中考试题分类动态型问题

中考试题分类中考试题分类 动态型问题动态型问题 18 2013 江苏苏州 18 3 分 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC A 60 动点 P 从 A 点出发 以 1cm s 的速度沿着 A B C D 的方向不停移动 直到点 P 到达点 D 后才停 止 已知 PAD 的面积 S 单位 cm2 与点 P 移动的时间 单位 s 的函数如图 所示 则点 P 从开始移动到停止移动一共用了 4 2 秒 结果保留根号 分析 根据图 判断出 AB BC 的长度 过点 B 作 BE AD 于点 E 然后求出梯形 ABCD 的高 BE 再根据 t 2 时 PAD 的面积求出 AD 的长度 过点 C 作 CF AD 于 点 F 然后求出 DF 的长度 利用勾股定理列式求出 CD 的长度 然后求出 AB BC CD 的和 再根据时间 路程 速度计算即可得解 解答 解 由图 可知 t 在 2 到 4 秒时 PAD 的面积不发生变化 在 AB 上运动的时间是 2 秒 在 BC 上运动的时间是 4 2 2 秒 动点 P 的运动速度是 1cm s AB 2cm BC 2cm 过点 B 作 BE AD 于点 E 过点 C 作 CF AD 于点 F 则四边形 BCFE 是矩形 BE CF BC EF 2cm A 60 BE ABsin60 2 AE ABcos60 2 1 AD BE 3 即 AD 3 解得 AD 6cm DF AD AE EF 6 1 2 3 在 Rt CDF 中 CD 2 所以 动点 P 运动的总路程为 AB BC CD 2 2 2 4 2 动点 P 的运动速度是 1cm s 点 P 从开始移动到停止移动一共用了 4 2 1 4 2 秒 故答案为 4 2 点评 本题考查了动点问题的函数图象 根据图 的三角形的面积的变化情况判断出 AB BC 的长度是解题的关键 根据梯形的问题中 经常作过梯形的上底边的两个 顶点的高线作出辅助线也很关键 23 2013 贵州省毕节市 23 12 分 如图 有一张矩形纸片 将它沿对角线 AC 剪开 得到 ACD 和 A BC 1 如图 将 ACD 沿 A C 边向上平移 使点 A 与点 C 重合 连接 A D 和 BC 四边 形 A BCD 是 形 2 如图 将 ACD 的顶点 A 与 A 点重合 然后绕点 A 沿逆时针方向旋转 使点 D A B 在同一直线上 则旋转角为 度 连接 CC 四边形 CDBC 是 形 3 如图 将 AC 边与 A C 边重合 并使顶点 B 和 D 在 AC 边的同一侧 设 AB CD 相 交于 E 连接 BD 四边形 ADBC 是什么特殊四边形 请说明你的理由 第 23 题图 解析 1 利用平行四边形的判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可 2 利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可 3 利用等腰梯形的判定方法得 出 BD AC AD CE 即可得出答案 解案 解 1 平行四边形 证明 AD AB AA AC A C 与 BD 互相平分 四边形 A BCD 是平行四边形 2 DA 由垂直于 AB 逆时针旋转到点 D A B 在同一直线上 旋转角为 90 度 证明 D B 90 A D B 在一条直线 上 CD BC 四边形 CDBC 是直角梯形 故答案为 90 直角梯 3 四边形 ADBC 是等腰梯形 证明 过点 B 作 BM AC 过点 D 作 DN AC 垂足分别为 M N 有一张矩形纸片 将它沿对角线 AC 剪开 得到 ACD 和 A BC ACD A BC BM ND BD AC AD BC 四边形 ADBC 是等腰梯形 点评 此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定 直角梯形的判 定方法等知识 熟练掌握判定定理是解题关键 26 2013 年广 西玉林市 26 12 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 AOCD 的顶 点 A 的坐标是 0 4 现有两动点 P Q 点 P 从点 O 出发沿线段 OC 不包括端点 O C 以每秒 2 个单位长度的速度匀速向点 C 运动 点 Q 从点 C 出发沿线段 CD 不包括端 点 C D 以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动 点 P Q 同时出发 同时停止 设运 动的时间为 t 秒 当 t 2 秒 时 PQ 52 1 求点 D 的坐标 并直接写出 t 的取值范围 2 连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E 把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F 连接 EF 则 AEF 的面积S是否随 t 的变化而变化 若变化 求出S与 t 的函数关系式 若不变化 求出 S的值 3 在 2 的条件下 t 为何值时 四边形 APQF 是梯形 解 1 设 OC x 当 t 2 时 OP 4 PC x 4 CQ 2 在 Rt PQC 中 222 CQPCPQ 2 2 2 2452 x 解得0 1 x 不合题意 舍去 8 2 x D 点坐标 8 4 2 由翻折可知 点 Q 和点 F 关于直线 AD 对称 QD DF 4 t 而 AD 8 ttS AQF 832428 2 1 设经过 A 0 4 Q 8 t 两点的一次函数解析式为bkxy 故有 bkt b 8 4 解得 8 4 t k 