贵州省贵阳市2020届高三数学8月摸底考试试题 文(含解析)_第1页
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1 贵州省贵阳市贵州省贵阳市 20202020 届高三数学届高三数学 8 8 月摸底考试试题月摸底考试试题 文 含解析 文 含解析 一 选择题一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知函数的定义域为 函数的定义域为 则 lg 1 f xx m 1 g x x nmn a b 且 1x x 1x x 0 x c d 且 1 x x 1x x 0 x 答案 d 解析 分析 根据对数型和分式型函数定义域的要求求出集合和集合 根据交集定义求得结果 mn 详解 由题意得 101mxxx x 0nx x 且 1mnx x 0 x 本题正确选项 d 点睛 本题考查集合运算中的交集运算 涉及到函数定义域的求解 关键是能够明确对数 型和分式型函数定义域的要求 属于基础题 2 若复数是虚数单位 则的共轭复数 2 1 i zi i zz a b c d 1 i 1i 1i 1i 答案 d 解析 分析 根据复数除法运算法则可化简复数得 由共轭复数定义可得结果 1 iz 详解 2 12 1 111 iii zi iii 1zi 本题正确选项 d 2 点睛 本题考查共轭复数的求解 关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数 属于基 础题 3 三世纪中期 魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率 的近似值 首创 割圆术 利用 割圆术 刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似 值 3 14 这就是著名的 徽率 如图是利用刘徽的 割圆术 思想设计的程序框图 则输 出的值为 参考数据 n 7 50 1305 150 2588sinsin a 6b 12c 24d 48 答案 c 解析 分析 根据程序框图运行程序 直到满足时输出结果即可 3 10s 详解 按照程序框图运行程序 输入 6n 则 不满足 循环 3 3 3sin60 2 s 3 10s 不满足 循环 12n 6sin303s 3 10s 满足 输出结果 24n 12sin153 1056s 3 10s 24n 本题正确选项 c 点睛 本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果 关键是能够准确判断是否满足输出 条件 属于基础题 3 4 已知变量满足约束条件 则的最小值为 x y 2 4 1 y xy xy 3zxy a 11b 12c 8d 3 答案 c 解析 详解 画出不等式组表示的可行域如图所示 由得 平移直线 3zxy 3yxz 3yxz 由图形可得 当直线经过可行域内的点 a 时 3yxz 直线在 y 轴上的截距最小 此时 z 取得最小值 由 解得 故点 a 的坐标为a 2 2 2 4 y xy 2 2 x y 选 c min 3 228z 5 已知角的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 它的终边过点 p 则 34 55 sin a b c d 4 5 4 5 3 5 3 5 答案 a 解析 分析 利用诱导公式化简所求的表达式 通过三角函数的定义求解即可 4 详解 解 角的顶点与原点重合 始边与轴的非负半轴重合 它的终边过点p ox 34 55 则 故选 a 4 sin sin 5 点睛 本题考查任意角的三角函数的定义的应用 诱导公式的应用 是基本知识的考查 6 若 是两条不重合的直线 垂直于平面 则 是 的 lmm l lm a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 分析 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 详解 解 当 是两条不重合的直线 垂直于平面 若 则 lmm l l m 所以 能推出 l l m 当 是两条不重合的直线 垂直于平面 若 则 或 在平面 lmm l ml l 内 所以 不能推出 l ml 由充要条件的定义可得 若 是两条不重合的直线 垂直于平面 则 是 的充分而不必 lmm l l m 要条件 故选 a 点睛 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 根据充分条件和必要条件的定义是解决 本题的关键 5 7 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示 则该几何体的侧视图为 a b c d 答案 d 解析 详解 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体 左向右看得到矩形 矩形对角线从左下角连接右上角 且对角线为虚线 故该几何体的侧视图为 d 8 某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台整点报时 则他等待的时间不多于 15 分钟的概率为 a b c d 1 3 1 4 1 5 1 6 答案 b 解析 分析 由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型 电台整点报时知事件总数包含的时间 长度是 