倍数与因数奥数测试题

精品文档 1欢迎下载 一 教学方针 1 认识自然数 整数 倍数 因数 2 认识奇数和双数 掌握 2 3 5 的倍数的特征 3 在 1 100 中 能找出 10 以内某个自然数的所有倍数 能找出 10 以内两个自然数的公倍 数和最小公倍数 4 在 1 100 中 能找出某个自然数的所有因数 能找出两个自然数的公因数和最大公因数 5 利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题 二 根蒂根基知识讲解 自然数 a 除以自然数 b 0 除外 除得的商是整数而没有余数 我们就说 a 能被 b 整除 或者说 b 能整除 a 要是 a 能被 b 整除 a 叫做 b 的倍数 b 叫做 a 的因数 能被 2 3 5 整除的数的特征 2 的倍数特征 个位是 0 2 4 6 8 的数 5 的倍数特征 个位是 0 5 的数 3 或 9 的倍数特征 各个数位上的数码之和能被 3 或 9 整除 4 或 25 的倍数特征 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 的倍数特征 末三位数能被 8 或 125 整除 11 的倍数的特征 奇数位的数码之和与双数位上的数码之和的差是 11 的倍数 奇数与双数 能被 2 整除的数叫双数 不能被 2 整除的数叫奇数 质数与合数 一个数除了 1 和它本身以外 没有其它的因数 这个数叫做质数 素数 一 个数除了 1 和它本身外 另有另外因数 这个数叫做合数 1 既不是质数 也不是合数 把一个合数写成几个质数相乘的形式 叫做分解质因数 最大公因数与最小公倍数 一般情况用短除法求 特殊情况 倍数瓜葛 m n m m n n n 是 m 的倍数 互质瓜葛 m n 1 m n mn 3 经典例题 例 1 下列哪些式子是整除式 1 8 8 1 1 8 2 130 10 13 3 29 7 4 1 4 14 5 2 4 分析与解 根据整除的定义 被除数和除数必需是整数 商是整数而没有余数才叫整除 因此只有 2 式才是整除式 例 2 写出 24 的因数和倍数 分析与解 因为 1 24 24 2 12 24 3 8 24 4 6 24 所以 24 的因数有 1 2 3 4 6 8 12 24 因为 24 1 24 24 2 48 24 3 72 24 4 96 所以 24 的倍数有 24 48 72 96 例 3 一个数万位上是最小的合数 百位上是最大的一位数 个位上是最小的质数 百分 位上的数既不是质数也不是合数 其余数位的数码是零 这个数是多少 分析与解 最小的合数是 4 最大的一位数是 9 最小的质数是 2 既不是质数也不是合数 的数是 1 所以这个数是 40902 01 例 4 1 路汽车每隔 3 分钟发一次车 3 路汽车每隔 5 分钟发一次车 这两路车同时发车后 至少再过多少分钟后又同时发车 分析与解 1 路汽车每隔 3 分钟发一次车 就是指发车时间是 3 的倍数 3 路汽车每隔 5 分 精品文档 2欢迎下载 钟发一次车 就是指发车时间是 5 的倍数 至少再过多少分钟又同时发车一次 只要求是 3 和 5 的最小公倍数便可 3 5 15 答 至少再过 15 分钟后又同时发车 例 5 小明想把一张长 36 厘米 宽 24 厘米的白纸折出一些尽可能大的正方 最后没有多 余 请问这些正方的边长是多少 一共可以折出多少个正方 分析与解 要想使最后没有多余 那么正方的边长必需是 36 的因数 也必需是 24 的因数 这些因数里最大的一个就是正方的边长 36 24 12 36 12 3 24 12 2 3 2 6 答 这些正方的边长是 12 厘米 一共可以折出六个正方 例 6 为庆六一 六年级同学买来 336 枝红花 252 枝黄花 210 枝粉花 用这些花可以扎 成每束最多多少束同样的花 在每束花中 红 黄 粉三种花共有几枝 分析与解 要使每一束花的花束最多 并且没有剩余 就是求每束花的最大公因数 336 252 210 42 336 42 8 252 42 6 210 42 5 8 6 5 19 支 答 这些花可以扎成每束最多 42 束同样的花 在每束花中 红 黄 粉三种花共有 19 支 4 数学思惟方法总结 在实际应用时 怎样区分是求最大公因数还是求最小公倍数 成为很多学生的难题 其实 可 以把问题模型化 画一些简单的示意图就可解决 例如把一个长方形裁成若干个边长最大的 正方 动手一画 就发现是要求长与宽的最大公因数 把若干个长方形拼成一个边长最小的正 方 动手一画 就发现是要求长与宽的最小公倍数 5 设计构想 的知识点相当多 概念特别容易混合 建议同学们把这部分知识收拾整顿成知 识树 理清它们的区分与联系 本单元的题型也很多 通过各类各样的题型练习 同学们可 以学会怎样审题 找到具体问题与实际知识点之间的联系 