一次函数的解析式为4 8 4 x t y 易知一次函数与 x轴的交点的坐标为 t 4 32 0 EC t 4 32 8 tt t S EQF 8428 4 32 2 1 328832 ttSSS QFEAFQAFE AEF 的面积S不随 t 的变化而变化 S的值为 32 3 因 AP 与 QF 不平行 要想使四边形 APQF 是梯形 须有 PQ AF AF AQ AFQ AQF 而 CQE AQF 要想 PQ AF 须有 AFQ PQC 故只 需具备条件 PQC CQE 又 QC PE CQP QCE QC QC CQP QCE PC CE 即 8 2t t 4 32 8 解得526 1 t 不合题意 舍去 526 2 t 故当526 t时 四边形 APQF 是梯形 22 2013 珠海 珠海 22 9 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD AB 3 2 DC 2 高 CE 2 2 对角线 AC BD 交于 H 平行于线段 BD 的两条直线 MN RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速平移 分别交等腰梯形 ABCD 的边于 M N 和 R Q 分别交对角线 AC 于 F G 当直线 RQ 到达点 C 时 两直线同时停止移动 记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的面 积为 1 S 被直线 RQ 扫过的面积为 2 S 若直线 MN 平移的速度为 1 单位 秒 直线 RQ 平移的 速度为 2 单位 秒 设两直线移动的时间为 x 秒 1 填空 AHB AC 2 若 21 3SS 求 x 3 若 21 SmS 求 m 的变化范围 图 22图 图 图 图图 22图 图 Q R H N M DC E Q R H N M DC E A AB F G B F G 解析解析 1 如图第 22 题 1 所示 平移对角线 DB 交 AB 的延长线于 P 则四边形 BPCD 是平行四边形 BD PC BP DC 2 因为等腰梯形 ABCD AB CD 所以 AC BD 所以 AC PC 又高 CE 2 2 AB 3 2 所以 AE EP 2 2 所以 AHB 90 AC 4 图 22图 图 1 P Q R H N M DC E A B F G 直线移动有两种情况 3 0 2 x 及 3 2 2 x 需要分类讨论 当 3 0 2 x 时 有 2 2 1 4 SAG SAF 21 3SS 当 3 2 2 x 时 先用含有 x 的代数式分别表示 1 S 2 S 然 后由 21 3SS 列出方程 解之可得 x 的值 3 分情况讨论 当 3 0 2 x 时 2 1 4 S m S 当 3 2 2 x 时 由 21 SmS 得 2 2 2 1 88 2 2 3 xS m S x 2 12 364 3x 然后讨论这个函数的最值 确定 m 的变化范 围 答案答案 1 90 4 2 直线移动有两种情况 3 0 2 x 及 3 2 2 x 当 3 0 2 x 时 MN BD AMN ARQ ANF AQG 2 2 1 4 SAG SAF 21 3SS 当 3 2 2 x 时 如图第 22 题 2 所示 图 22图 图 2 Q R H N M DC E A B F G CG 4 2x CH 1 1 4 12 2 BCD S 2 242 28 2 1 CRQ x Sx 2 1 2 3 Sx 2 2 88 2Sx 由 21 3SS 得方程 2 2 2 88 23 3 xx 解得 1 6 5 x 舍去 2 2x x 2 3 当 3 0 2 x 时 m 4 当 3 2 2 x 时 由 21 SmS 得 2 2 88 2 2 3 x m x 2 3648 12 xx 2 12 364 3x M 是 1 x 的二次函数 当 3 2 2 x 时 即当 112 23x 时 M 随 1 x 的增大而增大 当 3 2 x 时 最大值 m 4 当 x 2 时 最小值 m 3 3 m 4 点评点评 本题是一道几何代数综合压轴题 重点考查等腰梯形 相似三角形的性质 二次函 数的增减性和最值及分类讨论 由特殊到一般的数学思想等的综合应用 解题时 1 小题 通过平移对角线 将等腰梯形转化为等腰三角形 从而使问题得以简化 是我们解决 梯形问题常用的方法 2 小题直线移动有两种情况 3 0 2 x 及 3 2 2 x 需要分类讨论 这点万不可忽略 解 题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方 3 小题仍需要分情况讨论 对于函数 2 12 364 3 m x 讨论它的增减性和最值是个 难点 讨论之前点明我们把这个函数看作 M 是 1 x 的二次函数 对顺利作答至关重要 16 2013 湖南省张家界市 16 题 3 分 已知线段 AB 6 C D 是 AB 上两点 且 AC DB 1 P 是线段 CD 上 一动点 在 AB 同侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF G 为线段 EF 的中点 点 P 由点 C 移动到点 D 时 G 点移动的路径长度为 分析 不好意思 本题做不出来 还请高手补充 18 2013 湖北荆州 湖北荆州 18 3 分 分 如图 1 所示 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点 动点 P Q 同时从点 B 出发 点 P 沿折线 BE ED DC 运动到点 C 时停止 点 Q 沿 BC 运动到 点 C 时停止 它们运动的速度都是 1cm 秒 设 P Q 同发 t 秒时 BPQ 的面积为 ycm2 