60 而他等待的时间不多于 15 分钟的事件包含的时间长度是 15 利用时间的长度比 即可求出所求 详解 解 由题意知这是一个几何概型 电台整点报时 6 事件总数包含的时间长度是 60 满足他等待的时间不多于 15 分钟的事件包含的时间长度是 15 由几何概型公式得到 151 604 p 故选 b 点睛 本题主要考查了几何概型 本题先要判断该概率模型 对于几何概型 它的结果要 通过长度 面积或体积之比来得到 属于中档题 9 设 则 的大小关系为 0 3 0 6a 0 6 0 3b 0 3 0 3c a b c a b c d bac acb bca cba 答案 c 解析 分析 根据指数函数的单调性得出 而根据幂函数的单调性得出 从而 0 60 3 0 30 3 0 30 3 0 30 6 得出的大小关系 a b c 详解 解 因为 所以 故选 c 0 60 3 0 30 3 0 30 3 0 30 6 bca 点睛 考查指数函数和幂函数的单调性 以及增函数和减函数的定义 是一道基础题 10 等比数列的各项均为正数 且 则 n a 5647 18a aa a 3132310 logloglogaaa a b c d 12108 3 2log 5 答案 b 解析 由等比数列的性质可得 所以 564756 218a aa aa a 56 9a a 1 10293847 9a aa aa aa a 则 5 3 1323 1031 103 loglogloglog 5log 910aaaa a 7 故选 b 11 已知抛物线上一点p到准线的距离为 到直线 为 则 2 4 yx 1 d l 43110 xy 2 d 的最小值为 12 dd a 3b 4c d 57 答案 a 解析 分析 利用抛物线的定义 将的最小值转化为焦点到直线的距离即可求 12 dd 43110 xy 得 详解 解 抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离 pf 所以过焦点作直线的垂线 f 43110 xy 则该点到直线的距离为最小值 如图所示 12 dd 由 直线 所以 故选 a 1 0 f43110 xy 12 22 40 11 3 43 dd 点睛 本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题 是基础题 12 定义为个正数的 快乐数 若已知正项数列的前项的 快 1 n i i n u n123 n u u uu n a n 乐数 为 则数列的前项和为 1 31n 1 36 2 2 nn aa 2019 8 a b c d 2018 2019 2019 2020 2019 2018 2019 1010 答案 b 解析 分析 根据 快乐数 定义可得数列的前项和 利用与关系可求得数列 n a n 2 3 n snn n a n s 的通项公式 从而得到 采用裂项相消法可求得结果 n a 1 361 221 nn aan n 详解 设为数列的前项和 n s n a n 由 快乐数 定义可知 即 1 31 n n sn 2 3 n snn 当时 1n 11 4as 当且时 2n n n1 62 nnn assn 经验证可知满足 1 4a 62 n an 62 n annn 1 3636111 2266611 nn aannn nnn 数列的前项和为 1 36 22 nn aa 2019 111112019 1 223201920202020 本题正确选项 b 点睛 本题考查根据求解数列的通项公式 裂项相消法求解数列的前项和 关键是能 n s n 够准确理解 快乐数 的定义 得到 从而利用与的关系求解出数列的通项公式 n s n a n s 二 填空题 二 填空题 13 已知向量 且 则 1 am 3 2b abb m 答案 8 解析 1 am 3 2b 9 4 2abm 又 abb abb 122 2 1620abbmm 解得 8m 答案 8 14 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向 拟采用分层抽样的方法 从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查 已知该校一年级 二年级 三年级 四年级的本科生人数之比为 4 5 5 6 则应从一年级本科生中抽取 名学 生 答案 60 解析 分析 采用分层抽样的方法 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查的 详解 该校一年级 二年级 三年级 四年级的本科生人数之比为 4 5 5 6 应从一年级本科生中抽取学生人数为 4 60 4556 300 故答案为 60 15 数式中省略号 代表无限重复 但该式是一个固定值 可以用如下方法求 1 1 1 1 得 令原式 t 则 则 取正值得 用类似方法可得 1 1 t t 2 10tt 51 2 t 121212 答案 4 解析 10 分析 通过已知得到求值方法 先换元 再列方程 解方程 求解 舍去负根 再运用该方法 注意两边平方 得到方程 解出方程舍去负的即可 详解 解 由已知代数式的求值方法 先换元 再列方程 解方程 求解 舍去负根 可得要求的式子 令 12122 0 m m 则两边平方得 即 1 解得 3 舍去 2 121212m 2 2mm 4m 故答案为 4 点睛 本题考查类比推理的思想方法 考查从方法上类比 是一道基础题 16 圆心在直线上 并且经过点a 2 1 与直线相切的圆c的方程是 2yx 1xy 