安徽省合肥市2020届高三数学零模试题 理（含解析）

1 安徽省合肥市安徽省合肥市 20202020 届高三数学零模试题届高三数学零模试题 理 含解析 理 含解析 注意事项注意事项 1 1 答题前 务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名 准考证号和座位号后两位 答题前 务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名 准考证号和座位号后两位 2 2 答第答第 卷时 每小题选出答案后 用卷时 每小题选出答案后 用 2b2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 3 3 答第答第 卷时 必须使用卷时 必须使用 0 50 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写 要求字体工整 笔遗毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写 要求字体工整 笔遗 清晰清晰 作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出 确认后再用作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出 确认后再用 0 50 5 毫米的黑色墨水签字笔毫米的黑色墨水签字笔 描清楚 必须在题号所指示的答题区域作答 超出答题区城书写的答案无效 在试题卷 草描清楚 必须在题号所指示的答题区域作答 超出答题区城书写的答案无效 在试题卷 草 稿纸上答题无效 稿纸上答题无效 第第 卷卷 满分满分 6060 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 若集合 则 2 0ax x x 10bx x ab a b c d 10 x xx 或 12xx 2 x x 1x x 答案 c 解析 分析 解一元次二次不等式得或 利用集合的交集运算求得 2ax x 0 x ab 2 x x 详解 因为或 所以 故选 c 2ax x 0 x 1bx x ab 2 x x 点睛 本题考查集合的交运算 属于容易题 2 已知i是虚数单位 复数在复平面内对应的点位于 1 3 1 i z i a 第四象限b 第三象限c 第二象限d 第一象限 答案 b 2 解析 分析 利用复数的四则运算得 从而得到其对应点在第三象限 1 2zi 详解 1 3 1 3 1 133 1 2 1 1 1 2 iiiii zi iii 其对应点在第三象限 故选 b 点睛 本题考查复数的四则运算及复数与复平面内点的对应关系 zz 3 执行下图的程序框图 若输入n 3 x 3 则输出y的值为 a 16b 45c 48d 52 答案 c 解析 分析 运行程序 进入循环结构 直到时退出循环 输出的值 0i y 详解 运行程序 输入 判断是 判断是 3 3nx 1 2yi 5 1yi 判断是 判断否 输出 故选 c 16 0yi 48 1yi 48y 点睛 本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果 属于基础题 3 4 已知双曲线的渐近线为 实轴长为 4 则该双曲线的方程为 2 2 yx a b 或 22 1 42 xy 22 1 48 xy 22 1 84 yx c d 或 22 1 48 xy 22 1 42 xy 22 1 48 yx 答案 d 解析 分析 根据双曲线的渐近线 设双曲线的方程为 再对分两种情况讨论 2 2 yx 2 2 2 x y 由实轴长为 4 得到关于的方程 求出后得到双曲线的方程 详解 因为双曲线的渐近线 设双曲线的方程为 2 2 yx 2 2 2 x y 当时 双曲线焦点在轴上 且 所以 解得 0 x 2 2a 22 24a 2 当时 双曲线焦点在轴上 且 所以 解得 0 y 2 a 224a 4 所以双曲线的方程为或 故选 d 22 1 42 xy 22 1 48 yx 点睛 本题考查利用双曲线渐近线方程 实轴长求双曲线的方程 利用双曲线的一般方程 求解 会使解题过程更简洁 考查运算求解能力 5 已知为直线 为平面 且 则 是 的 m n m nm n a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件 c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 分析 在长方体中 设为直线 