已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2 曲线 OM 为抛物线的一部分 则下列结论 AD BE 5 cos ABE 3 5 当 0 t 5 时 y 2 5 t2 当 t 29 4 秒时 ABE QBP 其中正确 的结论是 填序号 解析 首先 分析函数的图象两个坐标轴表示的实际意义及 函数的图象的增减情况 横轴表示时间 t 纵轴表示 BPQ 的面积 y 当 0 t 5 时 图象为抛物线 图象过原点 且关于y轴对称 y随的t增大而增大 t 5 的时候 BPQ的面积最大 5 t 7 时 y是常函数 BPQ 的面积不变 为 10 从而得到结论 t 5的时候 点 Q 运动到点 C 点 P 运动到点 E 图 1 图 2 第 18 题图 ADE P QCB M N H y tO 57 10 图 3 AC PDB E G F 所以 BE BC AD 5 1 5cm 5 t 7 时 点 P 从 E D 所以ED 2 1 2cm AE 3 cm AB 4 cm cos ABE 5 4 BE AB 设抛物线 OM 的函数关系式为 2 aty 0 a0 t 5 把 5 10 代入得到a2510 所 以 5 2 a 所以当 0 t 5 时 y 5 2 t2 当 t 5 时 点 P 位于线段 CD 上 点 Q 与点 C 重合 当 t 29 4 秒 点 P 位于 P 处 C P CD DP 4 29 4 7 4 15 cm 在 ABE 和 Q BP 中 3 4 CP BQ AE AB A Q 90 所以 ABE Q BP 答案 点评 本题综合考察了动点问题 二次函数 三角形相似 常 函数 锐角三角函数 分 段函数的知识 综合性强 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义 理解问题叙 述的过程 把图象的过程和几何的动点运动过程相结合 化静为动 从而解决问题 本题 考察的知识点全面 难度较大 8 2013湖北黄冈 8 3 如图 在Rt ABC 中 C 90 AC BC 6cm 点P从点A出发 沿AB方向以每 秒2cm的速度向终点B运动 同时 动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点 C运动 将 PQC 沿BC翻折 点P的对应点为点P 设Q点运动的时间t秒 若四边形QPCP为 菱形 则t的 值为 A 2 B 2 C 2 2 D 3 解析 连接 PP 交 BC 于点 D 若四边形 QPCP 为菱形 则 PP BC CD 1 2 CQ 1 2 6 t BD 6 1 2 6 t 3 1 2 t 在 Rt BPD 中 PB AB AP 62 2t 而 PB 2BD 62 2t 2 3 1 2 t 解得 t 2 故选 B 答案 B 点评 本题主要考查了等腰直角三角形和菱形的性质 要能在动态变化中抓住静态结论 利用方程思想解题 难度中等 D 12 2013 甘肃兰州 12 4 分 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2cm F 是弦 BC 的中 点 ABC 60 若动点 E 以 2cm s 的速度从 A 点出发沿着 A B A 的方向运动 设运 动时间为 t s 0 t 3 连接 EF 当 BEF 是直角三角形时 t 的值为 A 4 7 B 1 C 4 7 或 1 D 4 7 或 1 或 4 9 解析 AB 是 O 的直径 ACB 90 Rt ABC 中 BC 2 ABC 60 AB 2BC 4cm 当 BFE 90 时 Rt BEF 中 ABC 60 则 BE 2BF 2cm 故此时 AE AB BE 2cm E 点运动的距离为 2cm 或 6cm 故 t 1s 或 3s 由于 0 t 3 故 t 3s 不合题意 舍去 所以当 BFE 90 时 t 1s 当 BEF 90 时 同 可求得 BE 0 5cm 此时 AE AB BE 3 5cm E 点运动的距离为 3 5cm 或 4 5cm 故 t 1 75s 或 2 25s 综上所述 当 t 的值为 1 1 75 或 2 25s 时 BEF 是直角三角形 故选 D 答案 D 点评 根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形 ABC 再根据 30 直角三角形的性质 可求出 AB 的长 BEF 是直角三角形 则有两种情况 BFE 90 BEF 90 在 上述两种情况所得到的直角三角形中 已知了 BC 边和 B 的度数 即可求得 BE 的长 由 AE AB BE 即可求出 AE 的长 也就能得出 E 点运动的距离 有两种情况 从而求出 t 的 值 此题综合考查了圆周角定理的推论 垂径定理以及直角三角形的性质 是一道动态题 同时还考查了分类讨论的数学思想 有一定的难度 26 2013 贵州遵义 26 分 如图 ABC 是边长为 6 的等边三角形 P 是 AC 边上一动 点 由 A 向 C 运动 与 A C 不重合 Q 是 CB 延长线上一点 与点 P 同时以相同的速 度由 B 向 CB 延长线方向运动 Q 不与 B 重合 过 P 作 PE AB 于 E 连接 PQ 交 AB 于 D 1 当 BQD 30 时 求 AP 的长 2 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化 如果不变 求出线段 ED 的长 如果变化 请说明理由 解析 1 由 ABC 是边长为 6 的等边三角形 可知 ACB 60 再由 BQD 30 可知 QPC 90 设 AP x 则 PC 6 x QB x 在 Rt QCP 中 BQD 30 PC QC 即 6 x 6 x 求出 x 