高中数学常用公式大全60363

高中数学常用公式大全高中数学常用公式大全 1 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 1 个 非空 12 n a aa 2n2n2n 的真子集有 2 个 2n 4 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 5 方程在上有且只有一个实根 与不等价 前者是后者的一个必0 xf 21 kk0 21 kfkf 要而不是充分条件 特别地 方程有且只有一个实根在内 等价于 0 0 2 acbxax 21 kk 或且 或且 0 21 kfkf0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 6 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 点处取得 具体如下 可画图解决问题 1 当 a 0 时 若 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a0 则的周期 T a axfxf xf 16 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 17 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 当为偶数时 n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 18 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于 无理数指数幂都适用 19 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 20 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 21 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 22 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 23 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 24 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 25 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin 27 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 28 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 辅助角所在象限由点的象限决定 a btan b a 29 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 30 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且 A 0 0 的sin yx cos yx 周期 2 T 函数 A 为常数 且 A 0 0 的周期 tan yx 2 xkkZ T 31 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 32 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 33 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 34 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB sinC sin A B cosC cos A B tanC tan A B 35 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a a a 2 第一分配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 36 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 37 平面向量基本定理 如果 e1 e 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实 数 1 2 使得 a 1e1 2e2 不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 38 向量平行的坐标表示 设 a b 且 b0 则 a b b0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 39 a 与 b 的数量积 或内积 a b a b cos 40 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 41 平面向量的坐标运算 1 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a 则a x yR xy 5 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 42 两向量的夹角公式 a b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 43 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 44 向量的平行与垂直 设 a b 且 b0 则 11 x y 22 xy A bb a 1221 0 x yx y ab a0 a b 0 1212 0 x xy y 45 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的坐标是 11 A x y 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 46 三角形四 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 47 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 bababa 48 均值定理 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 49 一元二次不等式 如果与同 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 号 则其解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根a 2 axbxc 之外 异号两根之间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 50 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 51 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 52 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 53 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 54 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 55 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其 000 P xy 00 yyk xx 0 xx 中是待定的系数 经过定点的直线系方程为 其中是k 000 P xy 00 0A xxB yy A B 待定的系数 2 共点直线系方程 经过两直线 的交点的直线系 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 方程为 除 其中 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系方程 与直线ykxb 平行的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0AxBy 0 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是0AxByC 是参变量 0BxAy 56 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 57 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 则或所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若 当与同号时 表示直线 的上方的区域 当与异号时 0B BAxByC lBAxByC 表示直线 的下方的区域 简言之 同号在上 异号在下 l 若 当与同号时 表示直线 的右方的区域 当与异号时 0B AAxByC lAAxByC 表示直线 的左方的区域 简言之 同号在右 异号在左 l 58 或所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设曲线 则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 59 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 60 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则 22 00 daxby 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr Pdr Pdr P 61 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中 22 BA CBbAa d 62 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 63 椭圆的标准方程及简单的几何性质 64 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 65 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 66 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 y 轴上 0 67 抛物线的焦半径公式pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 68 抛物线上的动点可设为 P或 P 其中 pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 69 抛物线的内外部 1 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 70 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 AB 22 1212 ABxxyy 21 2 21 2 1 11yy k xxk 弦端点 A 由方程 消去 y 得到 为 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 直线的倾斜角 为直线的斜率 ABk 71 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 72 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 73 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 74 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 75 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 76 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 数乘分配律 a b a b 77 共线向量定理 对空间任意两个向量 a b b 0 a b存在实数 使 a b 三点共线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且不共线且不共线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 78 球的半径是 R 则 其体积 3 4 3 VR 其表面积 2 4SR 79 柱体 锥体的体积 是柱体的底面积 是柱体的高 1 3 VSh 柱体 Sh 是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh 锥体 Sh 80 互斥事件 A B 分别发生的概率的和 P A B P A P B 8