为直线 显然推不出 1111 abcdabc d abm 11 ad nnm 4 反之 由线面垂直的性质得 n nm 详解 如图在长方体中 设为直线 为直线 为平面 1111 abcdabc d abm 11 ad n abcd 此时 但 所以推不出 nm n nm n 反之 若 则 所以是的必要而不充分条件 故选 b n m nm nm n 点睛 判断是 的什么条件 一般是先考虑 能否成立 再考虑能否成立 pqpq qp 若是不成立 则只要举出反例即可 6 已知一个机械工件的正 主 视图与侧 左 视图如图所示 俯视图与正 主 视图完全一样 若图中小网格都是边长为 1 的正方形 则该工件的表面积为 a 24b 26c 28d 30 答案 c 解析 分析 根据三视图判断出几何体的结构 并由此计算出表面积 详解 由三视图可知 该几何体是由两个圆柱组合而成 故表面积为 故选 c 2 2 2 4 222 1 228 点睛 本小题主要考查三视图还原为原图 考查组合体的表面积计算 考查圆柱的表面积 公式 属于基础题 5 7 某公司一种型号的产品近期销售情况如下表 月份x 23456 销售额 万元 y 15 116 317 017 218 4 根据上表可得到回归直线方程 据此估计 该公司 7 月份这种型号产品的销售 0 75yxa 额为 a 19 5 万元b 19 25 万元c 19 15 万元d 19 05 万 元 答案 d 解析 由题意可得 23456 4 5 x 15 1 16 3 17 0 17 2 18 4 16 8 5 y 回归方程过样本中心点 则 16 80 75 4 13 8 aa 回归方程为 该公司 7 月份这种型号产品的销售额为 0 751 8 3 yx 万元 0 75 713 89 1 05y 本题选择d选项 8 若直线经过圆的圆心 则 20 0 0 l axbyab 22 2410 xyxy 的最小值为 11 ab a b c d 2 222 21 3 2 2 答案 d 解析 分析 6 利用直线过圆心得的关系为 再利用 的代换及基本不等式求得式子 a b 1 2 1 2 ab 1 最小值为 3 2 2 详解 圆的标准方程为 所以圆心为 22 1 2 4xy 1 2 因为直线过圆心 所以 220ab 1 2 1 2 ab 所以 1111 abab 1 2 2 ab 12 3 2 ab ba 3 2 2 等号成立当且仅当 故选 d 2 22 22ab 点睛 本题考查圆的方程 直线与圆的位置关系 基本不等式求最值等知识 注意 1 的代换在基本不等式求最值的巧用 同时注意验证等号成立的条件 9 展开项中的常数项为 5 1 1 x x a 1b 11c 19d 51 答案 b 解析 分析 展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的 所以可分成三种情况 详解 展开式中的项为常数项 有 3 种情况 1 5 个括号都出 1 即 1t 2 两个括号出 两个括号出 一个括号出 1 即 x 1 x 2222 53 1 130tcxc x 3 一个括号出 一个括号出 三个括号出 1 即 x 1 x 11 54 1 120tcx c x 所以展开项中的常数项为 故选 b 1 302011t 点睛 本题考查二项式定理知识的生成过程 考查定理的本质 即展开式中每一项是由每 个括号各出一项相乘组合而成的 7 10 函数的图象大致为 1 ln 1 x x xe f x e a b c d 答案 b 解析 分析 利用得图象关于轴对称 排除 当时 排 fxf x f xy a d 0 x f x 除 c 详解 所以图象关于轴对称 1 ln 1 x x xe fx e 1 ln 1 x x xe f x e f xy 排除 当时 排除 c 故选 b a d 0 x f x 点睛 本题考查利用函数解析式选函数图象 注意从解析式得到函数的性质 如过特殊点 奇偶性 函数值正负等 11 设抛物线c 的焦点为 斜率为的直线过交于点 2 2 0 ypx p fkfc a b 则直线的斜率为 2affb ab a b c d 2 22 32 2 2 3 答案 c 解析 8 分析 作出抛物线与直线的图象 利用直角三角形中正切函数的定义 求出角的正切值 即斜率 再利用对称性得也成立 2 2 ab k 2 2 ab k 详解 如图所示 作在抛物线准线的射影分别为 过作于 a b a b b beaa e 设所以 2 afm bfm 2 aam bbm 则在中 abe 3abm 2 2 aem bem 所以 2 2 tan2 2 ab bem keab aem 