人教A版普通高中课程标准实验教科书数学2

1 人教 A A 版普通高中课程标准实验教科书数学 必修 5 第二章 数列数列 教学内容的整合与研究教学内容的整合与研究 从化市第二中学高一数学备课组 刘洪琼 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修五第二章 数列 的课时 安排约为 12 课时 主要内容是数列的概念与表示 等差数列与等比数列的通项 公式与前 n 项和 数列作为一种特殊的函数 是反映自然规律的基本数学模型 教科书通过 对日常生活中大量实际问题的分析 建立等差数列和等比数列这两种数列模型 力求使学生在探索中掌握与等差数列 等比数列有关的一些基本数量关系 感 受这两种数列模型的广泛应用 并利用它们解决一些实际问题 使学生进一步 感受数列与现实生活中的联系和具体应用 相比以往各种版本的旧教材 课标教材内容有了新的变化与大的突破 更 加注重知识的形成过程 突出了函数思想 数学模型思想 强化了用函数观点 来呈现数列 体现数列的应用性以及数学的文化价值 这让学生真切感受到 无论是古代还是现代 过去还是将来 生产还是生活 数列知识都无处不在 数学学习是非常有用的 面对这样丰富的教学内容 我们怎样用教材去教 怎 样对教材进行整合与处理 才能最大限度地用好教材并上好每一节课呢 针对 这一问题 我们备课组进行了充分的研究与讨论 最后形成方案并付诸实施 收到了预期的效果 下面就其对教材初步的整合与研究归纳如下 一 重视数学情境的建立与一 重视数学情境的建立与数学应用价值的体现数学应用价值的体现 本章教材在整体上非常重视数学情境的建立 充分挖掘现实世界和实际生 活中有关数学实例 力求问题的引入能够反映一定的生活背景 激发学生学习 数学的兴趣 并体会数学的应用价值 教材编写自始至终贯彻 数列作为一种 特殊函数 是反映自然规律的基本数学模型 的思想 创造性地发掘了日常生 活中大量实际问题 首先在引言与插图中引入非常有趣的植物生长现象说明大 自然是懂数学的 向日葵的种子数目 树木的分叉 花瓣的数目等都与菲波那 契数列有关 又通过树木的生长 存款利息 购房贷款等实际问题都与数列模 型有关 说明数列的研究源于现实生产 生活的需要 然后在数列概念的引入 时 又以古代的正方形数 三角形数作为引例 等差数列则从奥运举重 水库 水位 存款利息等 等比数列又从细胞分裂 一尺之棰 计算机病毒等这些很 现实的问题情境中引入这些概念 最后又回到利用数列解决实际问题上面来 数列在现实生活中的应用 本章例题中涉及到的实际应用问题有 谢宾斯基三 角形问题 出租车收费问题 校园网问题 放射性物质的半衰期问题 计算机 2 的销售量问题 阅读与思考中的九连环问题 探究与发现中的购房中的数学问 题 信息技术应用中的估计的近似值的问题 习题中也有大量的应用问题 2 如体育场看台座位的排列 哈雷彗星的回归周期 沙漠面积的变化情况 植树 造林以及退耕还林问题 考古学家利用碳 14 衰变测定遗址年代问题 还有不可 思议的报纸对折 50 次可在地球与月球之间搭桥的问题 城市空气质量的监测问 题 国民生产总值的增长问题 工业垃圾的回收与处理问题 有关教育资金储 备问题等等 对于课本上已经列举的这些非常现实又有趣的例子 在教学 过程中应充分运用 并将它们的作用发挥到极致 因为要使学生学好数学 首 先就要培养学生的学习兴趣 而恰当的教学情境及教学案例的使用不但能更好 的启发学生 激发学生的学习兴趣 而且有助于增强学生的应用意识 当然 为了更好更快捷地呈现这么多丰富的情境内容 多媒体平台的合理运用是不可 或缺的 另外 在重视背景揭示的同时 也要关注基础的落实 因为数学的学 习离不开实践 做数学 是最有效的数学学习方法 因此 在教学过程中还应 该重视基础的落实 将常规的练习和探究性问题 实习作业有机结合起来 给 