高一数学2014-2015高中数学必修4第二章 平面向量单元测试题及答案解析

第二章第二章测试测试 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每题 5 分 共 60 分 在每小题 给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 有下列四个表达式 a b a b a b a b a2 a 2 a b a b 其中正确的个数为 A 0 B 2 C 3 D 4 2 下列命题中 正确的是 A a 2 5 与 b 4 10 方向相同 B a 4 10 与 b 2 5 方向相反 C a 3 1 与 b 2 5 方向相反 D a 2 4 与 b 3 1 的夹角为锐角 3 已知 a b 均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 a 3b A B 710 C D 4 13 4 已知向量 a b x 1 2 其中 x 0 若 a b 8 1 2x x 则 x 的值为 A 8 B 4 C 2 D 0 5 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 1 点 P 在 AM 上且满 足 2 则 等于 AP PM AP PB PC A B 4 9 4 3 C D 4 3 4 9 6 若向量 a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则 x A 6 B 5 C 4 D 3 7 向量 a 1 1 且 a 与 a 2b 方向相同 则 a b 的取值范 围是 A 1 1 B 1 C 1 D 1 8 设单位向量 e1 e2的夹角为 60 则向量 3e1 4e2与向量 e1 的夹角的余弦值为 A B 3 4 5 37 C D 25 37 5 37 37 9 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O E 为线段 OD 的中点 AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 a b 则 AC BD AF A a b B a b 1 4 1 2 2 3 1 3 C a b D a b 1 2 1 4 1 3 2 3 10 已知点 B 为线段 AC 的中点 且 A 点坐标为 3 1 B 点 坐标为 则 C 点坐标为 1 2 3 2 A 1 3 B 5 4 5 4 C 4 2 D 2 4 11 已知 a 2 b 0 且关于 x 的方程 x2 a x a b 0 有实根 则 a 与 b 夹角的取值范围是 A B 0 6 3 C D 3 2 3 6 12 在 ABC 所在平面内有一点 P 如果 PA PB PC AB 则 PAB 与 ABC 的面积之比是 A B 1 3 1 2 C D 2 3 3 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每题 5 分 共 20 分 将答案填 在题中横线上 13 已知 a 2cos 2sin b 3 且 a 与 b 共线 3 0 2 则 14 假设 a 2 b 1 3 若 a b 则 a 5 15 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 2 那么 c AB AC BA BC 16 关于平面向量 a b c 有下列三个命题 若 a b a c 则 b c 若 a 1 k b 2 6 a b 则 k 3 非零向量 a 和 b 满足 a b a b 则 a 与 a b 的 夹角为 60 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知 a 3 b 2 a 与 b 的夹角为 60 c 3a 5b d ma 3b 1 当 m 为何值时 c 与 d 垂直 2 当 m 为何值时 c 与 d 共线 18 12 分 如图所示 在 ABC 中 C 为直角 CA CB D 是 CB 的中点 E 是 AB 上的点 且 AE 2EB 求证 AD CE 19 12 分 已知在 ABC 中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 AD 为 BC 边上的高 求 与点 D 的坐标 AD 20 12 分 在直角坐标系中 已知 4 4 5 1 OA OB 在方向上的射影数量为 求的坐标 OB OA OM MB 21 12 分 如图 在平面斜坐标系 xOy 中 xOy 60 平面上任一点 P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的 若 xe1 ye2 其中 e1 e2分 OP 别为与 x 轴 y 轴同方向的单位向量 则点 P 的斜坐标为 x y 1 若点 P 的斜坐标为 2 2 求点 P 到 O 的距离 OP 2 求以 O 为圆心 以 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程 22 12 分 如图 在四边形 ABCD 中 R BC AD AB 2 2 且 BCD 是以 BC 为斜边的直角三角 AD CB CD 3 形 