的值即可 2 作 QF AB 交直线 AB 的延长线于点 F 连接 QE PF 由点 P Q 做匀速运动且速度相同 可知 AP BQ 再根据全等三角形的判定定理得出 APE BQF 再由 AE BF PE QF 且 PE QF 可知四边形 PEQF 是 平行四边形 进而可得出 EB AE BE BF AB DE AB 由等边 ABC 的边长为 6 可得出 DE 3 故当 点 P Q 运动时 线段 DE 的长度不会改变 答案 解 1 ABC 是边长为 6 的等边三角形 ACB 60 第 12 题图 BQD 30 QPC 90 设 AP x 则 PC 6 x QB x QC QB BC 6 x 在 Rt QCP 中 BQD 30 PC QC 即 6 x 6 x 解得 x 2 2 当点 P Q 运动时 线段 DE 的长度不会改变 理由如下 作 QF AB 交直线 AB 的延长线于点 F 连接 QE PF 又 PE AB 于 E DFQ AEP 90 点 P Q 做匀速运动且速度相同 AP BQ ABC 是等边三角形 A ABC FBQ 60 在 APE 和 BQF 中 A FBQ AEP BFQ 90 APE BQF APE BQF AE BF PE QF 且 PE QF 四边形 PEQF 是平行四边形 DE EF EB AE BE BF AB DE AB 又 等边 ABC 的边长为 6 DE 3 当点 P Q 运动时 线段 DE 的长度不会改变 点评 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理 平行四边形的判定与性质 根据题意作出辅助 线构造出全等三角形是答案此题的关键 24 2013 山东省青岛市 山东省青岛市 24 12 12 分 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6cm BC 8cm D E 分别是 AC AB 的中点 连接 DE 点 P 从点 D 出发 沿 DE 方向匀速运动 速度为 1cm s 同时 点 Q 从点 B 出发 沿 BA 方向匀速运动 速度为 2cm s 当点 P 停止运动时 点 Q 也停止运动 连接 PQ 设运动时间为 t s 0 t 4 解答下列 问题 当 t 为何值时 PQ AB 当点 Q 在 BE 之间运动时 设五边形 PQBCD 的面积为 y cm2 求 y 与 t 之间的函数 关系式 在 2 的情况下 是否存在某一时刻 t 使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 S PQE S 五边形PQBCD 1 29 若存在 求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h 若不存在 请说明理由 24 解析解析 1 要使 PQ AB 只要说明 PQE ACB 所以 可得求 t 值 PE AB QE BC 2 五边形 PQBCD 的面积 梯形 DEBC 的面积 PEQ 的面积 易求梯形 DEBC 的面积 求 PEQ 的面积 要作 EQ 边上高 利用 PME ABC 可求出高 3 可先假设其存在 即 S PQE S 五边形PQBCD 1 29 根据 2 中关系代入计算 若得出结果与假设一致 则 假设正确 反之 则假设不成立 答案答案 解 如图 在 Rt ABC 中 AC 6 BC 8 AB 10 62 82 D E 分别是 AC AB 的中点 AD DC 3 AE EB 5 DE BC 且 DE BC 4 因为 PQ AB PQB C 90 1 2 又 DE BC AED B PQE ACB PE AB QE BC 由题意得 PE 4 t QE 2t 5 即 解得 t 4 t 10 2t 5 8 41 14 过点 P 作 PM AB 于 M 由 PME ABC 得 PMPE ACAB 4 t3 PM 4t 6105 PM 得 2 113339 5 2 4 t 6 225510 PQE SEQ PMttt A DCBE 1 4 83 18 2 S 梯形 y 18 2 339 6 510 tt 2 339 12 510 tt 假设存在时刻 t 使 S PQE S五边形 PQBCD 1 29 此时 S PQE 1 30 BCDE S四边形 2 3391 t 6 18 51030 t 即 2t2 13t 18 0 t1 2 t2 舍去 当 t 2 时 9 2 PM 3648 4 2 ME 4 2 5555 EQ 5 2 2 1 MQ ME EQ 813 1 55 PQ 2222 613205 555 PMMQ PQ h h 656 2056 5205205205 或 1 2 3 5 点评点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 将相似三角形与二次函数融合在一起 运 用了勾股定理 三角形面积公式知识 综合强 像本题这样的存在型问题是中考的常考点 要注意掌握这类问题的解题方法 2424 20132013 湖北咸宁 湖北咸宁 24 12 分 分 如图 在平面直角坐标系中 点 C 的坐标为 0 4 动点 A 以每秒 1 个单位长的速度 从点 O 出发沿x轴的正方向运动 M 是线段 AC 的中 点 将线段 AM 以点 A 为中心 沿顺时针方向旋转 90 得到线段 AB 过点 B 作x轴的垂 线 垂足为 E 过点 C 作y轴的垂线 交直线 BE 于点 D 运动时间为t秒 1 当点 B 与点 D 重合时 求t的值 2 设 BCD 的面积为 S 当t为何值时 4 25 S 3 连接 MB 当 MB OA 时 如果抛物线axaxy10 2 的顶点在 ABM 内部 不包括边 求 a 的取值范围 解析解析 1 易证得 Rt CAO Rt