2020版高中数学人教A版必修4 导学案《平面几何中的向量方法》（含答案解析）.doc

2.5.1平面几何中的向量方法学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题.向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题.知识点一几何性质及几何与向量的关系设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a，b的夹角为.思考1证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案为：可用向量共线的相关知识：aba=bx1y2x2y1=0(b0).思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案为：可用向量垂直的相关知识：abab=0x1x2y1y2=0.梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.3.把运算结果“翻译”成几何关系.类型一用平面向量求解直线方程例1.已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4，0)，C(6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.反思与感悟利用向量法解决解析：几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练1在ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，求A的平分线所在的直线方程.类型二用平面向量求解平面几何问题例2.已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)AP=AB.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化.跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF. 1.已知在ABC中，若=a，=b，且ab0，则ABC的形状为()A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定2.过点A(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直线方程为()A.2xy7=0 B.2xy7=0 C.x2y4=0 D.x2y4=03.在四边形ABCD中，若=0，=0，则四边形ABCD为()A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是_.5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m，=n，则mn的值为_.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.课时作业一、选择题1.在ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则BC边的中线AD的长是()A.2 B. C.3 D.2.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足=，则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D.三条高的交点3.已知非零向量与满足=0且=，则ABC的形状是()A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形4.在四边形ABCD中，若=(1，2)，=(4，2)，则该四边形的面积为()A. B.2 C.5 D.105.已知点A(2，3)，B(19，4)，C(1，6)，则ABC是()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.已知点P是ABC所在平面内一点，若=，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部 B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上7.在ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点，若=1，则AB的长为()A.1 B. C. D.二、填空题8.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则()=_.9.已知直线axbyc=0与圆x2y2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则=_.10.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足3=0，则ABM与ABC的面积之比为_.三、解答题11.在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，求的最小值.12.如图所示，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC. 13.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4，1)，C(6，8). (1)求顶点D的坐标；(2)若=2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标.四、探究与拓展14.在ABC中，AB=3，AC边上的中线BD=，=5，则AC的长为_.15.已知点A(2，1).求过点A与向量a=(5，1)平行的直线方程.答案解析例1.解：(1)由已知得点D(1，1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.=(x1，y1)，=(2，2).(2)(x1)(2)(y1)=0，即xy2=0为直线DE的方程.同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y8=0，xy=0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.=0.又=(x6，y2)，=(4，4).4(x6)4(y2)=0，即xy4=0为所求直线CH的方程.跟踪训练1解：=(3，4)，=(8，6)，A的平分线的一个方向向量为a=.设P(x，y)是角平分线上的任意一点，A的平分线过点A，a，所求直线方程为(x4)(y1)=0.整理得7xy29=0.类型二用平面向量求解平面几何问题例2.证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB=2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). (1)=(1，2)，=(2，1).=(1)(2)2(1)=0，即BECF.(2)设点P坐标为(x，y)，则=(x，y1)，=(2，1)，x=2(y1)，即x=2y2，同理，由，得y=2x4，由得点P的坐标为(，).|= =2=|，即AP=AB.跟踪训练2证明：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1，AP=(0)，则D(0，1)，P(，)，E(，0)，F(1，).=(，1)，=(1，).=22=0，即DPEF.1.答案为：A2.答案为：A解析：设P(x，y)为直线上一点，则a，即(x2)2(y3)1=0，即2xy7=0.3.答案为：D解析：=0，=，四边形ABCD为平行四边形.又=0，即平行四边形ABCD的对角线垂直，平行四边形ABCD为菱形.4.答案为：22解析：由=3，得=，=，=.因为=2，所以()()=2，即22=2.又因为2=25，2=64，所以=22.5.答案为：2解析：O是BC的中点，=().又=m，=n，=.又M，O，N三点共线，=1，则mn=2.课时作业1.答案为：B解析：BC的中点为D，=，|=.2.答案为：D解析：=，()=0，=0，OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点.3.答案为：D解析：由=0，得角A的平分线垂直于BC，AB=AC.而=cos，=，又，0，180，BAC=60.故ABC为等边三角形，故选D.4.答案为：C解析：=0，ACBD.四边形ABCD的面积S=|=2=5.5.答案为：C解析：=(19，4)(2，3)=(21，7)，=(1，6)(2，3)=(1，3)，=2121=0，又|，ABC为直角三角形.6.答案为：B解析：=，=，=，P，A，C三点共线，点P一定在AC边所在的直线上.7.答案为：B解析：设AB的长为a(a0)，因为=，=，所以=()()=22=a2a1.由已知，得a2a1=1，又因为a0，所以a=，即AB的长为.8.答案为：；解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).E，F分别为BC，CD的中点，E，F(1，1)，=，=(2，1)，()=3(2)1=.9.答案为：；解析：如图，作ODAB于点D，则在RtAOD中，OA=1，AD=，所以AOD=60，AOB=120，所以=|cos 120=11()=.10.答案为：13解析：如图，D为BC边的中点，则=().因为3=0，所以3=2，所以=，所以SABM=SABD=SABC.11.解：在等腰梯形ABCD中，由AB=2，BC=1，ABC=60，可得DC=1，=，=，=()()=21cos 60211cos 60cos 120=，由对勾函数的性质知2 =，当且仅当=，即=时，取得最小值.12.证明：设=，并设ABC的边长为a，则有=()=(21)，=.，(21)=kk.于是有解得=.=，=，=，从而=()()=a2a2a2cos 60=0，BPDC.13.解：(1)设点D(m，n)，因为=，所以(m，n)=(6，8)(4，1)=(2，7)，所以顶点D的坐标为(2，7).(2)设点I(x，y)，则点F坐标为，由于=2，故(xE2，yE7)=2(6xE，8yE)，所以E，由于=，=(x4，y1)，所以(x4)=3(y1)，又，所以x=y，解得x=，y=.则点I的坐标为(，).