高中数学复习专题数列讲座

第 1 页 共 12 页 高中数学复习专题讲座 数列的通项公式与求和的常用方法数列的通项公式与求和的常用方法 高考要求高考要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列是函数概念的继续和延伸 数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项 数n的函数 是函数思想在数列中的应用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列以通项为纲 数列的问题 最终归 结为对数列通项的研究 而数列的前n项和Sn可视为数列 Sn 的通项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 通项及求和 是数列中最基本也是最重要的问题之一 与数列极限及数学归纳法有着密切的联系 是高考对数列问题考查中的热点 本点的动态函数观点解决有关问题 为其提供行 之有效的方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 重难点归纳重难点归纳 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列中数的有序性是数列定义的灵魂 要注意辨析数列中的项与数集中元 素的异同 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性 又要注意数列方法 的特殊性 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列 an 前 n 项和 Sn与通项 an的关系式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a n 2 1 1 1 nSS nS nn 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求通项常用方法 作新数列法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 作等差数列与等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 累差叠加法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 最基本形式是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 1 2 2 1 11 a a a a a a a a a n n n n n n 归纳 猜想法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 递推数列 1 nfaa nn 1 nf a a n n dcaa nn 1 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列前 n 项和常用求法 重要公式 1 2 n n n 1 12 22 n2 n n 1 2n 1 2 1 6 1 13 23 n3 1 2 n 2 n2 n 1 2 4 1 等差数列中 Sm n Sm Sn mnd 等比数列中 Sm n Sn qnSm Sm qmSn 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 裂项求和 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 将数列的通项分成两个式子的代数和 即 an f n 1 f n 然后 累加时抵消中间的许多项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 应掌握以下常见的裂项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1111 1 ctgctg2 1 1sin2 n nnn n nnn 11 111 CCC 1 1 nrr nnn nnn 等 错项相消法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 并项求和法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列通项与和的方法多种多样 要视具体情形选用合适方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 第 2 页 共 12 页 典型题例示范讲解典型题例示范讲解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 1 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列 数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1 的等比数列 若函数 f x x 1 2 且 a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设数列 cn 的前 n 项和为 Sn 对一切 n N 都有 an 1成立 n n c c b c b c 2 1 1 1 求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 lim n n n S S 2 12 命题意图 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题主要考查等差 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 数列的 极限 以及运算能力和综合分析问题的能力 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 知识依托 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显 而 2 中条 件等式的左边可视为某数列前 n 项和 实质上是该数列前 n 项和与数列 an 的关系 借助通项与前 n 项和的关系求解 cn是该条件转化的突破口 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 错解分析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题两问环环相扣 1 问是基础 但解方程求基本量 a1 b1 d q 计算不准易出错 2 问中对条件的正确认识和转化是关键 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 技巧与方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题 1 问运用函数思想转化为方程问题 思路较为自然 2 问 借鸡生蛋 构造新数列 dn 运用和与通项的关系求出 dn 丝丝入扣 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 a 1 f d 1 d 2 2 a3 f d 1 d2 a3 a1 d2 d 2 2 2d d 2 an a1 n 1 d 2 n 1 又 b1 f q 1 q2 b3 f q 1 q 2 2 q2 由 q R 且 q 1 得 q 2 2 2 1 3 2 q q b b 2 2222 4 lim3444lim 2 x x bbacn bbac