2016年中考模拟试题汇编专题25：矩形菱形与正方形(含答案)

矩形菱形与正方形 一、选择题 1 (2016 浙江杭州萧山区 模拟 )下列命题中，正确的是（ ） A菱形的对角线相等 B平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C正方形的对角线相等且互相垂直 D矩形的对角线不能相等 【考点】 命题与定理 【分析】 根据菱形的性质对 A 进行判断；根据平行四边形的性质和轴对称的定义对 B 进行判断；根据正方形的性质对 C 进行判断；根据矩形的性质对 D 进行判断 【解答】 解： A、菱形的对角线相互垂直平分，所以 A 选项错误； B、平行四边形不是轴对称图形，只是中心对称图形，所以 B 选项 错误； C、正方形的对角线相等且互相垂直，所以 C 选正确； D、矩形的对角线相等，所以 D 选项错误 故选 C 【点评】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果 那么 ”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 2. （ 2016绍兴市浣纱初中等六校 5月联考模拟） 如图，矩形 点 E 在 上，过点 E 作 平行线，交 点 F，将矩形 着点 E 逆时针旋转 60，如 果点 F 的对应点 M 落在边 ，点 B 的对应点 N 落在边 ，则 ） A 13 B 325C 4 31D3323 （ 2016天津南开区二模） 如图，在正方形 外侧，作等边三角形 相交于点 F，则 （ ） A 45 B 55 C 60 D 75 考点： 正方形的性质与判定 答案： C 试题解析： 四边形 正方形， D， 又 等边三角形， D= 0， E， 0+60=150， 180 150） 2=15， 又 5， 5+15=60故选： C 4 （ 2016 天津五区县 一模 ） 如图，菱形 对角线 交于点 O， ，过点 O 作 足为 H，则点 O 到边 距离 于（ ） A 2 B C D 【考点】 菱形的性质 【分析】 因为菱 形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出 长 【解答】 解： 四边形 菱形， ， ， ， ， =5 O=H， ， 故选 D 【点评】 本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出 上的高 答案： B 5 (2016山西大同 一模） 如图，正方形 ，得四边形 两正方形的边长均为 2，则两正方形重合部分（阴影部 分）的面积为（ ） A 4 4 2 B 4 2 4 C 8 4 2 D 21 答案： A 6 (2016山西大同 一模）如图：正方形 2。若直线 点 ， A、 符合题意的直线 ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 7 (2016云南省曲靖市罗平县二模 )如图，四边形 菱形， ， ， ，则 ） A B C 12 D 24 【考点】 菱形的性质 第 5 题图 【分析】 设对角线相交于点 O，根据菱形的 对角线互相垂直平分求出 利用勾股定理列式求出 后根据菱形的面积等对角线乘 积的一半和底乘以高列出方程求解即可 【解答】 解：如图，设对角线相交于点 O， ， ， C=8=4， D=6=3， 由勾股定理的， = =5， S 菱形 BC 即 586， 解得 故选 A 【点评】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程 8 (2016山东枣庄模拟 )如图，在半径为 6 O 中，点 A 是劣弧 的中点，点 一点，且 D=30，下列四个结论： ； ； 四边形 菱形 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 【考点】 垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形 【专题】 几何图形问题 【分析】 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可 【解答】 解： 点 A 是劣弧 的中点， 圆心， 正确； D=30， D=30， 0， 点 A 是劣弧 的中点， B， B= B6 =3 正确； 0， ， 故 正确； 0， B， 点 A 是劣弧 的中点， B， O=A， 四边形 菱形， 故 正确 故选： B B A C D 第 9 题图 【点评】 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题 9. (2016陕西师大附中模拟 )如图，在菱形 ， 5， 120， 则对角线 于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】 D 10（ 2016河南洛阳一模）如图 4，正方形 ，点 P、 D、 点 E 从点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 P D E、 点 x， y，能大致刻画 y与 】 答案： B 11. （ 2016辽宁丹东七中一模） 下列说法 不正确 的是（ ） A一组邻边相等的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C对角线互相垂直的矩形是正方形 D有一个角是直角的平行四边形是正方形 答案： D 12.