由抛物线的对称性易得也成立 故选 c 2 2 ab k 点睛 本题考查直线与抛物线的位置关系 求解时若能充分利用平面几何性质 能使运算 量大减少 提高解题的速度 12 设数列 的前n项和为 定义数列 如下 对于 n a n s4 21 1 nn snann n b 正整数 是使不等式成立的所有的最小值 则数列 的前 60 项的和为 mm b n am nn b a 960b 930c 900d 840 答案 a 解析 分析 根据递推关系 利用临差法得到 利用不完全归纳 4 21 1 nn snann 21 n an 9 法得到的奇数项 偶数项分别是等差数列 从而求得 n b 60 960s 详解 因为两式相减得 11 4 21 1 4 21 1 nn nn sna sna 1 21 2 23 n n an n an 所以 所以 当时 也成立 32 121 3 521 1 323 n n aaan a aan 21 2 n ann 1n 所以 21 1 n ann 不等式成立 n am 1 2 m n 当时 当时 1m 1 1b 2m 2 2b 当时 当时 3m 3 2b 4m 4 3b 当时 5m 5 3b 所以数列的奇数项构成以 1 为首项 1 为公差的等差数列 n b 偶数项构成以 2 为首项 1 为公差的等差数列 所以 故选 a 60 30 2930 29 1 30 2 30 960 22 s 点睛 本题考查利用与的递推关系求数列的通项 再通过不完全归纳法结合题干的 n a n s 定义得到数列的性质 从而进行求和 对综合能力的要求较高 n b 第第 卷卷 非选择题共非选择题共 9090 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 把答案填写在答题卡上的相应位置把答案填写在答题卡上的相应位置 13 若实数满足约束条件 则的最大值为 x y 10 330 3 xy xy x 2zxy 答案 8 解析 分析 10 作出约束条件所表示的可行域 把求目标函数的最大值 看成直线在 2zxy 2yxz 轴上截距的最小值 找到点的坐标代入目标函数即可 y 详解 如图所示 作出约束条件所表示的可行域 目标函数的最大值等价于直线在轴上截距的最小值 2zxy 2yxz y 所以当直线过点时 其在轴上截距的最小值 所以 3 2 b y max 2 3 2 8z 故填 8 点睛 本题考查线性规划问题 考查利用直线在轴截距的几何意义求最值 y 14 已知 则向量在 的方向上的投影等于 1 1 a 2 1 b b a 答案 2 2 解析 分析 利用数量积定义中对投影的定义 即 把坐标代入运算 求出投影为 cos a b b a 2 2 详解 因为 故填 cosa ba b 1 2 12 cos 2 2 a b b a 2 2 点睛 本题考查向量数量积定义中投影的概念 考查对投影的基本运算 15 若函数在区间上有且仅有一个零点 则实数的取值范围有 2 24 xax a f x 2 a 11 答案 或 0a 1 2 a 解析 分析 函数的零点方程的根 求出方程的两根为 2 24 xax a f x 2 24 xax a 1 4xa 从而可得或 即或 2 0 x 40a 42a 0a 1 2 a 详解 函数在区间的零点方程在区间 2 24 xax a f x 2 2 24 xax a 的根 所以 解得 2 2 2 xaxa 1 4xa 2 0 x 因为函数在区间上有且仅有一个零点 2 24 xax a f x 2 所以或 即或 40a 42a 0a 1 2 a 点睛 本题考查函数的零点与方程根的关系 在求含绝对值方程时 要注意对绝对值内数 的正负进行讨论 16 在中 平分交于点 则线 abc 2ab 7 3 ab 4bc cdacb abd 段的长为 ad 答案 1 解析 分析 根据三角形内角和为 把三个角都用表示 利用正弦定理得 2ab b 利用三角恒等变换 求得 再利用余弦定理求出 最 7 4 3 sin2sin3bb 2 cos 3 b 3ac 后利用角平分线定理求出 1ad 详解 因为 所以 2ab 3cb 12 因为 所以 7 4 3 sinsinac 7 447 3 sin2sin32sincos3sin 2 bbbbbb 整理得 解得 或 舍去 2 24cos7cos60bb 2 cos 3 b 3 cos 8 b 因为 22222 772 2cos 4249 333 acabbcab bcb 所以 3ac 因为平分 所以 解得 故填 cdacb 3 7 4 3 acadad bcbd ad 1ad 1 点睛 本题考查三角恒等变换及三角形中的内角和 