bac arnr bn b qn 1 4 2 n 1 2 令 dn 则 d1 d2 dn an 1 n N n n b c dn an 1 an 2 2 即 cn 2 bn 8 2 n 1 Sn 1 2 n 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n n b c 3 8 2 lim 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 12 2 12 n n n n n n n n n S S S S 例例 2 设 an 是正数组成的数列 其前 n 项和为 Sn 并且对于所有的自然数 n an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 写出数列 an 的前 3 项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 求数列 an 的通项公式 写出推证过程 第 3 页 共 12 页 3 令 bn n N 求 b1 b2 b3 bn n 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 1 1 n n n n a a a a lim n 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 由题意 当 n 1 时 有 S1 a1 1 1 2 2 2 S a 解得 a1 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 n 2 时 有 S2 a1 a2 将 1 1 2 2 2 a a 2 2 2 2 2 S a a1 2 代入 整理得 a2 2 2 16 由 a2 0 解得 a2 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 n 3 时 有 S3 a1 a2 a3 3 3 2 2 2 S a 将 a1 2 a2 6 代入 整理得 a3 2 2 64 由 a3 0 解得 a3 10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 故该数列的前 3 项为 2 6 10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由 1 猜想数列 a n 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 有通项公式 an 4n 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 下面用数学归纳法证明 an 的通项公式是 an 4n 2 n N 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 n 1 时 因为 4 1 2 2 又在 1 中已求出 a1 2 所以上述结论成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 假设当 n k 时 结论成立 即有 ak 4k 2 由题意 有 将 k k S a 2 2 2 ak 4k 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 代入上式 解得 2k 得 Sk 2k2 k S2 由题意 有 Sk 1 Sk ak 1 1 1 2 2 2 k k S a 将 Sk 2k2代入得 2 2 ak 1 2k2 2 2 1 k a 整理得 ak 12 4ak 1 4 16k2 0 由 ak 1 0 解得 ak 1 2 4k 所以 ak 1 2 4k 4 k 1 2 即当 n k 1 时 上述结论成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 根据 上述结论对所有的自然数 n N 成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由题意知 n N 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 整理得 Sn an 2 2 n n S a 2 2 2 8 1 由此得 Sn 1 an 1 2 2 an 1 Sn 1 Sn an 1 2 2 an 2 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 1 8 1 整理得 an 1 an an 1 an 4 0 由题意知 an 1 an 0 an 1 an 4 即数列 an 为等差数列 其中 a1 2 公差 d 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 an a1 n 1 d 2 4 n 1 即通项公式为 an 4n 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法三 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由已知得 n N n n S a 2 2 2 所以有 1 1 2 2 2 n n S a 由 式得 1 1 2 2 2 n nn S SS 整理得 Sn 1 2 2 Sn 0 2 1 n S 解得 nn SS 2 1 由于数列 an 为正项数列 而 2 2 11 nn SSS 第 4 页 共 12 页 因而 nn SS 2 1 即 Sn 是以为首项 以为公差的等差数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 S2 所以 n 1 n Sn 2n2 n S222 故 an 即 an 4n 2 n N 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 24 1 2 1 nnSS n nn 3 令 cn bn 1 则 cn 2 2 1 1 1 n n n n a a a a 1212111 1 1 221212121 nn nnnn 1212nn bbbnccc 111111 1 1 335212121nnn 12 1 1 1 limlim 21 n nn bbbn n 例 3 数列的前项和为 n an n S 1 1a 1 2 nn aSn N 求数列的通项 n a n a 求数列的前项和 n nan n T 解 又 1 2 nn aS 1 2 nnn SSS 1 3 n n S S 11 1Sa 数列是首项为 公比为 的等比数列 n S13 1 3 n n Sn N 当时 2n 2 1 22 3 2 n nn aSn A 2 11 32 n n n a n A 123 23 nn Taaana 当时 1n 1 1T 当时 2n 012 14 36 323n n Tn AA A 121 334 36 323n n Tn AA A 得 1221 2242 333 23 nn n Tn A 第 5 页 共 12 页 2 1 3 1 3 2223 1 3 n n n AA 1 1 1 2 3nn A 1 11 3 2 22 n n Tnn 又也满足上式 11 1Ta 1 11 3 22 n n Tnn N 例 4 设是公比大于 1 的等比数列 为数列的前项和 已知 n a n S n an 且构成等差数列 3 7S 123 334aaa 1 求数列的等差数列 n a 2 令求数列的前项和 31 ln12 nn ban n bnT 解 1 由已知得解得 123 13 2 