学生创造更多的实践机会 在 做数学 的过程中落实基础 二 二 重视数列与函数内在联系的揭示重视数列与函数内在联系的揭示 课标大纲要求了解数列是一特殊的函数 旨在说明很多数列问题可以用函 数的思想方法解决 数列与函数的联系主要体现在以下几方面 1 数列概念与函数概念的联系 相应于数列的函数是一种定义域为正整 数集 或它的前 n 个数组成的有限子集 的函数 它是一种自变量 等距离 地 离散取值的函数 教学过程中 可借助 Excel 或多媒体软件让学生动手 在做 数学的过程中 体验他们的联系和差别 2 等差数列与一次函数 二次函数的联系 从等差数列的通项公式可以 知道 公差不为零的等差数列的每一项是关于项数 n 的一次函数式 于是可 n a 以利用一次函数的性质来认识等差数列 例如 根据一次函数的图象是一条直 线和直线由两个点唯一确定的性质 就容易理解为什么两项可以确定一个等差 数列 此外 首项为 公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为 1 a 即当 时 是关于 n 的二次函数 2 1 1 dnn nasn n d an d 2 2 1 2 0 d n s 式 于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题 如可以根据二次函数的图象了解函数的增减变化 极值等情况 3 等比数列与指数型函数的联系 由于首项为 公比为 q 的等比数 1 a 列的通项公式可以写成 它与指数函数有着密切联系 从而可利用 1 1 n n qaa 指 3 数函数的性质来研究等比数列 并通过对等比数列的研究反过来进一步认识指 数函数的性质 如借助 报纸对折 50 次可在地球与月球之间搭桥 的问题进一 步认识指数爆炸增长的威力是何等巨大 对于数列与函数的联系 千万不可因为函数本身的抽象而回避或削弱 相 反 通过数列与函数的进一步研究 在利用函数研究数列的同时又反过来进一 步地认识了我们认为抽象的函数问题 起到了相辅相成 相得益彰的作用 三 三 注重教学问题悬疑的设置和有效解决注重教学问题悬疑的设置和有效解决 课本中的很多问题 在未进行后续内容的学习之前 是无法得到解决的 这时 我们要及时地设置悬疑 让学生带着问题进入学习 并在恰当时候及时 回头解决 以求提高学生学习的兴趣和求知欲 如在第 28 页数列的概念与简单表示法中 课本一开始就列举了古希腊毕达 哥拉斯学派著名的三角形数和正方形数引入数列的概念 在学习了数列的通项 公式后 自然会回头解决这两个数列的通项公式 对于正方形数 1 4 9 16 同学们很容易就能得出其通项公式是 而对于三角形数 2 nan 1 3 6 10 15 同学们经过反复思考与讨论后 最多只能得到一个递 推公式 且 哪么由递推公式又怎么导出通项naa nn 1 且 2 nNn1 1 a 公式呢 于是 我们不妨在此设下悬疑一 而在根据等差数列的定义 运用累加法推导出等差数列的通项公式后 作为daa nn 1 且 2 nNn 巩固累加法方法的运用 这时应及时回头提出三角形数通项公式的解决问题 这时同学们依葫芦画瓢会很容易得出 但对于右边的nan 321 的求和问题 在未学习等差数列求和公式之前 同学们仍不能立n 321 马得到解决 此刻 我们不妨又设下悬疑二 这个问题等到我们后面学习了等 差数列求和公式后再回头解决 最后等到学了等差数列求和公式后再回头时 这个问题根本就不是一个问题了 而学生则从学习数列的第一节课开始 就带 着这个悬而未决的问题一路学下去 直到第五节课才最终得以解决 学生的求 知欲望自然而然就得到了提高 又如在学习等比数列通项公式这节课时 为了让学生在高一上学期已经学 习指数函数 并初步感知指数爆炸增长这一数学现象后 再次进一步体会指数 爆炸增长的威力 可将课本第 54 页第 4 题作为课前设问提出 