹东 25 12 分 己知 正方形 ABCD 1 如图 1 点 E 点 F 分别在边 AB 和 AD 上 且 AE AF 此时 线段 BE DF 的数量关系和位置关 系分别是什么 请直接写出结论 2 如图 2 等腰直角三角形 FAE 绕直角顶点 A 顺时针旋转 当 0 90 时 连接 BE DF 此 时 1 中的结论是否成立 如果成立 请证明 如果不成立 请说明理由 3 如图 3 等腰直角三角形 FAE 绕直角顶点 A 顺时针旋转 当 a 90 时 连接 BE DF 猜想沟 AE 与 AD 满足什么数量关系时 直线 DF 垂直平分 BE 请直接写出结论 4 如图 4 等腰直角三角形 FAE 绕直角顶点 A 顺时针旋转 当 90 180 时 连接 BD DE EF FB 得到四边形 BDEF 则顺次连接四边形 BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四 边形 请直接写出结论 17 E D CB A E BCE A D E A B CD 旋转的应用 旋转的应用 5 正方形中的旋转 正方形中的旋转 1 如图 如图 E 是正方形是正方形 ABCD 的边的边 CD 上任意一点 以点上任意一点 以点 A 为中心 把为中心 把 ADE 顺时针旋转顺时针旋转 90 画出旋 画出旋 转后的图形 转后的图形 2 如图 在四边形 如图 在四边形 ABCD 中 中 AB AD BAD BCD 90 且四边形 且四边形 ABCD 的面积的面积 36 求线段 求线段 BC 与与 CD 的和的和 3 已知 在五边形 已知 在五边形 ABCDE 中 中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 求证 AD 是是 CDE 的平分线 的平分线 4 07 北京 在平面直角坐标系 xOy 中 OEFG 为正方形 点 F 的坐标为 将一个最短边长大于 11 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 FO 上 2 如图 当三角形纸片的直角顶点与点 F 重合 一条直角边落在直线 FO 上时 这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分 即阴影部分 的面积为 若三角形纸片的直角顶点不与点 O F 重合 且两条直角边与正方形相邻两边相交 当这个三角形纸片 与正方形 OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时 试确定三角形纸片直角顶点的坐标 不要求写 出求解过程 并画出此时的图形 1 1 O E FG y x x y G E F O x y G E F O 18 5 如图 已知直角三角形 ABCD 中 C 90 AC 3 BC 5 以 AB 为边向外作正方形 ABEF 求此正 方形中心 O 到 C 点的距离 OC 的长 6 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF 45 求证 EF BE FD 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B D 90 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF 是 BAD 的一半 那么结论 EF BE FD 是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 7 2011 黑龙江省黑河 26 8 分 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E 作 EF AB 交 BD 于点 F 取 FD 的中点 G 连接 EG CG 如图 1 易证 EG CG 且 EG CG 1 将 BEF 绕点 B 逆时针旋转 90 如图 2 则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系 O EF AB C M O E F A B C 19 请直接写出你的猜想 2 将 BEF 绕点 B 逆时针旋转 180 如图 3 则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关 系 请写出你的猜想 并加以证明 旋转的应用 旋转的应用 6 操作问题 操作问题 例 1 09 北京 阅读下列材料 小明遇到一个问题 5 个同样大小的正方形纸片排列形式如 图 1 所示 将它们分割后拼接成一个新的正方形 他的做法是 按 图 2 所示的方法分割后 将三角形纸片 绕 AB 的中点 O 旋转至 三角形纸片 处 依此方法继续操作 即可拼接成一个新的正方 形 DEFG 请你参考小明的做法解决下列问题 1 现有 5 个形状 大小相同的矩形纸片 排列形式如图 3 所 示 请将其分割后拼接成一个平行四边形 要求 在图 3 中画出并 指明拼接成的平行四边形 画出一个符 合条件的平行四边形即可 2 如图 4 在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中 点 E F G H 分别是边 AB BC CD DA 的中点 分别连结 AF BG CH DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ 请在图 4 中探究平行四边形 MNPQ 面积的 大小 画图并直接写出结果 例 2 10 房山一模 阅读下列材料 小明遇到一个问题 如图 1 正方形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD 和 DA 边上靠近 A B C D 的 n 等分点 连结 AF BG CH DE 形成四边形 MNPQ 求四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比 用含 n 的代数式表示 小明的做法是 先取 n 2 如图 2 将 ABN 绕点 B 顺时针旋转 90 至 CBN 再将 ADM 绕点 D 逆时针旋转 90 至 CDM 得到 5 个小正方形 所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比是 然后取 1 5 n 3 如图 3 将 ABN 绕点 B 顺时针旋转 90 至 CBN 再将 ADM 绕点 D 逆时针旋转 90 至 CDM 得到 10 个小正方形 所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比是 即 请你参 4