正弦定理 余弦定理等知识 对运算 能力和逻辑推理能力要求较高 深入考查函数与方程思想 三 解答题三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 cos2sin 2 6 f xxx 1 求函数的最小正周期 f x 2 当时 求函数的单调递增区间 0 x f x 答案 1 2 和 t 0 6 2 3 解析 分析 1 利用两角差和的正弦公式 辅助角公式化简 并由此求得函数的最小正周期 f x 2 先求得的单调递增区间 然后对进行赋值 求得在区间内的单调递增区 f x k 0 间 详解 1 31 cos2sin2cos2 22 f xxxx 13 31 sin2cos2sin 2 226 xxx 函数的最小正周期 f x t 2 由 222 262 kxkkz 解得 36 kxk 函数的单调递增区间为 f x 36 kkkz 0 x 所求单调递增区间为和 0 6 2 3 点睛 本小题主要考查利用两角差的正弦公式 辅助角公式进行三角恒等变换 考查三角 函数最小正周期和在给定区间上的单调性的求法 属于中档题 18 已知等差数列 数列满足 n a 2 12a 5 24a n b 1 4b 1 nnn bba n n 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 求使得成立的最小正整数的值 123 11118 17 n bbbb n 答案 1 2 17 44 n an 2 22 n bnn nn 解析 分析 1 利用等差数列中任意两项求公差 再用广义通项公式求出 接着利用 4d 44 n an 累加法求数列 2 22 n bnn 2 利用裂项相消法求数列的前项和为 再解不等式求得最 1 n b n 2 1 n n 8 2 1 17 n n 小正整数为 17 n 14 详解 解 1 设等差数列的公差为d 则 则 解得 n a 52 12aa 312d 4d 所以 2 2 44 n aandn 因为 1 44 nn bbn 所以 121321 2 nnn bbbbbbbbn 4 4 14 4 24 4 1 4 n 44 12 1 4 1 nn 也合适 2 22 2 nn n 1 4b 所以 44 n an 2 22 n bnn nn 2 因为 2 1111 11 222 1 21 n bnnn nnn 所以 123 1111111111 1 22231 n bbbbnn 11 1 212 1 n nn 即 解得 8 2 1 17 n n 16n 所不等式成立的最小正整数为 17 n 点睛 本题考查基本量法 累加法求数列通项公式 裂项相消法求和 不等式与数列的交 会问题 考查逻辑推理和运算求解能力 19 第 24 届冬奥会将于 2022 年在中国北京和张家口举行 为宣传冬奥会 让更多的人了解 喜爱冰雪项目 某大学举办了冬奥会知识竞赛 并从中随机抽取了 100 名学生的成绩 绘制 成如图所示的频率分布直方图 15 1 试根据频率分布直方图估计 这 100 人的平均成绩 同一组数据该组区间的中点值代替 2 若采用分层抽样的方 从 70 80 80 90 90 100 三个分数段中共抽取 6 人 再将其随机地分配到 3 个社区开展冬奥会宣传活动 每个社区 2 人 求 同一分数段的学生 分配到不同社区 的概率 答案 1 平均成绩为 2 73 2 5 解析 分析 1 每个小矩形中点乘以小矩形的面积之和 得到该组数据的平均数 73 2 根据分层抽样 在三组中分别选取了 3 人 2 人 1 人 再利用古典概型计算概率值 详解 解 1 0 02 450 16 550 22 650 30 750 20 850 10 9573x 2 由题意知 成绩在 70 80 80 90 90 100 的学生分别选取了 3 人 2 人 1 人 6 人平均分成 3 组分配到 3 个社区 共有种方法 22 64 c c90 同一分数段的学生分配到不同社区的方法有种 32 33 36a a 所以 同一分数段的学生分配到不同社区 的概率 362 905 p 点睛 本题考查频率分布直方图估计平均数 古典概型的概率计算 考查基本数据处理能 力 注意排列 组合计数原理的应用 20 已如三棱柱 点为棱的中点 111 abcabc oab 16 1 求证 平面 1 bc 1 aco 2 若是等边三角形 且 平面上平面 求二 abc 11 60abaaa ab 11 aab b abc 面角的余弦值 1 aacb 答案 1 见解析 2 1 5 解析 分析 1 连结交于 连结 利用三角形的中位线得到 再利用线面 1 ac 1 ac mom 