同学们 你们相 信将我们平时阅读的报纸 厚度大约为 对折 50 次后 能在地球和月mm05 0 球之间搭座桥吗 这时 同学们大都会摇头 会吗 不可能 于是 在此设下 悬疑 然后在学了等比数列通项公式后 再让同学们计算这一问题 每次对折 4 后的厚度组成首项为 公比的等比数列 对折 50 次后 其mma205 0 1 2 q 厚度为 这时报纸的厚度mmmqaa 10134949 150 1063 5 1063 52 205 0 已远远超过了地球与月球的平均距离 约为 这时同学们定会惊呼 m 8 1084 3 指数爆炸增长 不可思议 还如在学习等比数列求和公式时 我们不妨先给出一个引例 从前 一个 穷人到富人那里去借钱 原以为富人不愿意 哪知富人却一口答应了下来 但 提出了如下条件 在 30 天中 富人第一天借给穷人 1 万元 第二天借给穷人 2 万元 以后每天所借钱数都比上一天多一万元 但穷人必须在借钱的第一天还 1 分钱 第二天还 2 分钱 以后每天所还钱数都是上一天的 2 倍 直到 30 天后 两人互不相欠 穷人听后觉得挺划算 但又怕上当受骗 所以很为难 请在座 的同学思考一下 帮穷人出出主意 同学们看完题后一下就来劲了 知道 30 天 里 富人借给穷人的钱数组成首项为 1 公差为 1 的等差数列 且以万元为单 位 而穷人还给富人的钱数则组成首项为 1 公比为 2 的等比数列 且以分为 单位 并会算出 30 天里富人借给穷人钱数总和为万元 而465 2 301 30 30 S 穷人还给富人的钱数总和为 分 但还不 2932 30 212121211 S 会进行等比数列求和计算 于是在此留下悬疑 紧接着再让同学们阅读课本第 55 页国王奖赏国际象棋发明者的经典传说 同样得出一个首项为 1 公比为 2 的等比数列求和的式子 在同学们充满 6332 64 212121211 S 极大的好奇心时 自然而然地就进入了等比数列求和公式的推导 同学们对新 知的学习必定是求知若渴 迫不及待了 四 重视规律性问题的适时归纳与总结四 重视规律性问题的适时归纳与总结 数列这章的概念 性质 公式较多 因此 每学到一定的时候要注意适时 地进行归纳 总结和类比 以利同学们对所学知识的系统掌握和深化 在等差数列通项公式教学中 由定义有 由通项公式又有 daa nn 1 在这里 可让同学们从公式本身的结dnaan 1 1 n admnam 构特征上去分析 得出三个公式体现的实则是一回事 等差数列的项与项之间 相差多少个公差的问题 并且公式 更具有一般性 而且与之间大小关系nm 可任意 进而可进一步得出公差的求法 d d d n a 1 n a 1 1 n aan d 同样得出公式 更具一般性 这样一来 对等差数列概念的理解会 mn aa mn 5 更深刻 通项 公差的求法也会更加灵活 快捷 在导出等差 等比数列通项公式时 教材虽然均是运用的不完全归纳法和 类比的思想方法得出了公式 但在这里 我们不妨再利用累加与累乘的方法严 格地推导一下 这样处理 既提高了数学推理的严谨性 又为后面求型如 或的数列的通项公式做好铺垫 使数列学习的规律和 1 nfaa nn 1 nf a a n n 方法能充分彰显 对于等差 等比数列的概念 性质和相应的公式应及时地进行类比归纳 并以表格的形式再现 使同学们对知识进行梳理时能有一个系统性的比照 等差数列 等比数列 定义 为常数 daa nn 1 d 为常数 且 qaa nn 1 q0 q 通项公式 dnaan 1 1 dmnaa mn 1 1 n n qaa mn mn qaa 等差 等 比 中项2 ba A abG 性质 1 若 Nqpnm qpnm 则 qpmn aaaa 若 Nqpnm qpnm 则 qpmn aaaa 性质 2 knknn aaa 2 knknn aaa 2 性质 3 若 是公差为 n