答案 22 1 2 2xy 解析 分析 设出圆心的坐标为 利用两点间的距离公式表示出圆心到的距离即为圆的半径 2 aa a 且根据圆与直线相切 根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于的方程 求 1xy a 出方程的解得到的值 确定出圆心坐标 进而求出圆的半径 根据圆心和半径写出圆的标 a 准方程即可 详解 解 设所求圆心坐标为 由条件得 2 aa 22 21 2 21 2 aa aa 化简得 圆心为 1 2 半径为 2 210 1aaa 2r 所求圆的方程为 22 1 2 2xy 故答案为 22 1 2 2xy 点睛 本题考查了直线与圆的位置关系 涉及的知识有两点间的距离公式 点到直线的距 离公式 圆的标准方程 当直线与圆相切时 圆心到直线的距离等于圆的半径 常常利用此 性质列出方程来解决问题 11 三 解答题三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或验算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或验算步骤 17 的内角的对边分别为 已知 abc a b c a b c 2 coscoscosbbacca 1 求的大小 b 2 若 求面积的最大值 2b abc 答案 1 2 3 3 解析 分析 1 利用正弦定理将边化角 结合诱导公式可化简边角关系式 求得 根据 1 cos 2 b 可求得结果 2 利用余弦定理可得 利用基本不等式可求得 0 b 22 4acac 代入三角形面积公式可求得结果 max4ac 详解 1 由正弦定理得 2sincossincossincossinbbaccaac 又 abc sinsinacb 0 b sin0b 即 2cos1b 1 cos 2 b 由得 0 b 3 b 2 由余弦定理得 222 2cosbacacb 22 4acac 又 当且仅当时取等号 22 2acac ac 22 42acacacacac 即 max 4ac 三角形面积的最大值为 s 1 4sin3 2 b 点睛 本题考查解三角形的相关知识 涉及到正弦定理化简边角关系式 余弦定理解三角 形 三角形面积公式应用 基本不等式求积的最大值 诱导公式的应用等知识 属于常考题 型 12 18 年以来精准扶贫政策的落实 使我国扶贫工作有了新进展 贫困发生率由年 20132012 底的下降到年底的 创造了人类减贫史上的的中国奇迹 贫困发生率 10 2 20181 4 是指低于贫困线的人口占全体人口的比例 年至年我国贫困发生率的数据如下表 20122018 年份 t 2012201320142015201620172018 贫困发生率 y 10 28 57 25 74 53 11 4 1 从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个 求两个都低于的概率 75 2 设年份代码 利用线性回归方程 分析年至年贫困发生率 2015xt 20122018 与年份代码的相关情况 并预测年贫困发生率 y x2019 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ybxa 的值保留到小数点后三位 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y baybx xxxnx b 答案 1 2 回归直线为 年至年贫困发生率逐 1 7 1 4255 8yx 20122018 年下降 平均每年下降 年的贫困发生率预计为 1 425 20190 1 解析 分析 1 分别计算出总体事件个数和符合题意的基本事件个数 根据古典概型概率公式求得结 果 2 根据表中数据计算出最小二乘法所需数据 根据最小二乘法求得回归直线 根据 回归直线斜率可得贫困发生率与年份的关系 代入求得年的预估值 4x 2019 13 详解 1 由数据表可知 贫困发生率低于的年份有个 5 3 从个贫困发生率中任选两个共有 种情况 7 2 7 21c 选中的两个贫困发生率低于的情况共有 种情况 5 2 3 3c 所求概率为 31 217 p 2 由题意得 32 1 0 123 0 7 x 10 28 57 25 74 53 1 1 4 5 8 5 y 7 1 3 10 22 8 57 204 52 3 1 3 1 439 9 ii i x y 7 2 1 94 1 0 14928 i i x 线性回归直线为 39 9 1 425 28 b 5 8a 1 4255 8yx 年至年贫困发生率逐年下降 平均每年下降 1 4250 2012 20181 425 当时 201920154x 1 425 45 80 1y 年的贫困发生率预计为 2019 0 1 点睛 本题考查古典概型概率问题的求解 最小二乘法求解回归直线 利用回归直线求解 预估值的问题 对于学生的计算和求解能力有一定要求 属于常考题型 19 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 pa pd dab 60 1 证明 ad pb 2 若pb ab pa 2 求三棱锥p bcd的体积 6 答案 1 证明见解析 2 1 14 解析 分析 1 取ad的中点o 连接p0 bo bd 利用三线合一得出bo ad po ad 故ad 平面 pbo 于是ad pb 2 利用勾股定理得出po bo 可得po 平面abcd 用棱锥的体积公 式计算即可 详解 1 证明 取ad的中点o 