六 巩固练习 一 写一个能同时被 4 和 25 整除的最小五位数 分析与提示 4 和 25 是互质数 同时能被 4 和 25 整除的数一定是 100 的倍数 这个最小 五位数是 10000 二 在机床上有甲 乙两个齿轮相互咬合 甲齿轮有 28 个齿 乙齿轮有 42 个齿 当这两 个齿轮第二次咬应时 乙齿轮转了几圈 分析与提示 28 42 84 84 42 2 答 乙齿轮转了 2 圈 3 1 A 和 B 都是自然数 若 A B 10 那么 A 与 B 的最大公因数是 最小公倍数是 2 若 A 3 2 5 7 B 3 5 2 11 则 A 和 B 的最大公因数是 最小公倍数是 精品文档 3欢迎下载 分析与提示 1 A 和 B 是倍数瓜葛时 且 A 大于 B A 与 B 的最大公因数是 B 最小公倍 数是 A 2 A 和 B 的最大公因数是 3 2 5 30 最小公倍数是 3 2 5 7 11 2310 4 有两个数 它们的最大公因数是 15 最小公倍数是 225 其中一个数是 45 另一个数 是多少 分析与提示 两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数 所以另 一个数是 15 225 45 75 5 有两个数 其中的一个数是另一个数的 已经知它们的最小公倍数是 54 那么这两个 数的最大公因数是多少 分析与提示 将 其中的一个数是另一个数的 这句话进行转化得 另一个数是这个数的 3 倍 可发现 当两个数是倍数瓜葛时 它们的最小公倍数就是较大的那个数 所以这两个 数分别是 54 和 18 它们的最大公因数是 18 六 长和宽为自然数 平面或物体表面的大为 105 的形状不同的长方形共有多少种 分析与提示 因为 105 1 105 3 35 5 21 7 15 可把每一组数据当做长方形的长和宽 故有 5 种 7 一个长方形的平面或物体表面的大是 240 平方厘米 长和宽是相邻的两个自然数 这个 长方形的周长是多少厘米 分析与提示 240 15 16 所以这个长方形的周长是 15 16 2 62 厘米 8 把 14 33 六 55 35 49 这六个数均等分成两组 使这两组数各自的积相称 分析与提示 先把这六个数分解质因数 14 2 7 33 3 11 6 2 3 55 5 11 35 5 7 49 7 7 在这六个因式中 共有 2 个 2 2 个 3 2 个 5 2 个 11 4 个 7 所以这两组只能是 49 6 55 和 14 35 33 二 数学能力的拓展与提高 一 数学思维方法的讲解 1 在求公倍数时 每 3 天去一次与每隔 3 天去一次并纷歧样 要注意区分 2 求一个数的因数有多少个 有一个公式 请同学们掌握 同时可以用来检验找因数时 是否有遗漏的情况 二 数学思维方法的应用 例 1 若 A 32 54 75 那么 A 有多少个因数 分析与解 A 的因数含有因数 3 的有 3 种情况 含有因数 5 的有 5 种情况 含有因数的有 6 种情况 搭配起来 共有 3 5 6 90 种情况 答 A 有 90 个因数 由上题我们可发现求因数个数的计算方法 若 A 分解因式的结果是 A am bn cp 那么 A 的因数有 m 1 n 1 p 1 个 例 2 有 0 1 5 7 6 五张卡片 从中选出四张组成一个四位数 使得这个数能被 2 整 除 又能被 3 整除 这个数最大是多少 精品文档 4欢迎下载 分析与解 先选择较大的数 若选择 7 6 5 1 四个数 不管组成的数是多少 都不能被 3 整除 故选择 7 6 5 0 四个数码 这个数最大是 7650 它既能被 2 整除 又能被 3 整 除 例 3 六年级 72 名学生共捐款 85 9 元 若每人捐款的数量两样多 请你猜测每 人捐了多少钱 分析与解 因为 72 8 9 8 和 9 互质 所以 859 这个数一定是 8 和 9 的倍数 若是 8 的倍数 那么 59 一定是 8 的倍数 只有 592 是 8 的倍数 若是 9 的倍数 8 5 9 2 24 只有 24 3 27 所以这个数只能是 38592 385 92 72 5 36 元 答 可猜测出每人捐人 5 36 元 例 4 某班学生人数在 40 与 50 之间 要是分成 6 人一组 那么有一个小组少 4 人 要是 分成 8 个人一组 那么有 4 个小组各多一人 求这个班的人数 分析与解 先假设这个班的人恰好可分成 6 人一组 也恰好可分成 8 人一组 那么这个班 的人数就是 8 和 6 的公倍数 在 40 50 之间的数满足这个条件的只有 48 尝试一下 48 4 44 44 8 5 4 满足条件 答 这个班的人数是 44 人 例 5 从学校到少年宫的路上 一共有 37 根电线杆 原来每 2 根电线杆之间相距 50 米 现在要改成每 2 根之间相距 60 米 除两端的 