江苏省东海县2013届高三数学上学期期中考试数学理试题苏教版

用心 爱心 专心1 东海高级中学东海高级中学 20132013 届高三理科数学第一学期期中试题届高三理科数学第一学期期中试题 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 请将答案填入答题纸填空题的相应答题线分 请将答案填入答题纸填空题的相应答题线 上 上 1 若集合 函数的定义域为 则 2 0 Mx xx 2 log 1 f xx NMN 2 将函数的图象向左平移个单位 再向下平移 1 个单位 得到函数的 63 cos 2 x xf 4 xg 图象 则的解析式为 xg 3 已知向量与的夹角为 则在方向上的投影为 ab 3 2 aab 4 给出下列命题 其中正确的命题是 填序号 若平面上的直线m与平面上的直线n为异面直线 直线l是与的交线 那么l至多与 m n中的一条相交 若直线m与n异面 直线n与l异面 则直线m与l异面 一定存在平面同时与异面直线m n都平行 5 函数的定义域为 对任意 2 则 的解集为 xfR2 1 fRx xf xfx24 6 在锐角中 若 则的取值范围是 ABC BA2 b a 7 已知向量 的夹角为 45 且 则 ab1 a10 2 ba b 8 如图 在正方体中 给出以下四个结论 1111 ABCDABC D 平面 与平面相交 AD 平 1 DC 11 A ABB 11 AD 1 BCD 面 平面 平面 1 D DB 1 BCD 11 A ABB 其中正确结论的序号是 9 设定义在区间上的函数是奇函数 b b 1 lg 1 2 ax f x x 则 的取值范围是 2a bRa 且 b a 10 已知是锐角的外接圆的圆心 且 若 则OABC A coscos sinsin BC ABAC CB 2mAO 用表示 m 11 正三棱锥中 分别是棱上的点 为边的SABC 2BC 3SB DE SASB QAB 中点 则三角形的面积为 SQCDE 平面CDE 12 若函数在区间上有最大值 则的值是 0 2 2 aaxaxy 3 0 3a 13 设是自然数集的一个非空子集 对于 如果 且 那么是 的一个AkA 2 kA kA kA 酷元 给定 设集合M由集合S中的两个元素构成 且集合中 2 lg 36 SxN yx M 的两个元素都是 酷元 那么这样的集合有 M 14 某同学为研究函数的性质 2 2 11101f xxxx 构造了如图所示的两个边长为 的正方形和 点是边1ABCDBEFCP 上的一个动点 设 则 则可推知函数BCCPx f xAPPF 的零点的个数是 511g xf x 二 解答题二 解答题 15 本题满分 14 分 已知集合 集合 145 2 xxyxA 127lg 2 xxyxB 集合 121 mxmxC 1 求 AB 2 若 求实数的取值范围 ACA m 16 本题满分 14 分 在ABC 中 内角ABC 对边的边长分别是abc 且满足 22 4abab 3 C 1 2 A 时 若sinsin 2sin2CBAA 求ABC 的面积 2 求ABC 的面积等于3的一个充要条件 A B C D D1 A1 B1 C1 F E P D C BA 用心 爱心 专心2 17 本题满分 15 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是菱形 BAD AB 2 PA 1 PA 平面ABCD E是PC的中点 F是60 AB的中点 1 求证 BE 平面PDF 2 求证 平面PDF 平面PAB 3 求三棱锥P DEF的体积 18 本题满分 15 分 如图 在边长为 1 的正三角形中 分别是边上的点 若ABC E F AB AC 设的中点为 的中点为 AEmAB AFnAC 0 1 m n EFMBCN 若三点共线 求证 A M Nmn 若 求的最小值 1mn MN 19 本题满分 16 分 已知A B C为 ABC的三个内角 设 22 sin 2cos 2f A BAB 3sin2cos22AB 1 当取得最小值时 求的大小 f A BC 2 当时 记 试求的表达式及定义域 2 C h Af A B h A 3 在 2 的条件下 是否存在向量 使得函数的图象按向量平移后得p h Ap 到函数的图象 若存在 求出向量的坐标 若不存在 请说明理由 2cos2g AA p 20 本题满分 16 分 已知函数 ax axaxx xf axx 244 1 2 1 若时 恒成立 求实数的取值范围 ax 1 xfa 2 若时 函数在实数集上有最小值 求实数的取值范围 4 a xfRa A B C E F M N 用心 爱心 专心3 试题答案试题答案 一 填空题一 填空题 1 2 3 4 5 6 0 1 1 43 cos 2 x xg 2 2 1 3 2 7 8 9 10 11 12 或 13 5 个 23 1 2 sin 10 4 13 14 0 二 解答题二 解答题 15 解 1 7 2 A 4 分 3 4 B 6 分 3 4 BA 2 ACA 8 分AC 9 分 C112 mm2 m 则或 12 分 C 212 2 m m 71 2 m m 13 分6 m 综上 或 14 分2 