ABE 当 B D 重合时 BE 的长已知 即 OC 长 根据 AC AB 的比例关系 可得 AO BE 的比例关系 由此求得 t 的值 2 求 BCD 的面积时 可以 CD 为底 BD 为高来解 那么表示出 BD 的长是关键 Rt CAO Rt ABE 且知道 AC AB 的比例关系 即可通过相似三角形的对应边成比例 求出 BE 的长 进一步得到 BD 的长 在表达 BD 长时 应分两种情况考虑 B 在线段 DE 上 B 在 ED 的延长线上 3 通过配方法 可得抛物线的顶点坐标 将其横坐标分别代入直线 MB AB 的解析式 y xO C 备用图 y xOA B C M D 第 24 题 E 中 可得抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标 根据这两个坐标即可判定出 a 的取值范 围 答案答案 1 90BAECAO 90BAEABE ABECAO Rt CAO Rt ABE 2 分 BE AO AB CA 4 2t AB AB 8 t 3 分 2 由 Rt CAO Rt ABE 可知 tBE 2 1 2 AE 4 分 当 0 t 8 时 4 25 2 4 2 2 1 2 1 t tBDCDS 3 21 tt 6 分 当t 8 时 4 25 4 2 2 2 1 2 1 t tBDCDS 253 1 t 253 2 t 为负数 舍去 当3 t或253 时 4 25 S 8 分 3 如图 过 M 作 MN x轴于 N 则2 2 1 COMN 当 MB OA 时 2 MNBE 42 BEOA 9 分 抛物线axaxy10 2 的顶点坐标为 5 a25 10 分 它的顶点在直线5 x上移动 直线5 x交 MB 于点 5 2 交 AB 于点 5 1 11 分 1 a25 2 25 2 a 25 1 12 分 点评点评 本题是二次函数综合题 属于图形的动点问题 前两问的关键在于找出相似三角 形 得到关键线段的表达式 注意点在运动过程中未知数的取值范围问题 最后一问中 先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键 25 2013 贵州六盘水 25 16 分 如图 13 已知 ABC 中 AB 10cm AC 8cm BC 6 cm 如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动 同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 它们的速度均为 2cm s 连接 PQ 设运动的时间为 t 单位 s 0 t 4 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ BC 4 分 2 设 AQP 的面积为 S 单位 cm 2 当 t 为何值时 S 取得最大值 并求出最大值 3 是否存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 若存在求出此时 t 的值 若不存在 请说明理由 3 分 y xO C x 5 A B D 第 24 题 E 4 如图 14 把 APQ 沿 AP 翻折 得到四边形 AQPQ 那么是否存在某时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 若存在 求出此时菱形的面积 若不存在 请说明理由 5 分 分析 1 由 PQ BC 时的比例线段关系 列一元一次方程求解 2 如解答图 1 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D 构造比例线段 求得 PD 从而可以得 到 S 的表达式 然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值 3 要点是利用 2 中求得的 AQP 的面积表达式 再由线段 PQ 恰好把 ABC 的面积 平分 列出一元二次方程 由于此一元二次方程的判别式小于 0 则可以得出结论 不存 在这样的某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 4 首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系 求得 PQ QD 和 PD 的长度 然后 在 Rt PQD 中 求得时间 t 的值 最后求菱形的面积 值得注意的是菱形的面积等于 AQP 面积的 2 倍 从而可以利用 2 中 AQP 面积的表达式 这样可以化简计算 解答 解 AB 10cm AC 8cm BC 6cm 由勾股定理逆定理得 ABC 为直角三角形 C 为直角 1 BP 2t 则 AP 10 2t PQ BC APAQ ABAC 即 1022 108 tt 解得 20 9 t 当 20 9 t s 时 PQ BC 2 如答图 1 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D PD BC APPD ABBC 即 102 106 tPD 解得 5 6 6 PDt 115 2 6 226 SAQ PDtt A 22 55515 6 6622 ttt 当 t 5 2 s 时 S 取得最大值 最大值为 15 2 cm2 3 假设存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 则有 S AQP 1 2 S ABC 而 S ABC AC BC 24 此时 S AQP 12 由 2 可知 S AQP 2 5 6 6 tt 2 5 612 6 tt 化简得 t2 5t 10 0 5 2 4 1 10 15 