1 求 的值 2 求 的值 CB BA 1 解析 对于 仅当 a 与 b 同向时成立 对于 左边 a b 0 而右边可能 0 不成立 对于 a2 a 2 a2 a 2不成立 对于 当 a b 时不成立 综上知 四个式子都是错误的 答案 A 2 解析 在 B 中 a 4 10 2 2 5 2b a 与 b 方向相反 答案 B 3 解析 a 3b 2 a 3b 2 a2 9b2 6a b 1 9 6 a b cos60 13 a 3b 13 答案 C 4 解析 a b 8 x 2 x x 1 0 即 x2 16 又 1 2 x 0 x 4 答案 B 5 解析 M 为 BC 的中点 得 2 PB PC PM AP 2 AP PB PC AP 又 2 AP PM AP 2 3 AM 2 3 2 2 AP AP 4 9 答案 A 6 解析 8a b 8 1 1 2 5 6 3 c 3 x 8a b c 6 3 3 x 18 3x 又 8a b c 30 18 3x 30 x 4 答案 C 7 解析 依题意可设 a 2b a 0 则 b 1 a 1 2 a b 1 a2 1 2 1 1 1 2 1 2 答案 B 8 解析 3e1 4e2 e1 3e 4e1 e2 3 12 4 1 1 cos60 2 1 5 3e1 4e2 2 9e 16e 24e1 e2 9 12 16 12 24 1 1 c 2 12 2 os60 37 3e1 4e2 37 设 3e1 4e2与 e1的夹角为 则 cos 5 37 1 5 37 答案 D 9 解析 如图所示 AF AD DF 由题意知 DE BE DF BA 1 3 DF 1 3AB a b a b a b AF 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1 3 答案 B 10 解析 设 a 与 b 的夹角为 a 2 4a b 0 a b cos a 2 4 a b a b a 2 4 a b 1 2 0 3 答案 B 11 解析 设 C x y 则由 得 AB BC 1 2 3 3 2 1 x 1 2 y 3 2 Error Error C 4 2 答案 C 12 解析 因为 所以 PA PB PC AB PB PA 2 0 2 2 所以点 P 是线段 AC 的三等分点 PA PC PC PA AP 如图所示 所以 PAB 与 ABC 的面积之比是 1 3 答案 A 13 解析 由 a b 得 2cos 6sin cos 0 3 tan 又 0 2 或 3 3 6 7 6 答案 或 6 7 6 14 解析 设 a x y 则有 x2 y2 20 又 a b a b 0 x 3y 0 由 解得 x 3 y 或 x 3 222 y 2 a 3 或 a 3 2222 答案 3 或 3 2222 15 解析 由题知 2 AB AC BA BC 即 2 2 c AB AC AB BC AB AC CB AB AB 2 答案 2 16 解析 当 a 0 时 不成立 对于 若 a b 则 2k 6 k 3 成立 对于 由于 a b a b 则以 a b 为邻边的平行四边形 为菱形 如图 BAD 60 a b 由菱形的性质可知 a 与 AC a b 的夹角为 BAC 30 答案 17 解 1 令 c d 0 则 3a 5b ma 3b 0 即 3m a 2 15 b 2 5m 9 a b 0 解得 m 29 14 故当 m 时 c d 29 14 2 令 c d 则 3a 5b ma 3b 即 3 m a 5 3 b 0 a b 不共线 Error 解得Error 故当 m 时 c 与 d 共线 9 5 18 证明 设此等腰直角三角形的直角边长为 a 则 AD CE AC CD CA AE AC CA CD CA AC AE CD AE a2 0 a a a 2 2 3 2 2 a 2 2 2 3 2 2 a2 a2 a2 0 2 3 1 3 AD CE AD CE 19 解 设 D 点坐标为 x y 则 x 2 y 1 AD 6 3 x 3 y 2 BC BD D 在直线 BC 上 即与共线 BD BC 存在实数 使 BD BC 即 x 3 y 2 6 3 Error x 3 2 y 2 即 x 2y 1 0 又 AD BC 0 AD BC 即 x 2 y 1 6 3 0 6 x 2 3 y 1 0 由 可得Error AD 1 2 2 225 即 D 1 1 AD 5 20 解 设点 M 的坐标为 M x y 在方向上的射影数量为 OB OA OM 0 OM MB OM MB 又 x y 5 x 1 y OM MB x 5 x y 1 y 0 又点 O M A 三点共线 OM OA x 4 y 4 Error 解得Error 5 2 1 2 3 3 MB OB OM 21 解 1 因为点 P 的斜坐标为 2 2 故 2e1 2e2 2 2e1 2e2 2 8 8e1 e2 8 8cos60 4 OP OP 2 即 OP 2 OP 2 设圆上动点 M 的坐标为 x y 则 xe1 ye2 OM 又 1 故 xe1 ye2 2 1 OM x2 y2 2xye1 e2 1 即 x2 y2 xy 1 故所求方程为 x2 y2 xy 1 0 22 解 1 因为 BC AD 所以 BC AD 且 BC AD 因为 2 AB