第三章导数及其应用章末检测A（人教A版选修1-1）

1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 章末检测章末检测 A 人教 人教 A 版选修版选修 1 1 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知曲线 y x2 2x 2 在点 M 处的切线与 x 轴平行 则点 M 的坐标是 A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 2 3 2 函数 y x4 2x2 5 的单调减区间为 A 1 及 0 1 B 1 0 及 1 C 1 1 D 1 及 1 3 函数 f x x3 ax2 3x 9 在 x 3 时取得极值 则 a 等于 A 2 B 3 C 4 D 5 4 已知函数 f x ax3 x2 x 5 在 上既有极大值 也有极小值 则实数 a 的取值范围为 A a B a 1 3 1 3 C ax 2 18 12 分 某物流公司购买了一块长 AM 30 米 宽 AN 20 米的矩形地块 AMPN 规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库 其余地方为道路和停车场 要求顶点 C 在地块对 角线 MN 上 B D 分别在边 AM AN 上 假设 AB 长度为 x 米 若规划建设的仓库是高度 与 AB 的长相同的长方体建筑 问 AB 长为多少时仓库的库容最大 墙体及楼板所占空间 忽略不计 3 19 12 分 已知直线 l1为曲线 y f x x2 x 2 在点 1 0 处的切线 l2为该曲线的另外 一条切线 且 l1 l2 1 求直线 l2的方程 2 求由直线 l1 l2及 x 轴所围成的三角形的面积 20 12 分 要设计一容积为 V 的有盖圆柱形储油罐 已知侧面的单位面积造价是底面 造价的一半 盖的单位面积造价又是侧面造价的一半 问储油罐的半径 r 和高 h 之比为何 值时造价最省 21 12 分 若函数 f x ax3 bx 4 当 x 2 时 函数 f x 有极值 4 3 1 求函数的解析式 2 若方程 f x k 有 3 个不同的根 求实数 k 的取值范围 22 12 分 已知函数 f x ax3 x2 1 x R 其中 a 0 3 2 1 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若在区间 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 1 2 1 2 4 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 A 答案答案 1 B f x 2x 2 0 x 1 f 1 1 2 2 1 2 3 M 1 3 2 A y 4x3 4x 4x x2 1 令 y 0 得 x 的范围为 1 0 1 3 D f x 3x2 2ax 3 由 f x 在 x 3 时取得极值 即 f 3 0 即 27 6a 3 0 a 5 4 C f x 3ax2 2x 1 函数 f x 在 上有极大值 也有极小值 等价于 f x 0 有两个不等实根 即Error 解得 a 且 a 0 1 3 5 D y 2 x 2 x 2 时 y 0 x 2 时 y 2 时 y 0 x 2 是极小值点 f 2 3 又 f 0 1 f 5 6 故 f 5 是最大值 f 2 是最小值 6 B y x 1 n 1 切线方程为 y 1 n 1 x 1 令 y 0 得 x 1 即 xn 1 n 1 n n 1 n n 1 所以 log2 010 x1 log2 010 x2 log2 010 x2 009 log2 010 x1 x2 x2009 log2 010 log2 010 1 2 2 3 2 009 2 010 1 2 010 1 7 A 令 f x x3 x2 x 2 则 f x 3x2 2x 1 令 3x2 2x 1 0 得 x 1 或 x 故函数 f x 在 x 1 和 x 处分别取得极大值 f 1 1 和极小 1 3 1 3 值 f 据此画出函数的大致图象 可知函数图象与 x 轴只有一个交点 即方程 1 3 59 27 只有一个根 且在内 1 3 8 A 9 A 设圆柱横截面圆的半径为 R 圆柱的高为 h 则 2R h 2 V R2h R2 2 2R 2 R2 2 R3 V 2 R 2 3R 0 令 V 0 则 R 0 舍 或 R 2 3 经检验知 R 时 圆柱体积最大 此时 h 2 3 2 3 Vmax 4 9 2 3 8 27 10 A 2 时 f x 0 f x 为减函数 同理 f x 在 2 0 上为增函数 0 上为减函数 5 11 C 因为 f x ln x x2 所以 f x 2x 1 x 令 f x 0 得 x x 舍去 2 2 2 2 当 0 x0 函数单调递增 当 x 时 f x 0 函数单调递减 所以函 2 2 2 2 数 f x ln x x2在 x 处取得极大值 无极小值 2 2 12 B y2 ax 的焦点坐标为 过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y 2 a 4 0 x a 4 令 x 0 得 y a 2 4 a2 64 a 8 1 2 a 4 a 2 13 a 3 解析 由题意应有 f x 3x2 a 0 在区间 1 1 上恒成立 则 a 3x2 x 1 1 恒成立 故 a 3 14 3 解析 f x x2 2 f 1 3 15 2 15 解析 设 P x0 y0 x00 1 cos2x 1 cos2x cos2x f x 在上为增函数 0 2 又 f x tan x x 在 x 0 处可导且 f 0 0 当 x 时 f x f 0 恒成立 0 2 即 tan x x 0 tan x x 18 解 因为 且 AM 30 AN 20 DC AM ND AN 所以 ND AN AB AM 2x 3 6 得 AD AN ND 20 2x 3 仓库的库容 V x 20 x x 2x 3 20 x2 0 x0 当 x 20 30 时 V x 0 所以当 x 20 时 V x 有极大值也是最大值 即 AB 的长度为 20 米时仓库的库容最大 19 解 1 因为 f x 2x 1 所以 f 1 3 所以直线 l1的方程为 y 3 x 1 即 y 3x 3 设直线 l2过曲线上点 B b b2 b 2 因为 f b 2b 1 所以直线 l2的方程为 y b2 b 2 2b 1 x b 即 y 2b 1 x b2 2 又 l1 l2 所以 3 2b 1 1 所以 b 2 3 所以直线 l2的方程为 y x 1 3 22 9 即 3x 9y 22 0 2 解方程组Error 可得Error 因为直线 l1 l2与 x 轴的交点坐标分别为 1 0 22 3 0 所以所求三角形的面积为 S 1 2 5 2 1 22 3 125 12 20 解 由 V r2h 得 h V r2 设盖的单位面积造价为 a 则储油罐的造价 M a r2 2a 2 rh 4a r2 5a r2 4aV r M 10a r 令 M 0 解得 r 4aV r2 3 2V 5 经验证 当 r 时 函数取得极小值 也是最小值 此时 3 2V 5 h V r2 3 25V 4 当 时 储油罐的造价最省 r h 3 2V 5 3 25V 4 2 5 21 解 f x 3ax2 b 7 1 由题意得Error 解得Error 故所求函数的解析式为 f x x3 4x 4 1 3 2 由 1 可得 f x x2 4 x 2 x 2 令 f x 0 得 x 2 或 x 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 2 2 2 2 2 2 f x 0 0 f x 28 3 4 3 因此 当 x 2 时 f x 有极大值 当 x 2 时 f x 有极小值 28 3 4 3 所以函数 f x x3 4x 4 的图象大致如右图所示 1 3 若 f x k 有 3 个不同的根 则直线 y k 与函数 f x 的图象有 3 个交点 所以 k 4 3 28 3 22 解 1 当 a 1 时 f x x3 x2 1 f 2 3 f x 3x2 3x f 2 6 所以曲 3 2 线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即