陕西省西安市高中数学 第一章《弧度制》教案 北师大版必修4

1 3 3 弧度制 弧度制 1 1 课时 课时 教学目标 知识与技能 1 理解 1 弧度的角及弧度的定义 2 掌握角度与弧度的换算公式 3 熟练进行角 度与弧度的换算 4 理解角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系 5 理解并掌握 弧度制下的弧长公式 扇形面积公式 并能灵活运用这两个公式解题 过程与方法 通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念 比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间 的互化 应用在特殊角的角度制与弧度制的互化 帮助学生理解掌握 以针对性的例题和 习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式 通过自主学习和合作学习 树立学生正确的 学习态度 情感态度与价值观 通过弧度制的学习 使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度 二者虽单位不同 但 却是相互联系 辩证统一的 在弧度制下 角的加 减运算可以像十进制一样进行 而不 需要进行角度制与十进制之间的互化 化简了六十进制给角的加 减运算带来的诸多不便 体现了弧度制的简捷美 通过弧度制与角度制的比较 使学生认识到引入弧度制的优越性 激发学生的学习兴趣和求知欲望 养成良好的学习品质 二 教学重 难点 重点 理解弧度制的意义 正确进行弧度与角度的换算 弧长和面积公式及应用 难点 弧度的概念及与角度的关系 角的集合与实数之间的一一对应关系 三 学法与教学用具 在初中 我们非常熟悉角度制表示角 但在进行角的运算时 运用六十进制出现了很不习 惯的问题 与我们常用的十进制不一样 正因为这样 所以有必要引入弧度制 在学习中 通过自主学习的形式 让学生感受弧度制的优越性 在类比中理解掌握弧度制 教学用具 多媒体 三角板 四 教学思路 创设情境 揭示课题 在初中几何里我们学过角的度量 当时是用度做单位来度量角的 我们把周角的 360 1 规定为 1 度的角 而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制 但在数学和其 他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制 弧度制 下面我们就来学习弧度制的 有关概念 板书课题 弧度制的单位是 rad 读作弧度 探究新知 1 1 弧度的角的定义 板书 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角 打开课件 如图 1 14 见教材 弧 AB 的长等于半径 r 则弧 AB 所对的圆心角就是 1 弧度的角 弧度的单位 记作 rad 在图 1 课件 中 圆心角 AOC 所对的弧长 l 2r 那么 AOC 的弧度数就是 2rad 圆心 角 AOD 所对的弧长 l 2 1 r 那么 AOC 的弧度数就是2 1 rad 圆心角 AOE 所对的弧长为 l 那么 AOE 的弧度数是多少呢 学生思考并交流 此我们可以得到弧度制的定义 2 2 弧度制的定义 一般地 板书 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数 是 o 角 的弧度数的绝对值 r l 其中 l 是以角 作为圆心角时所对弧的长 r 是 圆 的半径 这种以弧度作为单位来度量角的单位制 叫做弧度制 在弧度制的定义中 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小 的 为什么可以用这个比值来度量角的大小呢 这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 请 同学们自主学习课本 P12 P13 从课本中我们可以看出 这个比值与所取的半径大小无关 只与角的大小有关 有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明 论证 如图 1 13 见教材 设 为 n n 0 的角 圆弧 AB 和 AlBl 的长分别 为 l 和 l1 点 A 和 Al 到点 O 的距离 即圆的半径 分别为 r r 0 和 rl rl 0 由初中所 学的弧长公式有 l 180 n r l1 180 n r1 所以r l 1 1 r l 180 n 这表明以角 为圆心角所 对的弧长与其半径的比值 与所取的半径大小无关 只与角 的大小有关 用角度制和弧度制来度量零角 单位不同 但量数相同 都是 0 用角度制和弧度制 度量任一非零角 单位不同 量数也不同 但它们既然是表示同一个角 那这二者之间就 应该可以进行换算 下面我们来讨论角度与弧度的换算 3 角度制与弧度制的换算 现在我们知道 1 个周角 360 r 2 r 所以 板书 360 2 rad 由此可以得 到 180 rad 1 180 0 01745rad 1rad 180 57 30 57 18 说明 在进行角度与弧度的换算时 关键要抓住 180 rad 这一关系式 今后我们用弧度制表示角时 弧度 二字或 rad 通常略去不写 而只写这个角所对应 的弧度数 例如 角 2 就表示是 2rad 的角 sin3 就表示3 rad 的角的正弦 但用角 度制表示角时 度 或 不能省去 而且用 弧度 为单位度量角时 常把弧度数写 成多少 的形式 如无特别要求 不必把 写成小数 如 45 4 rad 不必写成 45 0 785 弧度 前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法 而角度制与弧度制可以相互转化 所 以与角 终边相同的角 连同角 在内 也可以用弧度制来表示 但书写时要注意前后 两项所采用的单位制必须一致 角的概念推广后 无论用角度制还是用弧度制 都能在角的集合与实数集 R 之间建立一种 一一对应的关系 每一个角都有唯一的一个实数与它对应 例如这个角的弧度数或度数 反过来 每一个实数也都有唯一的一个角与它对应 就是弧度数或度数等于这个实数的角 3 巩固深化 发展思维 1 例题讲评 例 1 把 45 化成弧度 解 45 180 45rad 4 rad 例 2 把 5 3 rad 化成度 解 5 3 rad 5 3 180 108 例 3 利用弧度制证明扇形面积公式 S 2 1 lr 其中 l 是扇形的弧长 r 是圆的半径 证 圆心角为 1 的扇形的面积为 2 1 r2 又 弧长为 l 的扇形的圆心角的大小为r l 扇形的面积 S r l 2 1 r2 2 1 lr 2 学生课堂练习 1 填表 度 0 45 60 180 360 弧度 6 2 2 3 说明 一些特殊角的弧度数 大家要熟记 免得每次遇到都要去进行换算 2 用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x 轴上