0 此方程无解 不存在某时刻 t 使线段 PQ 恰好把 ABC 的面积平分 4 假设存在时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 则有 AQ PQ BP 2t 如答图 2 所示 过 P 点作 PD AC 于点 D 则有 PD BC APPDAD ABBCAC 即 102 1068 tPDAD 解得 5 6 6 PDt 5 8 8 ADt QD AD AQ 518 828 85 ttt 在 Rt PQD 中 由勾股定理得 QD2 PD2 PQ2 即 222 186 8 6 2 55 ttt 化简得 13t2 90t 125 0 解得 t1 5 t2 25 13 t 5s 时 AQ 10cm AC 不符合题意 舍去 t 25 13 由 2 可知 S AQP 2 5 6 6 tt S菱形 AQPQ 2S AQP 2 2 5 6 6 tt 2 625252400 2 6 51313169 cm2 所以存在时刻 t 使四边形 AQPQ 为菱形 此时菱形的面积为 2400 169 cm2 点评 本题是非常典型的动点型综合题 全面考查了相似三角形线段比例关系 菱形的性 质 勾股定理及其逆定理 一元一次方程的解法 一元二次方程的解法与判别式 二次函 数的极值等知识点 涉及的考点众多 计算量偏大 有一定的难度 本题考查知识点非常 全面 是一道测试学生综合能力的好题 专项六专项六 动态型问题 动态型问题 40 10 2013 浙江省温州市 浙江省温州市 10 4 分 分 如图 在 ABC 中 90C M 是 AB 的中点 动点 P 从点 A 出发 沿 AC 方向匀速运动到终点 C 动点Q 从点 C 出发 沿 CB 方向匀速 运动到终点 B 已知 P Q 两点同时出发 并同时到达终点 连结 MP MQ PQ 在整个 运动过程中 MPQ 的面积大小变化情况是 A 一直增大 B 一直减小 C 先减小后增大 D 先增大后减少 解析解析 本题是一道动态变化问题 可利用特值判断选项 答案答案 C 点评点评 本题属于态变化问题 题中没有给出边长和速度 有一定难度 14 2013 山东省临沂市 14 3 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 4cm 动点 P Q 同时 从点 A 出发 以 1cm s 的速度分别沿 A B C 和 A D C 的路径向点 C 运动 设运动 时间为 x 单位 s 四边形 PBDQ 的面积为 y 单位 cm2 则 y 与 x 0 x 8 之间的 函数关系可用图象表示为 解析 在 0 x 4 时 y 随 x 的增大而减小 在 4 x 8 时 y 随 x 的增大而增大 且 y 与 x 的函数关系是二次函数 故选 B 答案答案 选 B 点评点评 考查动点问题的函数图象问题 根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系 式是解决本题的关键 25 2013 山东省临沂市 25 11 分 已知 在矩形 ABCD 中 AB a BC b 动点 M 从 点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动 1 如图 1 当 b 2a 点 M 运动到边 AD 的中点时 请证明 BMC 900 2 如图 2 当 b 2a 时 点 M 在运动的过程中 是否存在 BMC 900 若存在 请给予 证明 若不存在 请说明理由 3 如图 3 当 b 2a 时 2 中的结论是否仍然成立 请说明理由 解析解析 1 由 b 2a 点 M 是边 AD 的中点 可得 AMB 和 DMC 是等腰直角三角形 AMB DMC 450 可证明 BMC 900 2 3 分析图形 ABM DMC 利用相似图形的性质列出方程 探索方程根的情 况 当 b2 4ac 0 存在 BMC 900 当 b2 4ac 0 不存在 BMC 900 解 解 1 证明 b 2a 点 M 是边 AD 的中点 AB AM MD DC 又 四边形 ABCD 是矩形 A D 900 AMB DMC 450 BMC 900 2 存在 理由 若 BMC 900 则 AMB DMC 900 又 AMB ABM 900 AMB DMC 又 A D 900 ABM DMC DM AB CD AM AMb a a AM 设 AM 为 x 整理得 0 22 abxx b 2a a 0 b 0 b2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根 且两根均大于 0 符合题意 当 b 2a 时 存在 BMC 900 3 不成立 理由 若 BMC 900 由 2 可知0 22 abxx b 2a a 0 b 0 b2 4ac 0 方程无实数根 当 b 2a 时 不存在 BMC 900 即 2 中的结论不成立 点评点评 本题涉及到动点问题 比较复杂 解答此题的关键是根据题意分析图形 确定 ABM DMC 由数形结合便可解答 体现了数形结合在解题中的重要作用 21 2013 四川省南充市 21 8 分 在 Rt POQ 中 OP OQ 4 M 是 PQ 中点 把一三角尺 的直角顶点放在点 M 处 以 M 为旋转中心 旋转三角尺 三角尺的两直角边与 POQ 的两直角边分别交于点 A B 1 求证 MA MB 2 连接 AB 探究 在旋转三角尺的过程中 AOB 的周长是否存在最小值 若存在 求出最小值 若不存在 请说明理由 解析 1 连接 OM 证明 AMO AMO 即可 2 在 Rt AOB 中 运用勾股定 理得到求 AB 长的式子 转化成二次函数的问题 运用二次函数的最值求解 答案 1 证明 连接 OM PQR 是等腰之间三角形且 M 是斜边 