1 bcom 平行判定定理证明平面 1 bc 1 aco 2 以为坐标原点 直线所在直线分别为轴 写出相关点坐标 求 o1 c a oaoo x y z 出平面的法向量为 平面的法向量 求出 1 a ac 1 1 3 1 n 1 abc 2 1 3 1 n 进而得到二面角为锐角 其余弦值为 12 11 12 1 cos 5 n n n n n n 1 aacb 1 5 详解 解 1 连结交于 连结 1 ac 1 ac mom 棱柱知 四边形为平行四边形 为的中点 111 abcabc 11 acc a m1 ac 为的中点 oab1 bcom 平面 平面 om 1 aco 1 bc 1 aco 平面 1 bc 1 aco 2 是等边三角形 且 abc 11 60abaaa ab 1 aoabcoab 17 又 平面平面 平面平面 11 aa b b abc11 aa b b abcab 平面 1 ao abc1 acoo 以为坐标原点 直线所在直线分别为轴 建立如图所示的空间直角坐 o1 c a oaoo x y z 标系 设 则 1 2acabbcaa 1 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 caba 设平面的法向量为 则 1 a ac 1111 nx y z u r 1 nac 11 naa 1 11 0 0 nac naa 1 0 0 1 ac 3 1 aa 3 11 11 30 30 xy yz 令 得 即 1 3y 1 1x 1 1z 1 1 3 1 n 设平面的法向量为 则 1 abc 2222 nxyz 2 nbc 21 nba 2 21 0 0 nbc nba bc 3 10 1 ba 013 22 22 30 30 xy yz 令 得 即 2 3y 2 1x 2 1z 2 1 3 1 n 18 12 11 12 1 cos 5 n n n n n n 由题意可知 二面角为锐角 其余弦值为 1 aacb 1 5 点睛 本题考查空间线面平行判定定理的运用 及利用空间向量求二面角的余弦值 考查 空间想象能力和运算求解能力 找到三条两两互相垂直的直线 建立空间直角坐标系 准确 写出各点坐标是求解问题的关键 21 已知椭圆的离心率为 左 右顶点分别是 上顶点 22 22 1 0 xy cab ab 3 212 a a 为 的面积等于 0 bb 12 a a b 2 1 求椭圆的方程 c 2 设点 直线 分别交椭圆于点 证明 三点共 1 0 4 qpm 1 pa 2 pa c m n m q n 线 答案 1 2 见解析 2 2 1 4 x y 解析 分析 1 根据椭圆的离心率及的面枳为 2 得关于的两个方程 结合 12 a a b a b 222 abc 可求出 从而得到椭圆的方程为 2 1ab 2 2 1 4 x y 2 设点的坐标分別为 利用直线 与椭圆相交关系 m n 1122 m xyn xy 1 pa 2 pa 利用韦达定理可得到点坐标用变量表示出来 然后证明向量 从而得到 m n m qmqn 三点共线 m q n 详解 解 1 由离心率为 得 3 2 3 2 c a 由的面枳为 2 得 12 a a b 2ab 19 222 abc 联立 解得 2 1ab 椭圆的方程为 c 2 2 1 4 x y 2 设点的坐标分別为 m n 1122 m xyn xy 直线的方程为 与椭圆方程联立并整理得 1 2 0 a 1 pa 2 6 m yx 2 2 1 4 x y 2222 9 44360mxm xm 由得 2 1 2 4 2 9 m x m 2 1 2 182 9 m x m 代入直线的方程得 即 1 pa 1 2 6 9 m y m m 2 2 182 9 m m 2 6 9 m m 同理可得 n 2 2 22 1 m m 2 2 1 m m 因为 所以 1 0 qqm 2 2 93 9 m m 2 6 9 m m qn 2 2 3 1 m m 2 2 1 m m 有 知 三点共线 2 2 93 9 m m 2 2 1 m m 2 2 3 1 m m 2 6 9 m m m q n 点睛 本题考查利用待定系数法求椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系 考查逻辑推 理和运算求解能力 在求解过程中要注意解题思路及方向的确定 即设出点的坐标后 m n 可以把两个点的坐标统一用变量进行表示 然后再进行坐标的运算求解 m 22 已知 x f xemx 1 若曲线在点处的切线也与曲线相切 求实数的值 lnyx 2 2 e yf x m