古典概型与几何概型

卓越个性化教案 GFJW0901 学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时 课题古典概型与几何概型 教学目标 1 理解古典概型及其概率计算公式 2 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 3 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 4 了解几何概型的意义 重 点理解古典概型 几何概型的概念 难 点掌握古典概型 几何概型的概率公式 知识点梳理知识点梳理 一 古典概型 1 基本事件 基本事件 一次试验连同其中可能出现的每一个结果 称为一个基本事件 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件 基本事件有以下两个特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 等可能性事件等可能性事件 如果一次试验中可能出现的结果有个 而且所有结果都是等可能的 这种事件叫n 等可能性事件 3 古典概型 古典概型 具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 4 古典概型的概率计算公式 古典概型的概率计算公式 对于古典概型 若试验的所有基本事件数为n 随机事件A包含的基本 事件数为m 那么事件A的概率定义为 m P A n 二 几何概型 1 几何概型的概念 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成正比 则称 这样的概率模型为几何概型 2 几何概型试验的两个基本特征 几何概型试验的两个基本特征 1 无限性 指在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 3 几何概型事件的概率计算公式 几何概型事件的概率计算公式 积 的区域长度 面积或体实验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A AP 作业 卓越个性化教学讲义 2 典型例题分析典型例题分析 题型一 古典概型的概率求法 例1 单选题是标准化考试中常用的题型 一般是从A B C D四个选项中选择一个正确答案 如果 考生掌握了考查的内容 他可以选择唯一正确的答案 假设考生不会做 他随机地选择一个答案 问他答对的概率是 例2 在6瓶饮料中 有2瓶已过了保质期 从中任取2瓶 取到已过保质期的饮料的概率是 例3 将一枚质地均匀的硬币连掷三次 观察落地后的情形 1 写出这个试验的所有的基本事件 2 出现一枚正面朝上 两枚反面朝上 这一事件包含了哪几个基本事件 3 求事件 出现一枚正面朝上 两枚反面朝上 的概率 卓越个性化教学讲义 3 例4 福建文 每次抛掷一枚骰子 六个面上分别标以数字1 2 3 4 5 6 I 连续抛掷2次 求向上的数不同的概率 II 连续抛掷 2 次 求向上的数之和为 6 的概率 题型二 几何概型的概率求法 例 1 如图 在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板 上面画了小 中 大三个同心圆 半径 分别为 2cm 4cm 6cm 某人在在 3m 外向此板投镖 设投镖击中线上或没有投 中木板时都不算 可重投 问 1 投中小圆内的概率是多少 2 投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少 3 投中大圆之外的概率是多少 16cm 卓越个性化教学讲义 4 例 2 在游乐场 有一种游戏是向一个画满均匀方格的大桌面上投硬币 若 硬币刚巧落在任何一个方格的范围内不与方格线重叠 便可获奖 如果硬 币的直径为 2cm 而方格的边长为 5cm 随机投掷一个硬币 获奖的概率有 多大 例 3 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上 6 30 7 30 之间把报纸送到你家 你父亲离开家去 工作的时间在早上 7 00 8 00 之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件 A 的概率是多 少 卓越个性化教学讲义 5 小结小结 1 解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么 然后再分清基本事件总数n与所研究事 件A包含的基本事件数m 再运用公式求解即可 m P A n 2 几何概型的解题关键是找出正确的几何度量 长度 面积还是体积 课堂练习课堂练习 1 每次抛掷一枚骰子 六个面上分别标以1 2 3 4 5 6 连续抛掷2次 则2次向上的数之和 不小于10的概率为 2 一轮船停靠在某港口 