圆中最值问题

WORD 格式 可编辑 技术资料 整理分享 B y C xAO D B O C A 与圆有关的最值 取值范围 问题 引例引例 1 1 2012 年武汉市中考 在坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 B 为 y 轴正半轴上的一点 点 C 是第 一象限内一点 且 AC 2 设 tan BOC m 则 m 的取值范围是 引例引例 2 2 2013 年武汉市元月调考试题 如图 在边长为 1 的等边 OAB 中 以边 AB 为直径作 D 以 O 为 圆心 OA 长为半径作 O C 为半圆弧上的一个动点 不与 A B 两点重合 射线 AC 交 O 于点 A AB E BC AC 求的最大值 abab 引例引例 3 3 2013 年武汉市四月调考试题 如图 BAC 60 半径长为 1 的圆 O 与 BAC 的两边相切 P 为圆 O 上一动点 以 P 为圆心 PA 长为半径的圆 P 交射线 AB AC 于 D E 两点 连接 DE 则线段 DE 长度 的最大值为 A 3 B 6 C D 3 3 2 3 3 一 题目分析 一 题目分析 此题是一个圆中的动点问题 也是圆中的最值问题 主要考察了圆内的基础知识 基本技能和基本思维 方法 注重了初 高中知识的衔接 1 引例引例 1 1 通过隐藏圆 高中轨迹的定义 寻找动点 C 与两个定点 O A 构成夹角的变化规律 转化为 特殊位置 相切 进行线段 角度有关计算 同时对三角函数值的变化 增减性 进行了延伸考查 其实质 是高中 直线斜率直线斜率 的直接运用 2 引例引例 2 2 通过圆的基本性质 寻找动点 C 与两个定点 A B 构成三角形的不变条件 结合不等式的性 质进行转化 其实质是高中 柯西不等式柯西不等式 的直接运用 3 引例引例 3 3 本例动点的个数由引例 1 引例 2 中的一个动点 增加为三个动点 从性质运用 构图形式 动点关联上增加了题目的难度 解答中还是注意动点 D E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件 DAE 60 构造弦 DE 直径所在的直角三角形 从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系 其实质是高中 正弦定正弦定 理理 的直接运用 综合比较 回顾这三个问题 知识本身的难度并不大 但其难点在于学生不知道转化的套路 只能凭直 观感觉去寻找 猜想关键位置来求解 但对其真正的几何原理却无法通透 二 解题策略二 解题策略 1 直观感觉 画出图形 2 特殊位置 比较结果 3 理性分析动点过程中所维系的不变条件 通过几何构建 寻找动量与定量 常量 之间的关系 建立 等式 进行转化 2013 年武汉市中考 如图 E F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点 满足 AE DF 连接 CF 交 BD 于点 G 连接 BE 交 AG 于点 H 若正方形的边长为 2 则线段 DH 长度的最小值是 WORD 格式 可编辑 技术资料 整理分享 B A C M D D O P C B A C B O P A 2014 年武汉市四月调考试题 如图 P 为的 O 内的一个定点 A 为 O 上的一个动点 射线 AP AO 分 别与 O 交于 B C 两点 若 O 的半径长为 3 OP 则弦 BC 的最大值为 3 A 2 B 3 C D 3 362 2014 年武汉市元月调考试题 如图 扇形 AOD 中 AOD 90 OA 6 点 P 为弧 AD 上任意一点 不与点 A 和 D 重合 PQ OD 于 Q 点 I 为 OPQ 的内心 过 O I 和 D 三点的圆的半径为 则r 当点 P 在弧 AD 上运动时 的值满足 r A B C D 30 r3 r233 r23 r 三 中考展望与题型训练三 中考展望与题型训练 方法一 找出与圆的最近点 最远点 极端位置 方法一 找出与圆的最近点 最远点 极端位置 1 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 3 点 D 是平面内的一个动点 且 AD 2 M 为 BD 的 中点 在 D 点运动过程中 线段 CM 长度的取值范围是 2 如图 O 的直径为 4 C 为 O 上一个定点 ABC 30 动点 P 从 A 点出发沿半圆弧向 B A AB 点运动 点 P 与点 C 在直径 AB 的异侧 当 P 点到达 B 点时运动停止 在运动过程中 过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点 在点 P 的运动过程中 线段 CD 长度的取值范围为 方法二 正弦定理方法二 正弦定理 如图 ABC 中 BAC 60 ABC 45 AB D 是线段 BC 上的一个动点 以 AD 为直径作2 2 O 分别交 AB AC 于 E F 两点 连接 EF 则线段 EF 长度的最小值为 I Q O A D P WORD 格式 可编辑 技术资料 整理分享 l Q P NM O A DBC E F C ADB Q P OD C E AB 方法三 柯西不等式方法三 柯西不等式 在平面直角坐标系中 以坐标原点 O 为圆心 2 为半径画 O P 是 O 上一动点 且 P 在第一象限内 过点 P 作 O 的切线与轴相交于点 A 与轴相交于点 B 线段 AB 长度的最小值是 xy 方法四 利用函数求最值方法四 利用函数求最值 如图 已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A 点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点 过点 P 作直线 l 的垂线 