7 3 4 3 2 aaa aa a 2 2a 设数列的公比为 由 可得 n aq 2 2a 13 2 2aaq q 又 可知 即 解得 3 7S 2 227q q 2 2520qq 12 1 2 2 qq 由题意得 故数列的通项为 12qq 1 1a n a 1 2n n a 2 由于由 1 得 31 ln12 nn ban 3 31 2 n n a 又 3 ln23 ln2 n n bn 1 3ln2 nnn bb 是等差数列 n b 12nn Tbbb 故 1 2 3ln23ln2 2 3 1 ln2 2 n n bb n n n 3 1 ln2 2 n n n T 第 6 页 共 12 页 西乡一中 2008 年高考复习数学培训试题 三 1 已知数列的前项和 其中是首项为 1 公差为 2 的 n an nn bnS 1 n b 等差数列 1 求数列的通项公式 2 若 求数列的前项 n a 52 1 nn n ba c n cn 和 n T 2 在数列中 n a 1 2a 1 431 nn aan n N 解 证明数列是等比数列 求数列的前项和 n an n an n S 证明 由题设 得 1 431 nn aan 1 1 4 nn anan n N 又 所以数列是首项为 且公比为的等比数列 1 11a n an 14 解 由 可知 于是数列的通项公式为 1 4n n an n a 1 4n n an 所以数列的前项和 n an 41 1 32 n n n n S 3 设数列满足 n a 21 123 333 3 n n n aaaa a N 求数列的通项 设 求数列的前项 n a n n n b a n bn 和 n S 解 I 21 123 33 3 3 n n n aaaa 22 1231 1 33 3 2 3 n n n aaaan 1 11 3 2 333 n n nn an 第 7 页 共 12 页 1 2 3 n n an 验证时也满足上式 1n 1 3 n n anN II 3n n bn 23 1 32 33 3 3n n Sn 231 233333 nn n Sn 1 1 33 23 1 3 n n n Sn 11 13 33 244 nn n n S 4 数列中 是常数 且 n a 1 2a 1nn aacn c12 3n 成公比不为 的等比数列 123 aaa 1 I 求 的值 II 求的通项公式 c n a 解 I 1 2a 2 2ac 3 23ac 因为 成等比数列 1 a 2 a 3 a 所以 解得或 2 2 2 23 cc 0c 2c 当时 不符合题意舍去 故 0c 123 aaa 2c II 当时 由于2n 21 aac 32 2aac 所以 1 1 nn aanc 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 故 1 2a 2c 2 2 1 2 2 3 n an nnnn 当时 上式也成立 1n 所以 2 2 12 n annn 2341 31 32 33 3 3n n Sn 第 8 页 共 12 页 高中数学复习专题讲座 数列的通项公式与求和的常用方法数列的通项公式与求和的常用方法 高考要求高考要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列是函数概念的继续和延伸 数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项 数n的函数 是函数思想在数列中的应用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列以通项为纲 数列的问题 最终归 结为对数列通项的研究 而数列的前n项和Sn可视为数列 Sn 的通项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 通项及求和 是数列中最基本也是最重要的问题之一 与数列极限及数学归纳法有着密切的联系 是高考对数列问题考查中的热点 本点的动态函数观点解决有关问题 为其提供行 之有效的方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 重难点归纳重难点归纳 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列中数的有序性是数列定义的灵魂 要注意辨析数列中的项与数集中元 素的异同 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性 又要注意数列方法 的特殊性 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列 an 前 n 项和 Sn与通项 an的关系式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a n 2 1 1 1 nSS nS nn 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求通项常用方法 作新数列法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 作等差数列与等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 累差叠加法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 最基本形式是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 1 2 2 1 11 a a a a a a a a a n n n n n n 归纳 猜想法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 递推数列 1 nfaa nn 1 nf a a n n dcaa nn 1 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列前 n 项和常用求法 重要公式 1 2 n n n 1 12 22 n2 n n 1 2n 1 2 1 6 1 13 23 n3 1 2 n 2 n2 n 1 2 4 1 等差数列中 Sm n Sm Sn mnd 等比数列中 Sm n Sn qnSm Sm qmSn 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 裂项求和 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 将数列的通项分成两个式子的代数和 即 an f n 1 f n 然后 累加时抵消中间的许多项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 应掌握以下常见的裂项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1111 1 ctgctg2 1 1sin2 n nnn n nnn 11 111 CCC 1 1 nrr nnn nnn 等 第 9 页 共 12 页 错项相消法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 并项求和法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 数列通项与和的方法多种多样 要视具体情形选用合适方法 头 头 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