（ 2016河大附中一模） 如图，在 ， 分 如下步骤作图：第一步，分别以点 圆心，以大于21长为半径在 侧作 弧，交于两点 M、 N;第二步，连接 别 交 点 E、 F;第三步，连接 E=8， 4， ，则 长是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 12 第 12 题 答案： B 13.（ 2016黑龙江大庆一模） 下列命题 ：等腰三角形的角平分线平分对边；对角线垂直且相等的四边形是正方形；正六边形的边心距等于它的边长；过圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等其中真命题有（ ）个 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案： A 14.（ 2016湖北襄阳 一模） 如图，已知菱形 C 8E 点 E，则 长是（ ） A B C D 第 14题 答案： D 15.（ 2016广东东莞联考） 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a，则阴影部分的面积为（ ） A 2 3 4 5考点】 正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质 【分 析】 根据正八边形的性质得出 5，进而得出 C= a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可 【解答】 解： 某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a， AB=a，且 5， = = ， C= a， S a a= ， 正八边形周围是四个全等三角形，面积和为： 4= 正八边形中间是边长为 a 的正方形， 阴影部分的面积为： a2+ 故选： A 【点评】 此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出 S 16.（ 2016广东 深圳 一模） 下列命题中是假命题的是（ ） A一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C一组邻边相等的平行四边形是菱形 D一组邻边相等的矩形是正方形 【考点】 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定 【专题】 证明题 【分析】 做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答 【解答】 解： A、一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形（平行四边形判定定理）；故A 不符合题意 B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B 符合题意 C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 C 不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故 D 不符合题意 故选： B 【点评】 本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心 17.（ 2016广东深圳联考） 正方形 一条对角线长为 8，则这个正方形的面积是 A 24 B 32 C 64 D 128 答案： B 18.（ 2016广东深圳联考） 如图，矩形 ， 分 E， 5，则下列结论： 等边三角形； 35； S =S 其中正确的结论的个数 有 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 ： C 19.（ 2016 河南三门峡 二模） 如图，小明在作线段 垂直平分线时，他是这样操作的： 分别以 A 和 B 为圆心，大于 弧相交 于 C、 D 两点，直线 为所求根据他的作图方法可知四边形 定是（ ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 无法确定 答案： B 20.（ 2016 河南三门峡 一 模） 菱形的边长是 10，一条对角线长是 12，则此菱形的另一条对角线是 ( ) A. 10 B. 24 C. 8 D. 16 C B A D 答案： D 二、填空题 1 （ 2016 天津市和平区 一模） 长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ a 1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止 （ I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为 1 a ； （ ）当 n=3 时， a 的值为 或 （用含 a 的式子表示） 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽 当 a 1 时，矩形的长为 