综合评价预测学生学习成绩的数学模型

摘要 对学生学习情况分析的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩 同时鼓励 基础相对薄弱的学生树立信心 不断进步 然而 现行的评价方式单纯的根据 绝对 分数 评价学生的学习状况 忽略了基础条件的差异 只对基础条件较好的学生起到 促进作用 对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用 所以 一种能够全面 客 观 公正的新型综合评价模式急需建立与应用 来改变传统的评价方式以更好地促进 全体同学学习的进步与发展 本文通过对附件所给的数据进行全面的整合与分析 考 虑各种可能因素对学习成绩的影响 并在此基础上建立了对学生学习状况的综合评价 模型 从解决以下几个问题来为学校提供更好的评价模型 1 针对问题一 对 612 名学生四个学期的综合成绩进行整体分析 经过对数据的初步 处理和计算 绘制表格做出扇形图 更加直观的对计算结果 平均分 及格率 良好 率 优秀率 极差等 的解析客观整体的评价学生学习的状况 运用 matlab 对其进行 直方图的统计以及正态曲线的拟合 通过结果客观去全面公正的对整体学生的学习情 况做出评价 2 针对问题二 对具体到个人的学习状况的分析和评价以及模型的建立 m 考虑到每 位同学的其实分数的差异即基础不同的同学学习成绩进步空间的难易是有差别的 每位同学在不同难度的试卷测试中的发挥是不一样的 我们在建立模型的过程中引 进了奖罚因子 a 并用多种微分方差和指数方程来转换测验成绩 使较低水平学生 大幅增长的成绩与较高水平的选手小幅增长的成绩可以进行比较 n 其次考虑到原始分一般不能直接反映出考生间差异状况 不能刻 划出考生相互比较后所处的地位 也不能说明考生在其他等值测试上应获得什么样的 分值 我们采用了标准分计算法 将原始分数与平均分数之差除以标准差所得的 商数 来评定对象之间的差异 它是以标准差为单位度量原始分数离开平均数的度 量 标准分是一个抽象值 不受原始单位的影响 并且接受代数方法的处理 综合上述因素 我们建立了标准分与进步度结合的综合评价数学模型 针对问题三 基于问题一中对数据的处理 以及考虑到现实情况中学习成绩的 波动性 学生的成绩是一个随时间变化的变量 但是任何两个学期的学习成绩又是存 在一定的相关性的因素 我们选择了基于微分拟合方程的灰色预测模型 灰色系统理 论认为 已有的数据携带者充分的信息 采用一定的数据生成方法 可以减少数据的 随机性 增加数据的规律性 在此基础上拟合建模将会提高模型精度 因此我们对原 始分数进行了一次累加 使得生成数规律性大大增强 从而提高模型可靠性 并且利 用残差分析对所建模型进行检验保证预测结果的精确度达到满意程度 针对每一问题 考虑多种实际因素 通过对数据的处理与计算 建立了能够对 学生成绩进行客观全面又公正的综合评价模型与合理的预测模型 在反复检验与运算 的基础上不断地对模型进行改进和完善 相信所建模型能够帮助学校解决传统依靠绝 对分数不能公正的评判学生学习状况的不足 关键词 数据分析 正态分布 标准分 微分拟合 灰色预测模型 一 问题的重新提出 客观 科学地全面评价学生 是对学生个体的认可 也是对学生个体的鼓励 激励先进 勉励后进 这是营造良好学风的关键之一 而如何做到科学 全面 的评价则是关键之关键 根据题意 本文要解决的问题有 1 请根据附件数据 分析和比较这四个学期的成绩 对这些学生的整体状况进行 说明 2 请根据附件数据 建立全面 客观 合理的评价这些学生的学习状况的数学模 型 3 根据你的模型 对学生后两个学期的成绩做预测 一 模型的基本假设 1 假设影响学习成绩的因素主要有真实成绩与进步程度 2 假设附件数据的两个零是有特殊情况所致 作为异样数据排除后 整体情况 不会发生变动 3 假设每位学生的学习能力基本保持不变 都处于一个变动的状态 在这一状 态下 变化幅度快慢的变化是相对渐变的 不会出现骤变的现象 并且是有 规律可循的 二 对学生整体的学习情况进行评价 1 学生整体成绩的预处理 利用附件中所给的数据进行统计 得到了学生成绩总体分布的情况如 图一 所示 数据处理时把成绩分为四个等级 80 分及以上的为优秀 70 分到 80 分 之间的为良好 60 分到 70 分之间的合格 低于 60 分的为不及格 第一学期第二学期第三学期第四学期 平均分 72 5574 3773 1775 06 最高分 89 4590 8590 6289 63 最低分 24 3419 1216 2516 5 极差 65 1190 8574 3789 63 中位数 74 3276 6474 1976 54 及格率及格率 90 36 90 36 91 83 91 83 94 28 94 28 95 75 95 75 良好率良好率 44 93 44 93 40 20 40 20 49 51 49 51 