只有在该港口涨潮时才能出港 已知该港口每天涨潮的时间是早晨5 00 到7 00和下午5 00到7 00 则该船在一昼夜内可以出港的概率为 3 有 100 张外形完全一样且已编号的卡片 从 1 号到 100 号 从中任取一张 计算 1 卡片编号是偶数的概率 2 卡片编号是 13 的倍数的概率 3 卡片编号是质数的概率 卓越个性化教学讲义 6 4 设有关于x的一元二次方程 若是从区间任取的一个数 是从区间 22 20 xaxb a 0 3 b 任取的一个数 求上述方程有实根的概率 0 2 课后作业课后作业 古典概型 基础训练 1 下列试验中 是古典概型的是 A 种下一粒种子观察它是否发芽 B 从规格直径为 250 0 6 mm 的一批合格产品中任意抽一根 测量其直径 d C 抛一枚硬币 观察其出现正面或反面 D 某人射击中靶或不中靶 2 从甲 乙 丙三人中任选两名代表 甲被选中的概率为 A B C D 1 2 1 3 1 3 2 3 某学生通过计算初级水平测试的概率为 他连续测试两次 则恰有 1 次获得通过的概率为 2 1 4 甲 乙两人做出拳游戏 锤子 剪刀 布 则平局的概率为 甲赢的概率为 5 一个盒子里装有标号为1 2 3 4 5的5个小球 随即的选取两个小球 根据下列条件求两个小球 上的数字之和为偶数的概率 1 小球的选取是无放回的 2 小球的选取是有放回的 卓越个性化教学讲义 7 6 现有一批产品共有6件 其中5件为正品 1件为次品 1 如果从中取出1件 然后放回 再取1件 求连续2次取出的都是正品的概率 2 如果从中一次取2件 求2件都是正品的概率 7 袋中有大小相同的红 黄两种颜色的球各1个 从中任取1个 有放回地抽取3次 求 1 3次全是红球的概率 2 3次颜色全相同的概率 3 3次颜色不全相同的概率 卓越个性化教学讲义 8 四 巩固练习 1 袋中有5个球 其中3个红球 2个白球 现每次取一个 无放回地抽取两次 则第二次取到红球 的概率是 A B C D 5 3 4 3 2 1 10 3 2 在一次数学测验中 某同学有两个单选题 即四个答案选一个 不会做 他随意选了两个答案 则这两道单选题都答对的概率为 A B C D 2 1 4 1 8 1 16 1 3 甲 乙两人随意入住2间空房 则甲乙两人各住1间房的概率是 A B C D 无法确定 3 1 4 1 2 1 4 4本不同的语文书 3本不同的数学书 从中任意取出2本 能取出数学书的概率是 5 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m n作为点P的坐标 则点P m n 落在圆 内的概率是 16 22 yx 6 高一 1 班数学兴趣小组有男生和女生各3名 现从中任选2名学生去参加数学竞赛 则恰有一 名参赛学生是男生的概率是 至少有一名参赛学生是男生的概率是 7 有A B两个口袋 A袋中有6张卡片 其中1张写有0 2张写有1 3张写有2 B袋中有5张卡片 其中2张写有0 1张写有1 2张写有2 从A B两个袋中各取1张卡片 求 1 取出的2张卡片都写有0的概率 2 取出的2张卡片数字之和为2的概率 卓越个性化教学讲义 9 几何概型 基础训练 1 在 500mL 的水中有一个草履虫 现从中随机取出 2mL 水样放到显微镜下观察 则发现草履虫的 概率是 A 0 5 B 0 4 C 0 004 D 不能确定 2 有一半径为 4 的圆 现将一枚直径为 2 的硬币投向其中 硬币与圆面有公共点就算是有效试验 硬币完全落在圆外的不计 则硬币完全落入圆内的概率为 A B C D 9 4 16 9 25 4 25 9 3 一海豚在水池中自由游弋 水池是半径为 20m 的圆 海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率是 4 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆如图所示 随机向正方形内丢一粒豆子 则豆子落入圆内 概率是 5 甲 乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时 假定它们在一昼夜的时间段中 随机到达 试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 三 巩固练习 1 如下图 设 M 是半径为 R 的圆周上一定点 在圆周上等可能地任取一点 N 连接 MN 则弦 MN 的长超过R 的概率为 2 A B C D 5 1 4 1 3 1 2 1 2 某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 他等待的时间不多于 10 分钟的概 率是 3 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M 并以线段 AM 为边作正方形 试求正方形面积介于 到 81之间的概率是 