2 根不需移动外 中间另有多少根不必移动 分析与解 先求出学校到少年宫的旅程 37 1 50 1800 米 50 60 300 所以第 300 米 600 米 900 米 1200 米 1500 米处的电线杆不必移动 答 中间有 5 根不需要移动 3 巩固练习 一 一个最简分数 分子 分母的和是 50 要是把这个分数的分子 分母都减去 5 所得 分数的值是 原来的分数是 A B C D 分析与提示 原来分数的分子与分母的和是 50 把这个分数的分子和分母都减去 5 后 现 在分子与分母的和是 40 分数的值是 现在分数的分子是 40 5 2 16 分母是 24 原来 的分数是 故选择 B 二 警察查找一辆肇事汽车商标 四位数 一位目击者对数码很敏感 他提供说 第一 位数码最小 最后两位数是最大的两位双数 前两位数码的乘积的 4 倍刚好比后两位数少 2 你能帮警察叔叔猜出这个车商标吗 分析与提示 最大的两位双数是 98 倒推法得到前两位数是 98 2 4 24 所以这个车 商标码是 2498 3 一个能被 2 和 3 同时整除的四位数 它的千位上的数既然奇数又是合数 它的百位上的 数不是质数也不是合数 它的十位上的数是最小的质数 个位上的数是多少 分析与提示 千位上的数是 9 百位上的数是 1 十位上数是 2 同时又因为这个四位数能 同时能被 2 和 3 整除 所以个位上的数可能是 0 或 6 4 一筐苹果不超过 250 个 3 个 3 个地数 5 个 5 个地数 7 个 7 个地数恰好数完 这筐 苹果最多有多少个 分析与提示 这筐苹果绝对是 3 的倍数 5 的倍数 7 的倍数 3 5 7 105 在 250 以 精品文档 5欢迎下载 内 这堆苹果最多有 210 个 5 商店里有 6 箱货物 分别重 16 17 18 19 20 31 千克 两个顾客买走了其中的 5 箱 已经知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的 2 倍 问 商店里剩下的 1 箱货物重 多少千克 分析与提示 这 6 箱货物共重 16 17 18 19 20 31 121 千克 因为一个顾客的货物是另一 个顾客的 2 倍 这两个顾客买走了其中的 5 箱货物总重一定是 3 的倍数 只有 121 16 105 121 19 102 121 31 90 满足条件 105 3 35 35 17 18 满足要求 102 3 34 34 16 18 满足要求 90 3 30 不满足要求 答 商店里剩下的 1 箱货物重 16 千克或 19 千克 六 甲每秒跑 3 米 乙每秒跑 4 米 丙每秒跑 2 米 三人沿 600 米的环形跑道从同一点儿 同时同向跑步 经过多少时间三人又同时从出发点出发 分析与提示 甲跑一圈需要时间 600 3 200 秒 乙跑一圈需要时间 600 4 150 秒 丙跑一圈需要时间 600 2 300 秒 200 150 300 600 答 经过 600 秒三人又同时从出发点出发 7 500 位同学站成一排 从左到右数 1 2 3 报数 凡报到 1 和 2 的离队 报 3 的留下 向左看齐再重复同样的报数过程 如此进行了若干次后 只有两位同学了 这两位同学在 开始的队伍中位于从左到右的第几个 分析与提示 首届报数留下的人是 3 6 9 12 恰好是 3 的倍数 第二次报数留下的人是 9 18 27 恰好是 9 的倍数 第三次报数留下的人是 27 54 81 恰好是 27 的倍数 第四次报数留下的人是 81 162 243 恰好是 81 的倍数 第五次报数留下的人是 243 486 号同学 答 这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第 243 号和第 486 号 三 数学思维训练 一 经典例题 例 1 在六位数 568 的方框中填入三个数码 使这个六位数能被 3 4 5 整除 求满足 条件的最小的六位数 分析与解 设六位数为 568ABC 因为六位数分别是 3 4 5 的倍数 所以 1 5 6 8 A B C 19 A B C 是 3 的倍数 即 A B C 被 3 除余 2 2 BC 是 4 的倍数 3 C 0 或 5 由此可知 C 0 且 B 是 0 2 4 6 8 之一 由于要求最小的六位数 所以 A 从最小数开始实验 有 A 0 B 2 时满足条件 所以所求的 六位数为 568020 例 2 已经知七位数 92AB427 能被 99 整除 求这个七位数 分析与解 因为 99 9 11 且 9 和 11 互质 所以所求的七位数要能被 9 和 11 整除 有 1 9 2 4 2 7 A B 24 A B 是 9 的倍数 得 A B 3 或 A B 12 2 9 4 7 A 2 2 B 16 A B 是 11 的倍数 得 A B 6 或 