a n bd 的等差数列 则 d 也是等差数列 且 nn qbpa 公差为dqpd 若 是公比为 的等 n a n bq q 比数列 则 或 nn dbca 也是等比数列 且公比 nn dbca 为 或 qdcq qdcq 性质 4 从公差为的等差数列中d n a 每隔项依次抽取的各项组成m 公差为的等差数列dm 1 从公比为的等比数列中每隔q n a 项依次抽取的各项组成公比为m 的等比数列 1 m q 6 五 五 注重常规题型的演练与通性通法的运用注重常规题型的演练与通性通法的运用 本章内容中 涉及多种数学思想方法 如函数思想 方程思想 递归思想 合理猜想等 教学中要突出思想方法在解题中的作用 技巧的熟练掌握应建立 在学生体会理解的基础上 不要以特殊的技巧冲淡对通性通法的领悟 如练习中经常见到类似题 一个等差数列的第 6 项是 5 第 3 项与第 8 项的和也是 5 求这个数列的前 9 项的和 若由 根据等差数列的5 83 aa 性质可得 由又得 0 所以 因5 8365 aaaa5 6 a 5 a02 591 aaa 此得出 0 这一解法利用了等差数具有的 9 S 23121nnn aaaaaa 性质 掌握了这一性质 能迅速求解本题 但这仅仅是一种解题的技巧 这些 技巧的形成要建立在学生对等差数列深刻认识的基础上 不然随着时间的推移 学生就容易淡忘 因此 从让学生掌握通性通法考虑 下列解法则更加具有普 通性与实用性 因而也就更加重要 设数列的首项为 公差为 由题意得 从这个二元一次方程 1 ad 592 55 1 1 da da 组可解得数列的首项与公差 进而可求出前 9 项的和 这一解法较前一解法复杂些 但它使用了 方程思想 这是通性通法 更 能反映数学问题的本质 而前一解法则带有特殊性 有较强的技巧性 一味让 学生死记硬背一些方法技巧不利于学生数学能力的提高 六 重视数学思想方法的揭示与积累六 重视数学思想方法的揭示与积累 数列这一章蕴含着多种数学思想及方法 如函数思想 方程思想 而且在 基本概念 公式的教学本身也包含着丰富的数学方法 掌握这些思想方法不仅 可以增进对数列概念 公式的理解 而且运用数学思想方法解决问题的过程 往往能 诱发知识的迁移 使学生产生举一反三 融会贯通的解决许多数列问题的数学 意识 在这一章主要用到了以下几种数学思想方法 1 不完全归纳法 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观 而且可 以帮助学生有效的解决问题 在等差数列以及等比数列通项公式的导出过程就 用到了不完全归纳法 不完全归纳法虽然不够严谨 但对培养学生的归纳思维 猜想能力很有帮助 教学中应予重视 但应适时加以说明 不完全归纳法 只 是发现规律性结论的一种方法 而所得结论的正确性在条件成熟的时候有待进 行严格的证明 2 倒叙相加法 等差数列前 n 项和公式的推导过程中 就根据等差数列 的特点 很好地应用了倒叙相加法 而且在这一章的很多问题都直接或间接地 7 用到了这一方法 3 错位相减法 错位相减法是另一类数列求和的方法 它主要应用于形 如 其中 分别为等差 等比数列 的求和问题 它的项之间通 nn ba n a n b 过一定的变形可以进行转化 等比数列的前 n 项和公式的推导就第一次用到了 这种思想方法 而在后续练习与习题中又多次强化了这一方法的运用 4 裂项相消法 形如 其中为等差数列 为常数 的数 1 nna a c n ac 列求和问题需裂项相消求和 这一方法在课本习题 2 3B 组第 4 题中已得到了具 体运用 适当的时候还有必要进行一定的强化与巩固 5 分组求和法 形如 其中 为等差或等比数列 的 nn ba n a n b 数列求和问题需分组求和 而这一方法的运用在课本习题 2 5 第 4 题中已得到 了具体体现 6 函数的思想方法 数列