2 36cm 2 cm 卓越个性化教学讲义 10 4 如图所示 取一根长度为 3m 的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得的两段绳子的长度都不 小于 1m 的概率是 5 在 ABC 内任取一点 P 求 ABP 与 ABC 的面积之比大于时的概率为 2 1 6 设 AB 6 在线段 AB 上任取两点 端点 A B 除外 将线段 AB 分成三条线段 1 若分成三条线段的长度均为正整数 求这三条线段可以构成三角形的概率 2 若分成三条线段的长度均为正实数 求这三条线段可以构成三角形的概率 3cm 卓越个性化教学讲义 11 题库与答案题库与答案 一 选择题 1 辽宁文 理 4 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 2 惠州调研二理 方程有实根的概率为 1 0 0 2 nnxx A B C D 2 1 3 1 4 1 4 3 3 广东 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 它们的六个面分别标有 1 2 3 4 5 6 骰子朝上的面的点数分别为 x y 则使 的概率为 1log2 y x A B C D 6 1 36 5 12 1 2 1 4 韶关一模文 有 3 张奖券 其中 2 张可中奖 现 3 个人按顺序依次从中抽一张 小明最后抽 则他抽到中奖券的概率是 A B C D 1 3 1 6 2 3 1 2 5 韶关二模文 一个停车场有 3 个并排的车位 分别停放着 红旗 捷达 桑塔纳 轿车 各一辆 则 捷达 车停在 桑塔纳 车的右边的概率和 红旗 车停在最左边的概率分别是 A 1 2 1 3 B 1 3 1 2 C 1 3 2 3 D 1 2 2 3 6 佛山一模理 如图 矩形长为 6 宽为 4 在矩形内随机地撒 300 颗黄豆 数得落在椭圆外的黄 豆数为 96 颗 以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 A B C D 7 6816 3217 328 68 7 广州一模理 在区间上任取两个数 方程 0 1 a b 22 0 xaxb 的两根均为实数的概率为 A B C D 1 8 1 4 1 2 3 4 8 深圳调研文 甲 乙两人各抛掷一次正方体骰子 它们的六个面分别标有数字 1 2 3 4 5 6 设甲 乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 则满足复数的实部大于虚部的概率是 xyixy A B C D 1 6 5 12 7 12 1 3 9 湛江二模文 已知点满足 8 则点在区域内的概率 P x y 22 3 2 xy P 240 1 0 xy x y 为 A B C D 2 4 1 4 1 8 2 2 卓越个性化教学讲义 12 10 广州二模文 理 甲 乙两位同学玩游戏 对于给定的实数 按下列方法操作一次产生一 1 a 个新的实数 由甲 乙同时各抛一枚均匀的硬币 如果出现两个正面朝上或两个反面朝上 则 把乘以 2 后再减去 12 如果出现一个正面朝上 一个反面朝上 则把除以 2 后再加上 1 a 1 a 12 这样就可得到一个新的实数 对仍按上述方法进行一次操作 又得到一个新的实数 2 a 2 a 当时 甲获胜 否则乙获胜 若甲获胜的概率为 则的取值范围是 3 a 13 aa 4 3 1 a A B C D 12 24 24 12 12 24 二 填空题 11 东莞调研文 每次抛掷一枚骰子 六个面上分别标以 1 2 3 4 5 6 连续抛掷 2 次 则 2 次向上的数之和不小于 10 的概率为 12 梅州一模文 设则函数是增函数的概率为 1 2 3 2 4 6 ab 1 logb a y x 13 惠州调研三文 理 2007 湛江一模文 下图的矩形 长为 5 宽为 2 在矩形内随机地撒 300 颗黄豆 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗 则我们可以估计出阴影部分的面积为 14 江苏 在平面直角坐标系中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均xoy 不大于 2 的点构成的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则落入 E 中的概率 三 解答题 15 广州调研文 已知射手甲射击一次 命中 9 环 含 9 环 以上的概率为 0 56 命中 8 环的概 率为 0 22 命中 7 环的概率为 0 12 1 求甲射击一次 命中不足 8 环的概率 2 求甲射击一次 至少命中 7 环的概率 卓越个性化教学讲义 13 16 海南 宁夏文 为了了解 中华人民共和国道路交通安全法 在学生中的普及情况 调查部门 