垂足为 C PC 与 O 交于点 D 连接 PA PB 设 PC 的长为 x 2 x 4 则当 x 时 PD CD 的值最大 且最大值是为 方法五 借助对称求最值方法五 借助对称求最值 如图 已知 O 的直径 CD 为 4 点 A 在 O 上 ACD 30 B 为弧 AD 的中点 P 为直径 CD 上一动点 求 BP AP 的最小值 题型训练题型训练 1 如图 已知直线 l 与 O 相离 OA l 于点 A OA 5 OA 与 O 相交于点 P AB 与 O 相切于点 B BP 的延长线交直线 l 于点 C 若在 O 上存在点 Q 使 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形 则 O 的半径 r 的取值范围为 2 如图 M N 的半径分别为 2cm 4cm 圆心距 MN 10cm P 为 M 上的任意一点 Q 为 N 上的任意一 点 直线 PQ 与连心线 所夹的锐角度数为 当 P Q 在两圆上任意运动时 的最大值为 l tan A B C D 6 12 4 3 3 3 3 4 1 题 2 题 3 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA CB 分别相交于点 P Q 则线段 PQ 长度的最小值是 A B C 5 D 19 4 24 5 4 2 4 如图 在等腰 Rt ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中点 点 E 在 AB 边上运动 点 E 不与点 A 重合 过 A D E 三点作 O O 交 AC 于另一点 F 在此运动变化的过程中 线段 EF 长度的最小值为 WORD 格式 可编辑 技术资料 整理分享 3 题 4 题 5 题 5 如图 线段 AB 4 C 为线段 AB 上的一个动点 以 AC BC 为边作等边 ACD 和等边 BCE O 外接于 CDE 则 O 半径的最小值为 A 4 B C D 2 2 3 3 3 2 2 6 如图 A B 两点的坐标分别为 2 0 0 2 C 的圆心的坐标为 1 0 半径为 1 若 D 是 C 上的 一个动点 线段 DA 与 y 轴交于点 E 则 ABE 面积的最小值是 A 2 B 1 C D 2 2 2 22 6 题 7 题 8 题 7 如图 已知 A B 两点的坐标分别为 2 0 0 1 C 的圆心坐标为 0 1 半径为 1 D 是 C 上 的一个动点 射线 AD 与 y 轴交于点 E 则 ABE 面积的最大值是 A 3 B C 10 3 D 4 11 3 8 如图 BAC 60 半径长 1 的 O 与 BAC 的两边相切 P 为 O 上一动点 以 P 为圆心 PA 长为半径的 P 交射线 AB AC 于 D E 两点 连接 DE 则线段 DE 长度的范围为 9 如图 已知线段 OA 交 O 于点 B 且 OB AB 点 P 是 O 上的一个动点 求 OAP 的最大值 10 如图 AB 是 O 的一条弦 点 C 是 O 上一动点 且 ACB 30 点 E F 分别是 AC BC 的中点 直线 EF 与 O 交于 G H 两点 若 O 的半径为 7 求 GE FH 的最大值 11 如图 在 Rt AOB 中 OA OB 3 O 的半径为 1 点 P 是 AB 边上的动点 过点 P 作 O 的一条 切线 PQ 点 Q 为切点 求 PQ 的最小值 WORD 格式 可编辑 技术资料 整理分享 12 在平面直角坐标系 xOy 中 以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 直线 y kx 3k 4 与 O 交于 B C 两点 求弦 BC 的长的最小值 13 设 AB 是 O 的动切线 与通过圆心 O 而互相垂直的 两直线相交于 A B O 的半径为 r 求 OA OB 的最小值 14 如图 圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB AD 相切 E 与圆 O 上一点 若圆 O 的半径为 4 且 AB 7 求 DE 的最大值 15 如图 在 O 上有定点 C 和动点 P 位于直径 AB 的异侧 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延 长线交于点 Q 已知 O 半径为 tan ABC 求 CQ 的最大值 16 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 6 0 点 B 0 6 动点 C 在以半径为 3 的 O 上 连接 y B P r O A x WORD 格式 可编辑 技术资料 整理分享 OC 过 O 点作 OD OC OD 与 O 相交于点 D 其中点 C O D 按逆时针方向排列 连接 AB AC BC 当点 C 在 O 上运动时 求出 ABC 的面积的最大值 17 如图所示 已知 为反比例函数图像上的两点 1 1 2 Ay 2 2 By 1 y x 动点在正半轴上运动 当线段与线段之差达到最大时 0 P xxAPBP 点的坐标是 P A B 1 0 2 1 0 C D 3 0 2 5 0 2 18 如图 定长弦 CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动 点 C D 与点 A B 不重合 M 是 CD 的中点 过点 C 作 CP AB 于点 P 若 CD 3 AB 8 求 PM 长度的最大值 1919 如图 已知直角如图 已知直角 AOB AOB 中 直角顶点中 直角顶点 O O 在半径为在半径为 1 1 的圆心上 斜边与圆相切 延长的圆心上 斜边与圆相切 延长 AOAO BOBO 分别与圆交于分别与圆交于 C C D D 试求四边形 试求四边形