PQ 的中点 MO MQ MOA MOAMQB 450 AMO OMB 900 OMB AMO 900 AMO AMO AMO AMO MA MB 2 解 由 1 中 AMO AMO 得 AO BQ 设 AO x 则 OB 4 x 在 Rt OAB 中 22222 4 2 2 8ABOAOBxxx 当 x 2 时 AB 的最小值为2 2 AOB 的周长的最小值为2 2 4 点评 本题以直角三角形为基本图形 综合考查了全等三角形的性质与判定 等腰直 角三角形的性质 勾股定理和二次函数的性质等知识点 考查了学生综合运用数学知识以及 转化的数学思想解决问题的能力 对于几何知识与二次函数的综合 是学生解题的难点之一 难 度较大 24 2013 浙江省衢州 24 12 分 如图 把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 分别置于 平面直角坐标系中 使直角边 OB OD 在 x 轴上 已知点 A 1 2 过 A C 两点的直 线分别交 x 轴 y 轴于点 E F 抛物线 y ax 2 bx c 经过 O A C 三点 1 求该抛物线的函数解析式 2 点 P 为线段 OC 上一个动点 过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M 交 x 轴于 点 N 问是否存在这样的点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 若存在 求出此 时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若 AOB 沿 AC 方向平移 点 A 始终在线段 AC 上 且不与点 C 重合 AOB 在 平移过程中与 COD 重叠部分记为 S 试探究 S 是否存在最大值 若存在 求出 这个最大值 若不存在 请说明理由 解析 1 将 A 1 2 D 1 2 O 0 0 代入函数解析式 利用待定系数法求该函数 的解析式即可 2 根据题意先假设 P 点横坐标坐标为 t 再根据 M 在抛物线上的关系用 t 表示出 M 点 的坐标 最后求出 P 点的坐标 便可得出答案 3 由 OQT OCD A RQ AOJ 利用相似比表示 A KT A RQ 的面积 根 据 S四边形 RKTQ S A KT S A RQ 运用二次函数的性质求面积最大时 a 的值 答案 解 1 抛物线y ax 2 bx c 经过 O A C 可得 c 0 2 421 ab ab 1 分 解得 a 3 2 b 7 2 3 分 抛物线的解析式为y 3 2 x 2 7 2 x 4 分 2 设点 P 的横坐标为 t PN CD OPN OCD 可得 PN 2 t P t 2 t 点 M 在抛物线上 M t 3 2 t2 7 2 t 5 分 过 M 点作 MG AB 于 G 过 P 点作 PH AB 于 H AG yA yM 2 3 2 t2 7 2 t 3 2 t2 7 2 t 2 BH PN 2 t 6 分 当 AG BH 时 四边形 ABPM 为等腰梯形 3 2 t2 7 2 t 2 2 t 7 分 化简得 3t 2 8t 4 0 解得 t1 2 不合题意 舍去 t2 2 3 点 P 的坐标为 2 3 1 3 存在点 P 2 3 1 3 使四边形 ABPM 为等腰梯形 8 分 3 如图 AOB 沿 AC 方向平移至 A O B A B 交 x 轴于 T 交 OC 于 Q A Q 交 x 轴于 K 交 OC 于 R 求得过 AC 的直线为 yAC x 3 可设 点A 的横坐标为 a 则点 A a a 3 易知 OQT OCD 可得 QT 2 a 点 Q 的坐标为 a 2 a 9 分 设 AB 与 OC 相交于点 J A RQ AOJ 相似三角形对应高的比等于相似比 HTA Q OBAJ HT A Q AJ OB 1 3 2 1 2 2 aa 1 2 a 由 A KT A O B 得 1 2 KTO B A TA B KT 1 2 A T 1 2 3 a A Q yA yQ a 3 2 a 3 3 2 a 10 分 S四边形 RKTQ S A KT S A RQ 1 2 KT A T 1 2 A Q HT 1 2 3 2 a 3 a 1 2 3 3 2 a a 2 1 2 a 2 3 2 a 3 4 11 分 1 2 a 3 2 2 3 8 由于 1 2 0 在线段 AC 上存在点 A 3 2 3 2 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值为 3 8 12 分 点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式 等腰梯形的性质及判定以及相似 三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识 此题综合性很强 解题的关键是注意数形 结合 求出函数表达式 做好辅助点 找对相似三角形 善于利用几何图形的有关性质 定理和二次函数的知识 并注意挖掘题目中的一些隐含条件 22 2013 四川省南充市 22 8 分 如图 C 的内接 AOB 中 AB AO 4 tan AOB 3 4 抛 物线 2 yaxbx 经过点 A 4 0 与点 2 6 1 求抛物线的函数解析式 2 直线 m 与 C 相切于点 A 交 y 于点 D 动点 P 在线段 OB 上 从点 O 出发向点 B 运动 同时动点 Q 在线段 DA 上 从点 D 出发向点 A 运动 点 P 的速度为每秒 1 个单位长 点 Q 的速度为每秒 2 个单位长 当 PQ AD 时 求运动时间 t 的值 3 点 R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上 