连接p0 bo bd 底面abcd是等边三角形 bo ad 又 pa pd 即 pad等腰三角形 po ad 又 pobo 0 ad 平面pbo 又 pb平面pbo ad pb 2 解 ab pa 2 由 1 知 pad是边长为 2 的正三角形 则po 3 又 pb 6 po2 bo2 pb2 即po bo 又由 1 知 po ad 且boad o po 平面abcd 2 113 231 334 p bcdbcd vspo 三棱锥p bcd的体积为 1 15 点睛 本题考查了线面垂直的判定与性质 棱锥的体积计算 属于中档题 20 已知椭圆的中心在原点 一个焦点为 且经过点 c 1 3 0 f c 1 3 2 p 1 求的方程 c 2 设与轴的正半轴交于点 直线 与交于 两点 不经过 c y dl ykxm ca bl 点 且 证明 直线 经过定点 并求出该定点的坐标 dadbd l 答案 1 2 直线 经过定点 2 2 1 4 x y l 3 0 5 解析 分析 1 由题意 设椭圆 由椭圆定义 求得的值 进而得到 c 22 22 1 0 xy ab ab a 的值 即可得到椭圆的标准方程 b 2 联立方程组 利用二次方程根与系数的关系 求得 12 2 8 14 km xx k 得到 再由 根据 2 12 2 44 14 m x x k 12 2 2 14 m yy k 22 12 2 4 14 mk y y k adbd 即可求解实数 m 的值 进而得出结论 0da db 详解 1 由题意 设椭圆 焦距为 c 22 22 1 0 xy ab ab 2c 则 椭圆的另一个焦点为 3c 2 3 0f 由椭圆定义得 12 71 24 22 apfpf 2a 22 1bac 所以的方程 c 2 2 1 4 x y 16 2 由已知得 由得 0 1d 2 2 1 4 ykxm x y 222 148440kxkmxm 当时 则 0 11 a x y 22 b xy 12 2 8 14 km xx k 2 12 2 44 14 m x x k 1212 2 2 2 14 m yyk xxm k 22 1212 2 4 14 mk y ykxmkxm k 由得 即 adbd 1212 110da dbx xyy 2 2 523 0 14 mm k 所以 解得或 2 5230mm 1m 3 5 m 当时 直线 经过点 舍去 1m ld 当时 显然有 直线 经过定点 3 5 m 0 l 3 0 5 点睛 本题主要考查椭圆的标准方程的求解 及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题 解答此类题目 通常联立直线方程与椭圆 圆锥曲线 方程的方程组 应用一元二次方程根 与系数的关系进行求解 此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足 导致错解 能较好的 考查考生的逻辑思维能力 运算求解能力 分析问题解决问题的能力等 21 设函数 2 1 x f xexax 1 若 求的单调区间 0a f x 2 若当时恒成立 求的取值范围 0 x 0f x a 答案 1 f x 在 0 单调减少 在 0 单调增加 2 a的取值范围为 1 2 解析 分析 1 a 0 时 f x ex 1 x f x ex 1 分别令f x 0 17 可求的单调区间 f x 2 求导得到 f x ex 1 2ax 由 1 知 ex 1 x 当且仅当x 0 时等号成立 故问题转 化为f x x 2ax 1 2a x 从而对 1 2a的符号进行讨论即可得出结果 详解 1 a 0 时 f x ex 1 x f x ex 1 当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 单调减 少 在 0 单调增加 2 f x ex 1 2ax 由 1 知 ex 1 x 当且仅当x 0 时等号成立 故f x x 2ax 1 2a x 从而当 1 2a 0 即a 时 f x 0 x 0 而f 0 0 于是 当x 0 时 f x 0 由 ex 1 x x 0 得 e x 1 x x 0 从而当a 时 f x ex 1 2a e x 1 e x ex 1 ex 2a 故当x 0 ln2a 时 f x 0 而f 0 0 于是当x 0 ln2a 时 f x 0 综上可得a的取值范围为 点睛 本题考查利用导数研究函数的性质 属中档题 22 已知直线 的参数方程为为参数 以坐标原点为极点 轴的正半轴为 l 13 22 1 2 xt t yt x 极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 c 2cos 1 求直线 的普通方程和曲线的直角坐标方程 lc 2 设点 直线 与曲线交于两点 求的值 1 0 2 p lc a b papb 答案 1 直线 普通方程 曲线直角坐标方程 l 22 310 xy c 2 2 2 11xy 15 2 解析 分析 1 消去直线 参数方程中的参数 即可得到其普通方程 将曲线极坐标方程化为 ltc 18 根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程 2 将直线 参数 2 2 cos l 方程代入曲线的直角坐标方程 根据参数 的几何意义可知 利用韦 ct 12 papbtt 达定理求得结果 详解 1 由直线 参数方程消去 可得普通

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