B A 5 精品文档 6欢迎下载 对比条件可知 只有当 A B 12 A B 6 时 A B 有解 A 9 B 3 因此所要求的数是 9293427 例 3 把一张长 1 米 3 分米 5 厘米 宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样巨细的正方纸块 而没有 剩余 问能裁成最大的正方纸块的边长是多少 共可裁成几块 分析与解 要把长方形的纸裁成同样巨细的正方纸块 还不能剩余 这个正方纸块的边长 应该是长方形的长和宽的条约数 由于题目要求是最大的正方纸块 所以正方纸块的边长 是长方形的长和宽的最大条约数 1 米 3 分米 5 厘米 135 厘米 1 米 5 厘米 105 厘米 135 105 15 长方形的平面或物体表面的大是 135 105 14175 平方厘米 正方的平面或物体表面的大是 15 15 225 平方厘米 共可裁成正方纸块 14175 225 63 张 例 4 一盒铅笔 可以均等分给 2 3 4 5 六个小伴侣 这盒铅笔最少有多少支 分析与解 这些铅笔可以均等分给 2 3 4 5 六个小伴侣 因此 铅笔的支数一定是 2 3 4 5 6 的公倍数 求铅笔最少有多少支 就是求 2 3 4 5 6 的最小公倍数 2 3 4 5 6 60 例 5 两个质数的和是 50 求这两个质数的乘积的最大值是多少 分析与解 把 50 表示为两个质数的和 共有四种形式 50 47 3 43 7 37 13 31 19 经计算发现 31 19 587 最大 例 6 试写出十个连续的自然数 个个都是合数 分析与解 我们要想找出十个连续的自然数而且每一个数都是合数 显然 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 是不行的 因为这十个自然数不是个个都是合数 我们设 K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 那么 K 2 K 3 K 4 K 11 为连续的 10 个数 K 是 2 的倍数 所以 K 2 能被 2 整除 K 是 3 的倍数 所以 K 3 能被 3 整除 K 是 4 的倍数 所以 K 4 能被 4 整除 K 是 11 的倍数 所以 K 11 能被 11 整除 所以 K 2 K 3 K 4 K 11 为连续的 10 个合数 二 数学思维训练题 一 爷爷对小明说 我现在的年龄是你的 7 倍 过几年是你的 6 倍 再过几年是你的 5 倍 4 倍 3 倍 2 倍 爷爷和小明现在的年龄各是多少 分析与提示 此题先可以这样想 设小明今年 X 岁 爷爷今年就是 7X 岁 再过 A 年 可列方程 6 X A 7X A 解得 X 5A 再过 B 年 可列方程 5 X B 7X B 解得 X 2B 所以 X 既然 5 的倍数 又是 2 的倍数 所以 X 是 10 的倍数 可从 10 尝实验证 恰好得到 精品文档 7欢迎下载 爷爷今年 70 岁 小明今年 10 岁 二 甲 乙两人在 400 米的环形跑道上晨练 甲跑一圈需要 70 秒 乙跑一圈需要 75 秒 两人约好同时从起点出发 到两人同时回到终点时结束晨练 那么这次晨练他们用了几分 钟 分析与提示 70 75 1050 1050 60 17 5 分 答 这次晨练他们用了 17 5 分钟 3 有一根绳子 分别在它的 10 等分处 12 等分处和 15 等分处剪断 那么这根绳子最后 被剪成几段 分析与提示 假设这段绳子长 60 米 60 10 6 米 60 12 5 米 60 15 4 米 10 等分和 12 等分重叠的地方在 30 米处 10 等分和 15 等分重叠的地方在 12 米 24 米 36 米 48 米处 12 等分和 15 等分重叠的地方在 20 米 40 米处 9 11 14 7 27 27 1 28 段 答 这根绳子最后被剪成 28 段 4 大雪后的一天 小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长 他俩走的起点和 标的目的完全相同 小亮每步长 54 厘米 爸爸每步长 72 厘米 由于两人的脚印有重合 所以各走完一圈后雪地上只留下 60 个脚印 求花园的周长 分析与提示 54 72 216 216 54 4 步 216 72 3 步 4 3 1 6 步 60 6 216 2160 米 答 花园的周长是 2160 米 5 有一根长方体木料 它相邻两个面的平面或物体表面的大是 108 平方分米和 32 平方分 米 长 宽 高都是整分米数且长度均不为 1 分米 要是把它锯成若干个小正方体并能拼 成一个大正方体 那么这个长方体的长 宽 高各是多少 这根长方体木料最少能锯成几 个小正方体 需要锯几次 分析与提示 设长方体的长 宽 高分别为 a b c 可