1，宽为 a，所以第一次操作时所得正方形的边长为 a，剩下的矩形相邻的两边分别为 1 a， a由 1 a a 可知，第二次操作时所得正方形的边长为 1 a，剩下的矩形相邻的两边分别为 1 a， a（ 1 a） =2a 1由于（ 1 a）（ 2a 1） =2 3a，所以（ 1 a）与（ 2a 1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论又因为可以进行三次操作，故分两种情况： 1 a2a 1； 1 a 2a 1对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出 a 的值 【解答】 解：由题意，可知当 a 1 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 1 a，所以第二次操作时正方形的边长为 1 a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为 1 a，2a 1 故答案为： 1 a； （第 1 题 ） 两种情况： 如果 1 a 2a 1，即 a ，那么第三次操作时正方形的边长为 2a 1 经过第三次操作后所得的矩形是正方形， 矩形的宽等于 1 a， 即 2a 1=（ 1 a）（ 2a 1），解得 a= ； 如果 1 a 2a 1，即 a ，那么第三次操作时正方形的边长为 1 a 则 1 a=（ 2a 1）（ 1 a），解得 a= 故答案为： 或 【点评】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况： 1 a 2a 1；1 a 2a 1分别求出操作后剩下的矩形的两边 2 （ 2016 天津市南开区 一模） 如图，在正方形 有一折线段，其中 F 丄 且 ， ， 0，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80 160 【考点】 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【专题】 压轴题 【分析】 首先连接 可证得 据相似三角形的对应边成比例，即可求得 长，然后由勾股定理求得 长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解 【解答】 解：连接 E= F=90， ， ， ， 0， ， ， ， 在 ， =3 ， 在 ， =5 ， ， 在 ， C8 =4 ， S 正方形 60， 圆的面积为： （ ） 2=80， 正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80 160 故答案为： 80 160 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用 3 (2016浙江镇江模拟 )如图， P 是菱形 角线 的一点， 点 E， 点 P 到直线 距离等于 答案： 4 4 (2016重庆巴南 一模）如图，正方形 ，点 E、 C、 5，对角线 ，交 若 ， ，则 【分析】 延长 G，使 G，在 取 N，连接 得 t 后利用等量代换求得答案即可 【解答】 解：如图，延长 ，使 G，在 取 N，连接 四边形 C=D， 4= 5=45， 0， 在 T ， ， 1= 2， 7= G， G， 2+ 3= 1+ 3= 0 45 =45 = 在 ， H， G， H， F G H， 在 ， 6= 4=45， H， 5= 6+ 5=90 45 +45 =90 ， 22+（ 8 2 2= 故答案为： 5 (2016山东枣庄模拟 )如图，点 E 在正方形 边 若 面积为 8，则线段 长为 5 【考点】 正方形的性质；三角形的面积；勾股定理 【分析】 根据正方形性质得出 C=B，根据面积求出 出 ，根据勾股定理求出即可 【 解答】 解： 过 E 作 M， 四边形 正方形， C=B， D， E， 面积为 8， M=8， 解得： ， 即 C=B=4， ， 由勾股定理得： = =5， 故答案为： 5 【点评】 本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出 度适中 6. （ 2016江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试）如图，在 ， ，正方形 D、 B、 G、 果 0，正方形 5，那么 答案： 7（ 2016河南洛阳一模）如图 6，在平面直角坐标系中，直线 y= 与 、 y=xk(k 0)上，将正方形沿 . 答案： 2 8.（ 2016河南洛阳一模）在矩 形 ,，点 将 点 处，则 长为 答案： 32 或 94 附：详解： 点 图 1， ， ， ， 根据折叠的性质， D=3， P， A= D=90， =2，设 AP=x， 则 x， A 2+2， （ 4 x） 2=2，解得： x=32 ， 2 ； 点 图 2，根据折叠的性质可知 C ， A D B C 3 3 9 B 4 4 故答案为： 32 或 94 9.（ 2016辽 宁丹东七中一模） 小明尝试着将矩形纸片 如图， D） 沿过 得 B 点落在 上的点 F 处，折痕为 如图）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 上的点 处，折痕为 如图）如果第二 次折叠后， 么矩形 答案： 2 10.