求通项公式的几种方法

求通项公式的几种方法求通项公式的几种方法 山东 徐美春 聂洪玉 数列的通项公式是研究数列的重要依据 下面介绍几种求数列通项公式的方法 一 观察法 已知一个数列的前几项 观察其特点 写出通项公式 例例 1观察下列数的特点 写出每个数列的一个通项公式 1 2 2 1 2 1 3 2 5 2 345 3 815 24 解 1 2 2 1 n a n 2 1 1 1 1 n n n a n 二 由的前 项和与间的关系 求通项 n an n S n a 已知数列的通项公式 可以求出的前项和 反过来 n a n an 123nn Saaaa 若已知的前项和 如何求呢 n an n S n a 1211121 2 nnnnn SaaaaSaaan 当时 当时 1n 11 aS 2n 1nnn aSS 故 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 此处应注意并非对所有的都成立 而只对当且为正整数时成 1nnn aSS n N2n 立 因此由求时必须分和两种情况进行讨论 n S n a1n 2n 例例 2设数列的前项和 求数列的通项公式 n an 2 3 n Snn n NA n a 解 解 当时 1n 2 11 3 112aS 当时 2n 22 1 33 1 164 nnn aSSnnnnn 此式对也适用 1n 64 n ann N 点评 点评 利用数列的前项和求数列的通项公式时 要注意是否也满足n n S n a 1 a 得出的表达式 若不满足 数列的通项公式就要用分段形式写出 1 2 nnn aSSn 三 利用公式求通项公式 已知一个数列是特殊的数列 只要求出首项和公差代入公式即可求出通项 例例 3 等差数列的前项和记为 已知 求通项 n n S 1020 3050aa n a 解 解 101 930aad 201 1950aad 得 代入 得 10202dd 1 12a 210 n an 四 利用递推关系 求通项公式 根据题目中所给的递推关系 可构造等差数列或采取叠加 叠乘的方法 消去中间项 求通项公式 例例 4 根据下列条件 求数列的通项公式 n a n N 1 数列中 n a 21 2 33 2 nn aaan 2 数列中 n a 11 13 nn aaan 3 数列中 n a 11 1 1 n nn a aaa n 解 解 1 因为 所以 21 3aa 12 33aa 又 所以成等差数列 公差为 1 3 nn aa n a3 所以 3 1 33 n ann 2 因为 所以 1 3 nn aan 21 3 1aa 32 32aa 43 3 3aa 1 3 1 nn aan 将上面个式子叠加 得 1n 2 1 1 3 3 1231 3 22 n nn aannn 所以 22 333 1 1 222 n annnn 3 由 变形为 1 1 n nn a aa n 1 2 1 n n an an 2 1 3 2 a a 3 21 41 3 n n aan aan 将上面的式子叠乘 得 1 1 2 n an a 1 1 2 n an 五 两式相减 消项求通项 例例 5数列满足 求 n a 123 23 1 2 n aaanan nn n a 解 解 由题意 1231 23 1 1 1 2 n aaanann nn 又 123 23 1 2 n aaanan nn 两式相减 得 3 1