对某校 6 名学生进行问卷调查 6 人得分情况如下 5 6 7 8 9 10 把这 6 名学生的得分看 成一个总体 1 求该总体的平均数 2 用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名 他们 的得分组成一个样本 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 17 广东文 某初级中学共有学生 2000 名 各年级男 女生人数如下表 已知在全校学生中随机抽 取 1 名 抽到初二年级女生的概率是 0 19 1 求 x 的值 2 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生 问应在初三 年级抽取多少名 3 已知 求初三年级中女生比男生多的概率 245 245 zy 一年级二年级三年级 女生373xy 男生377370z 卓越个性化教学讲义 14 18 山东文 现有 8 名奥运会志愿者 其中志愿者通晓日语 通晓俄语 123 AAA 123 BBB 通晓韩语 从中选出通晓日语 俄语和韩语的志愿者各 1 名 组成一个小组 12 CC 求被选中的概率 求和不全被选中的概率 1 A 1 B 1 C 19 广州一模文 将一颗质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为 1 2 3 4 5 6 先后 抛掷两次 记第一次出现的点数为 第二次出现的点数为 xy 1 求事件 的概率 3xy 2 求事件 的概率 2xy 卓越个性化教学讲义 15 20 海南 宁夏文 设有关于的一元二次方程 x 22 20 xaxb 若是从四个数中任取的一个数 是从三个数中任取的一个数 求上述方程有a012 3 b012 实根的概率 若是从区间任取的一个数 是从区间任取的一个数 求上述方程有实根的概率 a 0 3 b 0 2 卓越个性化教学讲义 16 一 选择题 题题号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91 10 0 答答案案C CC CC CC CA AB BB BB BC CD D 二 填空题 11 12 13 14 6 11 35 23 16 三 解答题 15 解 记 甲射击一次 命中 7 环以下 为事件 甲射击一次 命中 7 环 为事件 由于AB 在一次射击中 与不可能同时发生 故与是互斥事件 ABAB 1 甲射击一次 命中不足 8 环 的事件为 AB 由互斥事件的概率加法公式 0 120 10 22P ABP AP B 答 甲射击一次 命中不足 8 环的概率是 0 22 2 记 甲射击一次 命中 8 环 为事件 甲射击一次 命中 9 环 含 9 环 以上 为C 事件 则 甲射击一次 至少命中 7 环 的事件为 DACD 0 120 220 560 9P ACDP AP CP D 答 甲射击一次 至少命中 7 环的概率为 0 9 16 解 总体平均数为 1 56789 10 7 5 6 设表示事件 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 A 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有 5 6 5 7 58 5 9 510 6 7 共 15 个基本结果 6 8 6 9 610 7 8 7 9 710 8 9 810 910 事件包括的基本结果有 共有 7 个基A 5 9 510 6 8 6 9 610 7 8 7 9 本结果 所以所求的概率为 7 15 P A 17 解 1 由 解得 19 0 2000 x 380 x 2 初三年级人数为 500 370380377373 2000 zy 设应在初三年级抽取 m 人 则 解得 2000 48 500 m m 12 答 应在初三年级抽取 12 名 3 设初三年级女生比男生多的事件为 初三年级女生和男生数记为数对 A y z 由 2 知 则基本事件总数有 500 245 245 yzy zN yz 245 255 246 254 247 253 248 252 249 251 250 250 共 11 个 251 249 252 248 253 247 254 246 255 245 而事件包含的基本事件有 A 共 5 个 251 249 252 248 253 247 254 246 255 245 5 11 P A 一年级二年级三年级 女生373xy 男生377370z 卓越个性化教学讲义 17 18 解 从 8 人中选出日语 俄语和韩语志愿者各 1 名 其一切可能的结果组成的基本事件 空间 111112121 ABCABCABC 122131 ABCABC 132 ABC 211212221 ABCABCABC 222 ABC 231 ABC 232 ABC 311312