46 90 46 90 优秀率优秀率 22 55 22 55 33 66 33 66 21 24 21 24 31 70 31 70 图一 成绩整体分析表 有表格可知 学生平均分都在 74 分左右 虽上下浮动但整体水平稳定且较高 及格 率稳步上升第四学期可达 95 75 表明学生整体成绩较好 图 1 反映出学生的初级学习状况 从图示来 图 2 中及格率较第一学期稍高 但良好率与 看良好率为 45 侧面反映了 70 分到 80 分这 优秀率发生较大变动 良好率下降 5 优秀率上升 个分数段的学生正是反应整体学生水平状况 低 11 说明介于 70 分与 80 分之间的部分学生有了 一 于 70 分的学生占到了 32 远大于优秀人数所占 定的进步 同时也反映出有两级分化的趋势 比例 反映出不少学生学习基础不是很好 整体 学生学习状况有待提高 图 三 显示了优秀率较第二学期有所下降甚至 图 四 中及格率达到 96 说明整体学生的学 低于第一学期 但是良好率达到 50 及格率也 习状况有了长足进步 较第一学期提高了 6 良 好 较第一学期上升 5 因此 虽然平均分较第二 率达到 47 虽然较第三学期有下降 但是优秀率提 学期有所降低 成绩有所下滑 但是 离散程 高了 11 由表一也能看出平均分也高于第二学期 度明显变小 较第一学期整体学生的学习状况 因此 可以得出结论 第四学期的学习成绩取得了 有所提高 很大的进步 图 5 图 6 对四个学期学生的学习成绩数据进行整合与分析 发现 1 数据在一定程度上的分布近似符合 正态分布 附图 5 图 6 表示部分研究过程 即期望值 75 分 附近的分数段内学生人数 较多可以肯定学生整体的学习水平是不错的 且较平稳 2 从图 5 及图 6 反应的离散程度 来看 第二学期稍微增大 但整体学习成绩的离散程度成降低趋势 即学生学习水平之间的差距在 不断地缩小 证明学校的学习教育的有效成果 3 从图中发现期望值逐渐往 X 轴右方向移动 可 以看出学生的学习水平是在不断增强的 但是第四学期的高分段人数低于第二学期 也说明学校应 加大对优秀生的培养 以上是通过多方面 多层次 多角度的对学生成绩数据的不断挖掘与整合 考虑了种种因素 并非单纯依赖平均分去片面评价学生的学习状况 因此所得出的对于学生学习状况的整体分析是可 信的 四 结合标准分及进步度评价的综合评价模型 由于每个学期的测试难易程度及区分度存在差异 一定程度上影响了不同分数段即 不同基础的学生在测试中的发挥 又因为考虑到不同基础的学生尤其是处于优秀分数段 的学生其进步空间与处于其他分数段的学生其进步潜力的不同 以及原始分数的不可加 性等等各种因素的影响 我们建立了直观且能够客观全面评价学生综合成绩的数学模型 结合标准分及进步度评价的综合评价模型 最终达到对学校学生的学习状况做出较全面 公平排名的目的 4 1 考虑到原始分一般不能直接反映出考生间差异状况 不能刻划出考生相互比较后所 处的地位 也不能说明考生在其他等值测试上应获得什么样的分值 影响综合评价的准 确性 所以为了更好 更科学地解释分数的含义 进行分数的组合 实现分数的等值化 我们将采用标准分 标准分是一种由原始分推导出来的相对地位量数 它是用来说明原始分在所 属的那批分数中的相对位置的 进行模型建立及最终对学生学习状况的评价 标准分计算公式 s xx z x 为原始分为平均分 s 为标准差 由此可知 z表示客观x 的进步分数 根据学生进步的空间大小不同 所以进步的难易不同 由此我们引入奖罚系数 a 模型的建立 根据学生的进步分数 z的不同 我们可以将学生的进步情况分为四种类型 即 情况除上述三种以外的其他非平稳性 退步型 提高型 均小于平稳型 4 zzz 3 zzz 2 48 0 z z z 1 321 321 321 为了客观评价学生的能力 并鼓动其学习的热情和积极性 所以本文不单单以学生的分数作为 评价其成绩的标准 而是综合考虑学生的原始分数以及其相对于上学期的进步分数进行综合评价 但由于其第一学期的分数并相对于上学期的进步分数 所以我们将第一学期的分数作为评价其 成绩的评价分数 即 S S ij 且0 S 100 i 从第二学期开始的评价分数可表示为 S S z a ij 且0 S 100 i 但由于考虑到对其奖罚系数和进步分数的大小以及对学生成绩的评价是否准确 因此引入了 z a 取值范围的上限 S和 S maxmin 由此可得 min max Sa z Sa z 评价一个学生成绩时 引入排名 p 对于学生的评价分数越高则排名越靠前 即 p 的值就越小 则使用以上模型对学生的成绩进行客观评价时应遵从以下规则 当 S S时 若 S S 则 P P ab 当 S S时 则 P P ia ibab 当 SP ia ibab 当对学生进行评价时 可以得出以下规律 当学生的可増分区间 100 S 越小 则该学生 j 的増分难度越大 因此奖罚系数与可増分区间 100 S 是成反比的