第5讲：动态几何问题

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 1 D N CMB A 第第 5 讲讲 动态几何问题动态几何问题 第一部分第一部分 典例精讲典例精讲 例 1 如图 在梯形中 梯形的高ABCDADBC 3AD 5DC 10BC 为 动点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动点同4MBBCCN 时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点CCD运D 动 设运动的时间为 秒 t 1 当时 求 的值 MNAB t 2 试探究 为何值时 为等腰三角形 tMNC 例例 2 在 ABC 中 ACB 45 点 D 与点 B C 不重合 为射线 BC 上一动点 连 接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 1 如果 AB AC 如图 且点 D 在线段 BC 上运动 试判断线段 CF 与 BD 之间的位 置关系 并证明你的结论 2 如果 AB AC 如图 且点 D 在线段 BC 上运动 1 中结论是否成立 为什么 3 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P 设 AC 4 2 CD 求线段 CP 的长 用含的式子表示 3 BCxx 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 2 例例 3 已知如图 在梯形ABCD中 24ADBCADBC 点M是AD的中点 MBC 是等边三角形 1 求证 梯形ABCD是等腰梯形 2 动点P Q分别在线段BC和MC上运动 且60MPQ 保持不变 设 PCxMQy 求y与x的函数关系式 3 在 2 中 当y取最小值时 判断PQC 的形状 并说明理由 例例 4 已知正方形中 为对角线上一点 过点作交于 ABCDEBDEEFBD BCF 连接 为中点 连接 DFGDFEG CG 1 直接写出线段与的数量关系 EGCG 2 将图 1 中绕点逆时针旋转 如图 2 所示 取中点 连接 BEF B45 DFGEG CG 你在 1 中得到的结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 3 将图 1 中绕点旋转任意角度 如图 3 所示 再连接相应的线段 问 1 中BEF B 的结论是否仍然成立 不要求证明 图 3 图 2 图 1 F E A BC D A BC D E F G G F E D CB A AD C B P M Q 60 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 3 第二部分第二部分 发散思考发散思考 思考思考 1 1 已知 如图 1 射线射线 是它们的公垂线 点 分 AMBNABDC 别在 上运动 点与点不重合 点与点不重合 是边上的动AMBNDACBEAB 点 点与 不重合 在运动过程中始终保持 EABECDE 且 aABDEAD 1 求证 ADE BEC 2 如图 2 当点为边的中点时 求证 EABCDBCAD 3 设 请探究 的周长是否与值有关 若有关 请用含有的mAE BEC mm 代数式表示的周长 若无关 请说明理由 BEC 第 25 题 1 第 25 题 2 思考思考 2 ABC 是等边三角形 P 为平面内的一个动点 BP BA 若 PBC 180 0 且 PBC 平分线上的一点 D 满足 DB DA 1 当 BP 与 BA 重合时 如图 1 BPD 2 当 BP 在 ABC 的内部时 如图 2 求 BPD 的度数 3 当 BP 在 ABC 的外部时 请你直接写出 BPD 的度数 并画出相应的图形 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 4 思考思考 3 如图 已知 四边形 ABCD 中 AD BC DC BC 已知 AB 5 BC 6 cosB 点 O 为 BC 边上的一个动点 连结 OD 以 O 为圆心 BO 为半径的 O 分别交边 AB 于点 3 5 P 交线段 OD 于点 M 交射线 BC 于点 N 连结 MN 1 当 BO AD 时 求 BP 的长 2 点 O 运动的过程中 是否存在 BP MN 的情况 若存在 请求出当 BO 为多长时 BP MN 若不存在 请说明理由 思考思考 4 在ABCDA中 过点 C 作 CE CD 交 AD 于点 E 将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF 如图 1 1 在图 1 中画图探究 当 P 为射线 CD 上任意一点 P1不与 C 重合 时 连结 EP1绕点 E 逆时针旋转90 得到 线段 EC1 判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系 并加以证明 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时 连结 EP2 将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转90 得 到线段 EC2 判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系 画出图形并直接写出你的结论 2 若 AD 6 tanB 4 3 AE 1 在 的条件下 设 CP1 x S 11 PFCA y 求y与x之间的 函数关系式 并写出自变量x的取值范围 A BC D O P M N A B C D 备用图 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 5 例例 1 思路分析思路分析 1 就本题而言 就本题而言 M N 是在动 意味着是在动 意味着 BM MC 以及以及 