（ 2016辽宁丹东七中一模） 如图，将矩形纸片 D）折叠，使点（ D）与点 B 重合，点 C 落在点 C 处，折痕为 20那么 的度数为 度。 答案： 125 11.（ 2016河大附中一模） 在菱形 ， ， ，点 P 是 的一个动点，过点 P 作 直于 点 E，交 点 F，将 叠，使点 A 落在点 A处，当 A直角三角形时， 长为 . C D A P B A A P B D C A E 图 1 图 2 A B C D A B C D E F A B C D E G M N 答案： 2 或 7812.（ 2016黑龙江齐齐哈尔一模） 四边形 对角 线 交于点 O， C， _，使四边形 矩形 答案： D 或 D 或 C 等 . ( 相平分是两 个条件，故不给分 ) 13.（ 2016黑龙江齐齐哈尔一模） 如图，矩形 边长 ， ，若将 在直线翻折，点 C 落在点 F 处， 于点 E. 则 答案： 4514.（ 2016广东一模） 如图，已知正方形 边长为 2， E 是边 的动点， D 于点 F，垂足为 G，连结 列说法： F； 点 G 运动的路径长为 ； 最小值为 1其中正确的说法是 （把你认为正确的说法的序号都填上） 答案： 15.（ 2016广东东莞联考） 将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为 20 O 为正方形的中心， 长为 20 3 题 【考点】 正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】 根据题意四边形 正方形，且边长等于大正方形的边长的一半，等于 10根据 似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可 【解答】 解：如图， 点 O 为正方形的中心， 四边形 正方形，边长 =202=10 ， 即 ， 解得 0 故答案为： 20 【点评】 本题主要考查正方形各边都相等，每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需 要熟练掌握并灵活运用 16.（ 2016广东一模）如图，已知正方形 边长为 2， E 是边 的动点， E 交 点 F，垂足为 G，连结 列说法： F；点 G 运动的路径长为； 最小值为 1其中正确的说法是 （把你认为正确的说法的序号都填上） 答案： 17.（ 2016广东东莞联考）将 正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为 20 O 为正方形的中心， 长为 20 答案： 20 18.（ 2016广东河源一模）如图，矩形 对角线 交于点 O， 4 四边形 周长为 。 答案： 8 9. （ 2016广东深圳联考）如图，已知矩形 矩形 位似图形， P 是位似中心，若点 B 的坐标为（ 2， 4），点 E 的坐标为（ 1， 2），则点 P 的坐标为 答案：（ 0） 20.（ 2016广东 河源 一模） 如图，矩形 C， 4 则四边形 。 答案： 8 1.（ 2016广东河源一模） 如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是 _。（结果保留） 答案： 83 22. （ 2016广东深圳联 考） 如图，已知矩形 矩形 位似图形， P 是位似中心，若点 B 的坐标为（ 2， 4），点 E 的坐标为（ 1， 2），则点 P 的坐标为 答案： （ 0） 23. （ 2016广东深圳联考） 如图，矩形 ， ， 0o，点 P 是线段 的动点，点 Q 是线段 的动点，则 P 的最小值是 34 三 、解答题 1 (2016浙江镇江模拟 )（本小题满分 6 分） 如图 ， E、 F 分别是 边 的中点 . （ 1） 求证 ： （ 2） 当 时，四边形 菱形 . （ 1） 证明：在 ， C， D， B= D， E、 F 分别是 边 的中点 , 11 在 ， B= D， D， 则 （ 2） 当 90 时，四边形 菱形 . 2.（ 2016 齐河三模） 如图，正方形 ，点 E， F 分别在边 ， . (1)观察图形，写出图中所有与 (2)选择图中与 等的任意一个角，并加以证明 答案：（ 1）由图可知， B（ 2）选择 明如下： 正方形 B=90， B， E， 在 ， 0， 0， 3.（ 2016青岛一模） 已知：如图，在矩形 F，作 H ，分别与对角线 、 H，连接 （ 1）求证： （ 2）连接 F，则四边形 明你的结论 【考点】 矩形的性质；全等三角形的判定 与性质；菱形的判定 【分析】 （ 1）由平行四边形的性质得出 C ， C， D，由平行线的性质得出 得出 求出 E，由 （ 2）先证明四边形 由等腰三角形的性质得出 H ，即可得出四边形 【解答】 （ 1）证明： 四边形 C ， C， D， F ， E ， H ， 在 ， ， （ 2）解：四边形 菱形；理由如下： 连接 图所示： 由（ 1）得： G ， 又 H ， 四边形 F ， D， D ， H ， 四边形 4 （ 2016天津南开区二模） 如图 1，在正方形 ， E 是 一点， F 是 长线上一点，且 F. (1)在图 1 中，若 G 在 ，且 E， 线段之间的数量关系，并证明你的结论 . (2)运用 (1)中解答所积累的经验和知识，完成下面两题： 如图 2，在四边形 B= D=900， D，点 E，点 G 分别是 ， 上的动点 ， ，试探索当 和 满足什么关系时，图 1 中 线段之间的关系仍然成立，并说明理由 . 