m6 m 16 解 1 由题意得sin sin 4sincosBABAAA 即sincos2sincosBAAA 由cos0A 时 得sin2sinBA 由正弦定理得2ba 3 分 联立方程组 22 4 2 abab ba 解得 2 3 3 a 4 3 3 b 所以ABC 的面积 12 3 sin 23 SabC 7 分 2 若ABC 的面积等于3 则 1 sin3 2 abC 得4ab 联立方程组 22 4 4 abab ab 解得2a 2b 即AB 又 3 C 故此时ABC 为正三角形 故2c 即当三角形面积为3时 ABC 是边长为2的正三角形 11 分 反之若ABC 是边长为2的正三角形 则其面积为3 故ABC 的面积等于3的一个充要条件是 ABC 是边长为2的正三角形 14 分 17 1 证明 取PD的中点为M 连结ME MF 因为E是PC的中点 所以ME是 PCD的中位 线 所以ME CD ME 又因为F是AB的中点 且由于ABCD是菱形 AB CD AB CD 所 1 2 CD 以ME FB 且ME FB 所以四边形MEBF是平行四边形 所以BE MF 连结BD 因为BE平面PDF MF平面PDF 所以BE 平面PDF 5 分 2 证明 因为PA 平面ABCD DF平面ABCD 所以DF PA 连结BD 因为底面ABCD是菱形 BAD 所以 DAB为正三角形 60 因为F是AB的中点 所以DF AB 因为PA AB是平面PAB内的两条相交直线 所以DF 平面PAB 因为DF平面PDF 所以平面PDF 平面PAB 10 分 3 解 因为E是PC的中点 所以点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等 故 又 2 E到平面DFC的距离h 所以 P DEF V C DEF V E DFC V DFC S 1 2 33 1 2 PA 1 2 15 分 E DFC V 1 3 3 1 2 3 6 18 解 由三点共线 得 2 分 A M N AMAN 设 即 4 分 AMAN R 11 22 AEAFABAC 所以 所以 7 分 mABnACABAC mn 因为 MNANAM 11 22 ABACAEAF 11 1 1 22 m ABn AC 又 所以 11 分1mn 11 1 22 MNm ABmAC 所以 22 222 111 1 1 442 MNmABm ACm mAB AC A 222 111113 1 1 4444216 mmm mm 故当时 15 分 1 2 m min 3 4 MN 19 解 1 配方得f A B sin2A 2 cos2B 2 1 3 2 1 2 f A B min 1 当且仅当时取得最小值 3 sin2 2 1 cos2 2 A B 在 ABC中 故C 或 6 分 3 sin2 63 2 1 cos2 66 2 AA A BB B 或 2 3 2 2 A B 于是h A 2 C 2 22 sin 2cos 23sin2cos22f A BABAB 用心 爱心 专心4 cos2A 3 22 sin 2cos 23sin2cos22 22 AAAA 3sin2A 2cos 2A 3 A B 11 分 3 2 0 2 A 3 函数h A 在区间上是减函数 在区间上是增函数 而函数0 3 32 在区间上是减函数 2cos2g AA 0 2 函数h A 的图象与函数的图象不相同 从而不存在满足条件的 2cos2g AA 向量p p 16 分 20 解 1 因为时 所以令 则有 所以ax axx xf 244 t x 2 a t20 当时恒成立 可转化为 1 xfax 1 2 4 2 a t t 即在上恒成立 2 分 t t a 1 2 4 2 0 a t 令 则 3 分 2 0 1 a t t ttg 0 1 1 2 t tg 所以在上单调递增 4 分 t ttg 1 2 0 a 所以 所以有 a aa gtg 2 1 2 2 a a a 2 1 2 2 4 5 分 a a 2 2 5 5 2 2 a 52 a 6 分 5log2 a 2 当时 即 7 分 ax 1 2 axxxf 4 1 2 2 2 aa xxf 当时 此时对称轴在区间左侧 开口向上 所以在单调递增 0 2 aa a xf a 所以 8 分 1 min afxf 当时 此时对称轴在区间内 开口向上 所以在单调递减 04 2 aa a xf 2 a a 在单调递增 所以 2 a 4 1 2 2 min aa fxf 所以由 可得 当时有 9 分 ax 0 1 04 4 1 2 min a a a xf 当时 令 则 ax axx xf 244 t x 2 2 0 a t aaa tttth 4 4 2 2 2 4 22 当时 在单调递减 在上单调递增 2 1 222 2 2 0 2 a aa a th 2 2 0 a 2 2 2 a a 10 分 aa hth 4 4 2 2 min 当时 在单调递减 2 1 222 2 2 2 a aa a th 2 0 a 0 44 0 2 aa hhth 所以 此时 在上无最小值 11 分 th 2 0 a 所以由 可得当时有 当时 ax 2 1 a a thxf 4 4 minmi