DN NC 都是变化都是变化 的 但是我们发现 和这些动态的条件密切相关的条件的 但是我们发现 和这些动态的条件密切相关的条件 DC BC 长度都是给定的 而且动长度都是给定的 而且动 态条件之间也是有关系的 所以当题中设定态条件之间也是有关系的 所以当题中设定 MN AB 时 就变成了一个静止问题 由此 时 就变成了一个静止问题 由此 从这些条件出发 列出方程 自然得出结果 从这些条件出发 列出方程 自然得出结果 思路分析思路分析 2 2 第二问失分也是最严重的 很多同学看到等腰三角形 理所当然以第二问失分也是最严重的 很多同学看到等腰三角形 理所当然以 为是为是 MN NCMN NC 即可 于是就漏掉了即可 于是就漏掉了 MN MC MC CNMN MC MC CN 这两种情况 在中考中如果在动态问题当中这两种情况 在中考中如果在动态问题当中 碰见等腰三角形 一定不要忘记分类讨论的思想 两腰一底一个都不能少 具体分类以后 碰见等腰三角形 一定不要忘记分类讨论的思想 两腰一底一个都不能少 具体分类以后 就成为了较为简单的解三角形问题 于是可以轻松求解就成为了较为简单的解三角形问题 于是可以轻松求解 例例 2 思路分析思路分析 1 本题并未给出那个本题并未给出那个 静止点静止点 所以需要我们去分析由 所以需要我们去分析由 D 运动产生运动产生 的变化图形当中 什么条件是不动的 由题我们发现 正方形中四条边的垂直关系是不动的变化图形当中 什么条件是不动的 由题我们发现 正方形中四条边的垂直关系是不动 的 于是利用角度的互余关系进行传递 就可以得解 的 于是利用角度的互余关系进行传递 就可以得解 思路分析思路分析 2 这一问是典型的从特殊到一般的问法 那么思路很简单 就是从一这一问是典型的从特殊到一般的问法 那么思路很简单 就是从一 般中构筑一个特殊的条件就行 于是我们和上题一样找般中构筑一个特殊的条件就行 于是我们和上题一样找 AC 的垂线 就可以变成第一问的的垂线 就可以变成第一问的 条件 然后一样求解 条件 然后一样求解 思路分析思路分析 3 这一问有点棘手 这一问有点棘手 D 在在 BC 之间运动和它在之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位延长线上运动时的位 置是不一样的 所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是置是不一样的 所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4 X 还是还是 4 X 分类讨论 分类讨论 之后利用相似三角形的比例关系即可求出之后利用相似三角形的比例关系即可求出 CP 3 过点 A 作 AQ BC 交 CB 的延长线于点 Q 点 D 在线段 BC 上运动时 BCA 45 可求出 AQ CQ 4 DQ 4 x 易证 AQD DCP 点 D 在线 CPCD DQAQ 44 CPx x 2 4 x CPx 段 BC 延长线上运动时 BCA 45 可求出 AQ CQ 4 DQ 4 x 过 A 作交 CB 延长线于点 G 则 CF BD ACAG ACFAGD G A B C D E F 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 6 AQD DCP CPCD DQAQ 44 CPx x 2 4 x CPx 3 思路分析 1 本题有一点综合题的意味 但是对二次函数要求不算太高 重点还是在考本题有一点综合题的意味 但是对二次函数要求不算太高 重点还是在考 察几何方面 第一问纯静态问题 自不必说 只要证两边的三角形全等就可以了 第二问察几何方面 第一问纯静态问题 自不必说 只要证两边的三角形全等就可以了 第二问 和例和例 1 一样是双动点问题 所以就需要研究在一样是双动点问题 所以就需要研究在 P Q 运动过程中什么东西是不变的 题目给运动过程中什么东西是不变的 题目给 定定 MPQ 60 这个度数的意义在哪里 其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件 这个度数的意义在哪里 其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件 联系了起来联系了起来 因为最终求两条线段的关系因为最终求两条线段的关系 所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系 怎怎 么证相似三角形呢么证相似三角形呢 当然是利用角度咯当然是利用角度咯 于是就有了思路于是就有了思路 解析解析 1 证明 MBC 是等边三角形 60MBMCMBCMCB M是AD中点 AMMD ADBC 60AMBMBC 60DMCMCB AMBDMC ABDC 梯形ABCD是等腰梯形 2 解 在等边MBC 中 4MBMCBC 60MBCMCB 60MPQ 120BMPBPMBPMQPC 这个角度传递非常重要这个角度传递非常重要 要仔细揣摩要仔细揣摩 BMPQPC BMPCQP PCCQ BMBP PCxMQy 44BPxQCy 4 44 xy x 2 1 4 4 yxx 设元以后得出比例关系设元以后得出比例关系 轻松化成二次函数的样子轻松化成二次函数的样子 思路分析思路分析 2 第三问的条件又回归了当动点静止时的问题 由第二问所得的二次函数 第三问的条件又回归了当动点静止时的问题 由第二问所得的二次函数 很轻易就可以求出当很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时取对称轴的值时 Y 有最小值 接下来就变成了有最小值 接下来就变成了 给定给定 PC 2 求 求 PQC 形状形状 的问题了 由已知的的问题了 由已知的 BC 4 自然看出 自然看出 P 是中点 于是问题轻松求解 是中点 于是问题轻松求解 3 解 PQC 为直角三角形 21 23 4 yx 当y取最小值时 2xPC P是BC的中点 