在平面直角坐标中，边长为 1 的正方形 两顶点 A， C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上，点 O 在原点现将正方形 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，旋转过程中， 交直线 y=x 于点 M， 交 x 轴于点 N(如图 3)周长为 p，在旋转正方形 过程中， p 值是否有变化？若不变，请直接写出结论 考点：四边形综合题 答案：见解析 试题解析：（ 1） 在 ， 5， 0 45=45，即 5， C， 在 ， ， F，即 E+ （ 2） =2如图， 延长 F 点，使 E，连接 证 则 =2 可知 证 F，即E+ 在旋转正方形 过程中， P 值无变化证明：如图， 延长 y 轴于 E 点，则 5 0 45 5 C， 80 90=90= 在 ， N， N 在 E=E M+ P=N+M+N+B+ 在旋转正方形 过程中， P 值无变化 5 (2016山西大同 一模）如图，已知： 的弦， 的直径， 垂足为 E，且点 O 的切线 ，连接 1）若 3，求 O 的半径及弧 （ 2）求证：四边形 答案： 解（ 1）连接 B， E 是 中点 2 0， 0 设 x，则 2x x=4 弧 l= （ 2）由（ 1） 0 0， 0 M 在 B M M= 6 (2016山西大同 一模） 问题情境： 如图将边 长为 8叠，使点B 恰好落在 处，折痕 别交 点 E、 G， ，连接 . 独立思考： （ 1） _ 周长为 _ 2）猜想 并证明你的结论 . 拓展延伸： 如图 2，若点 不与点 A、 证明你的结论 . 判断（ 2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明） . 答案： （ 1） 3， 16 (2)F 则 0 090M B C M A B B、 C C= 0 四边形 C= G (3) 由折叠知 0 0 四边形 A= D=90 0 =F M 长的 周 长F为 x， 2 2 2( 8 )x A E A E 26416 88 E A E A D 的 周 长 22 2( 8 ) ( 8 ) 1 6 ( 6 4 ) 1616 6416x x xx x （ 2）中结论成立 7 (2016云南省曲靖市罗平县二模 )在 ， D 是 的中点， E、 F 分别在 接 （ 1）求证： （ 2）若 C，试判断四边形 怎样的四边形，并证明你的结论 【考点】 矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）根据平行线得出 据 出两三角形全等即可； （ 2）根据全等得出 F，根据 C 推出四边形是平行四边形，求出 0，根据矩形的判定推出即可 【解答】 （ 1）证明： D 是 的中点， C， 在 ， ； （ 2）四边形 矩形， 证明： F， C， 四边形 平行四边形， D， C， C= 0， 平行四边形 矩形 【点评】 本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形 8 (2016云南省一模 )如图，在 ， 别是 中点， 长点 F，使得 E，连 1）求证：四边 形 菱形； （ 2）若 ， 20，求菱形 面积 【考点】 菱形的判定与性质 【分析】 （ 1）从所给的条件可知， 位线，所以 2C，所以 行且相等，所以四边形 平行四边形，又因为 E，所以是菱形； （ 2）由 120，可得 60，即可得 等边三角形，求得 C=，再过点 E 作 点 G，求的高 长，即可求得答案 【解答】 （ 1）证明： D、 E 分别是 中点， 2C， 又 E， C， 四边形 平行四边形， 又 F， 四边形 菱形； （ 2）解： 20， 0， 等边三角形， C=， 过点 E 作 点 G， E6 =3 ， S 菱形 C3 =18 【点评】 本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点注意证得 等边三角形是关键 9 (2016云南省二模 )如图 ，四边形 矩形，点 E 是 中点，点 F 是 中点求证： 【考点】 矩形的性质；全等三角形的判定 【专题】 证明题 【分析】 由矩形的性质得出 B= D=90， D， C，由中点的定义得出 E，由 明 可 【解答】 证明： 四边形 矩形， B= D=90， D， C， 点 E 是 中点，点 F 是 中点， F= E， 在 ， ， 【点评】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，熟记全等三角形的判定方法 解决问题的关键 10 (2016山东枣庄模拟 )如图，已知 接于 O，且 C，直径 ， F 是 的一点，使 （ 1）求证： E； （ 2）试判断四边形 形状，并说明理由； （ 3）若 ， 0，求 长 【考点】 垂径定理；勾股定理；菱形的判定 【分析】 （ 1）证明 到 据等腰三角形的性质即可证明； （ 2）菱形，证明 到 C，可知四边形 平行四边形，易证D，可证明结论； （ 3）设 DE=x，则根据 E方程求出 用勾股定理求出 【解答】 （