当 ROB 面积最大时 求点 R 的坐标 解析 1 运用待定系数法求出解析式即可 2 先运用三角函数的知识求出 OD 的 长 在结合勾股定理得到方程 求出 t 的值 3 由于 OB 的长是一个定值 所以 ROB 面积与 RH 的长成正比 设出 R 点的坐标 用含 x 的代数式分别表示出 RH 的长 转化为二次 函数的最值的问题来解决问题 答案 解 1 将点 A 4 0 和点 2 6 的坐标代入 2 y axbx中 得方程组 16 4 0 4 2 6 ab ab 解之 得 1 2 2 a b 抛物线的解析式为 2 1 2 2 yxx 2 连接 AC 交 OB 于 E 直线 m 切 C 于 A AC m 弦 AB AO A A ABAO AC OB m OB OAD AOB OA 4 tan AOB 4 3 OD OA tan OAD 4 4 3 3 作 OF AD 于 F 则 OF OA sin OAD 4 5 3 2 4 t 秒时 OP t DQ 2t 若 PQ AD 则 FQ OP t DF DQ FQ t ODF 中 t DF 22OFOD 1 8 秒 3 令 R x 2 1 x2 2x 0 x 4 作 RG y 轴于 G 作 RH OB 于 H 交 y 轴于 I 则 RG x OG 2 1 x2 2x Rt RIG 中 GIR AOB tan GIR 4 3 IG 3 4 x IR 3 5 x Rt OIH 中 OI IG OG 3 4 x 2 1 x2 2x 2 1 x2 3 2 x HI 5 4 2 1 x2 3 2 x 于是 RH IR IH 3 5 x 5 4 2 1 x2 3 2 x 5 2 x2 15 33 x 5 2 x2 5 11 x 5 2 x 4 11 2 40 121 当 x 4 11 时 RH 最大 S ROB最大 这时 2 1 x2 2x 2 1 4 11 2 2 4 11 32 55 点 R 4 11 32 55 点评 本题以圆和二次函数为背景 综合考查了直线与圆的位置关系及其性质 二次 函数的性质 勾股定理 三角函数以及动态几何相关知识 考查了学生建立二次函数和方程 的模型以及运用转化等数学思想来解决问题的能力 本题中 正确添画辅助线以及准确的建 立函数与方程的模型是解决问题的关键 难度较大 21 2013 山东省荷泽市 山东省荷泽市 21 10 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角形 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面积 是 A B O 面积的 倍 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 在 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出它的两条性 质 解析解析 根据三角形的旋转确定抛物线三个点的坐标 利用待定系数法求函数的关系式 四边形 PB A B 的面积是由三个三角形的面积拼接而成 列出四边形的面积公式 利用解方 程的方法求出自变量 x 的值 如果 x 的值存在 这说明点 P 是存在的 由 P 点的位置可得 出四边形是梯形 由两腰的相等关系 可以判断四边形是等腰梯形 答案答案 1 A B O 是由ABO 绕原点O逆时针旋转90 得到的 又 0 1 2 0 0 0 ABO 1 0 0 2 AB 1 分 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 抛物线经过点 A B B 0 2 042 abc c abc 解之得 1 1 2 a b c 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx 3 分 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则0 0 xy P点坐标满足 2 2yxx 连结 PB PO PB B OA B O OB PB A B SSSS PP四边形 111 1 2 2 2 222 xy 22 2 123xxxxx 5 分 假设四边形PB A B 的面积是A B O 面积的4倍 则 2 234xx 即 2 210 xx 解之得1x 此时 2 1122y 即 1 2 P 7 分 存在点 1 2 P 使四边形PB A B 的面积是A B O 面积的4倍 8 分 3 四边形PB A B 为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下 底平行 等腰梯形两腰相等 10 分 或用符号表示 B A BPBA 或A B PBPB PAB B B PA B B APB 10 分 点评点评 1 灵活利用二次函数及其它函数的图象与性质 2 利用几何图形间的数量 关系列方程 不等式或函数解决几何问题 即数形结合地解决问题 3 分类讨论各种情 况 4 以静制动 将动态问题转化为静态问题解决 5 会抽取所需图形 或分割图 形 使问题简化 转化为一般的几何问题解决 21 2013 福州 21 满分 13 分 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动 过点 P 作 PD BC 交 AB 于点 D 连接 PQ 点 P 分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动 时间为 t 秒 t 0 1 直接用含 t 的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在 t 的值 使四边形