MPBC 而60MPQ 30CPQ 90PQC 4 思路分析思路分析 1 这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题 从旋转这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题 从旋转 45 到旋转任到旋转任 意角度 要求考生讨论其中的不动关系 第一问自不必说 两个共斜边的直角三角形的斜意角度 要求考生讨论其中的不动关系 第一问自不必说 两个共斜边的直角三角形的斜 边中线自然相等 第二问将边中线自然相等 第二问将 BEF 旋转旋转 45 之后 很多考生就想不到思路了 事实上 本之后 很多考生就想不到思路了 事实上 本 题的核心条件就是题的核心条件就是 G 是中点 中点往往意味着一大票的全等关系 如何构建一对我们想要是中点 中点往往意味着一大票的全等关系 如何构建一对我们想要 的全等三角形就成为了分析的关键所在 连接的全等三角形就成为了分析的关键所在 连接 AG 之后 抛开其他条件 单看之后 抛开其他条件 单看 G 点所在的点所在的 四边形四边形 ADFE 我们会发现这是一个梯形 于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法 我们会发现这是一个梯形 于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法 自然想到过自然想到过 G 点做点做 AD EF 的垂线 于是两个全等的三角形出现了 的垂线 于是两个全等的三角形出现了 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 7 1 2 1 中结论没有发生变化 即 CGEG CGEG 证明 连接 过点作于 与的延长线交于点 AGGMNAD MEFN 在与中 DAG DCG ADCDADGCDG DGDG DAGDCG AGCG 在与中 DMG FNG DGMFGN FGDGMDGNFG DMGFNG MGNG 在矩形中 在与中 AENMAMEN Rt AMG Rt ENG AMEN MGNG AMGENG AGEG EGCG M N 图 2 A BC D E F G 思路分析思路分析 2 2 如果题目要求证明 应该如何思考 在如果题目要求证明 应该如何思考 在 BEF BEF 的旋转过程中 始终不变的旋转过程中 始终不变 的依然是的依然是 G G 点是点是 FDFD 的中点 可以延长一倍的中点 可以延长一倍 EGEG 到到 H H 从而构造一个和 从而构造一个和 EFGEFG 全等的三角形 全等的三角形 利用利用 BE EFBE EF 这一条件将全等过渡 要想办法证明三角形这一条件将全等过渡 要想办法证明三角形 ECHECH 是一个等腰直角三角形 就需是一个等腰直角三角形 就需 要证明三角形要证明三角形 EBCEBC 和三角形和三角形 CGHCGH 全等 利用角度变换关系就可以得证了 全等 利用角度变换关系就可以得证了 第三部分第三部分 思考题解析思考题解析 思考思考 1 解析解析 1 证明 ECDE 90DEC 又 90BECAED 90BA 90EDAAED EDABEC ADE BEC 2 证明 如图 过点作 交于点 EEFBC CDF 是的中点 容易证明 EAB 2 1 BCADEF 在中 DECRt CFDF CDEF 2 1 2 1 BCAD CD 2 1 CDBCAD 第 25 题 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 8 3 解 的周长 AED DEADAE ma maBE 设 则 即xAD xaDE 90A 222 ADAEDE 2222 2xmxaxa a ma x 2 22 由 1 知 ADE BEC 的周长 的周长 BEC ADE BE AD ma a ma 2 22 a ma 2 的周长的周长 的周长与值无关 BEC ma a2 ADE a2 BEC m 思考思考 2 2 答案答案 解 1 BPD 30 2 如图 8 连结 CD 解一 点 D 在 PBC 的平分线上 1 2 ABC 是等边三角形 BA BC AC ACB 60 BP BA BP BC BD BD PBD CBD BPD 3 DB DA BC AC CD CD BCD ACD BPD 30 1 3430 2 ACB 解二 ABC 是等边三角形 BA BC AC DB DA CD 垂直平分 AB 1 3430 2 ACB BP BA BP BC 点 D 在 PBC 的平分线上 PBD 与 CBD 关于 BD 所在直线对称 BPD 3 BPD 30 3 BPD 30 或 150 图形见图 9 图 10 思考思考 3 3 解析解析 解 1 过点 A 作 AE BC 在 Rt ABE 中 由 AB 5 cosB 得 BE 3 3 5 CD BC AD BC BC 6 AD EC BC BE 3 图 8 4 32 1D A B C P 图 9 或 D A BC P D A CB P 图 10 D A B C P 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 9 当 BO AD 3 时 在 O 中 过点 O 作 OH AB 则 BH HP BH BP cos BH B BO 39 3 55 18 5 2 不存在 BP MN 的情况 假设 BP MN 成立 BP 和 MN 为 O 的弦 则必有 BOP DOC 过 P 作 PQ BC 过点 O 作 OH AB CD BC 则有 PQO DOC 设 BO x 则 PO x 由 得 BH 3 cos 5 BH B x 3 5 x BP 2BH BQ BP cosB PQ OQ 6 5 x 18 25 x 24 25 x 187 2525 xxx PQO DOC 即 得 PQDC OQOC 24 4 25 7 6 25 x x x 29 6 x 当时 BP 5 AB 与点 P 应在边