新课标高一数学解题直观感知的培养例探.doc

新课标高一数学解题直观感知的培养例探林坤成(福建省东山一中)摘要 本文主要通过夯实基础、挖掘特征、数形结合、设疑顿悟、题型特例、变式类比等方面介绍了高一数学解题直观感知培养的尝试做法，强调了直观感知在高一新生新课程数学解题中的重要性，同时对高一数学教学教育做了适当的总结和分析，有利于进一步教学，培养学生更好的数学思维能力。关键词 直观感知、例探直观感知是新课标数学思维能力的基础性要求，是其它思维能力的发展平台，它不受逻辑规则的约束，是数学问题的一种迅速的识别和判断。高一年学生的思维的自由度大，不受框框束缚，由于知识水平的缺陷及逻辑思维力度不够，据调查发现大部分学生都不适应新课标的高中数学学习，做题束手无策，虽有时能“感觉”到数学问题的某种关系，但又说不出或说不清理由。究其原因，多数学生数学解题的直观感知很差，因此，要完成高中新课标数学学习过程，首先必须培养学生学习数学的直观感知，以便提高数学的其它思维能力。下面本人就如何培养数学解题直观感知提出几点看法：1、夯实基础，启迪直感进入高中，数学能力要求较高，知识内容多，课堂教学容量较大，大部分学生一时难以适应，如对函数的一些基本概念、基本性质等，很多学生没有掌握好，做起题目来，常常张冠李戴，一头雾水。例1：判定f(x)=ln( +x)的奇偶性.误解： x-x， + x0 f(x)的定义域为R , 又f(-x)=ln( -x)=ln( -x)f(x)f(x)为非奇非偶函数。1剖析：虽然注意到定义域的考察，但演变过程不到位，没有注意到+x-x= 这一知识点，导致解题错误。例2：已知A=x|x2-2x-30，B=x|a-1x2a,若AB=B时，求实数a的取值范围。分析：有很多学生对“AB=B”这一关键知识点理解为A B，导致主要错误。有的学生注意到“B A”这一关键，但又往往遗漏B 这一特殊情况的知识点。类似例1、例2、这样的题目在高一新教材中有很多，虽然难度不大，但很少学生做得完美，这体现了学生基础知识的不扎实，因此数学教师在教学过程中，要切实抓好学生的基础知识，落实于每节课的教学中，让每个同学都意识到基础知识的重要性，使学生能有效地掌握好基础知识，为培养数学直观感知奠定基础。2、挖掘特征，培养直觉每道习题都有一定的数学特征：如数字特征，结构特征，命题特征等等，在解题时，应引导学生加强注意、观察和利用题目特征，提高解题速度和准确性，从而培养学生的数学直观感知。例3、已知f(x)=ax5+bx3+cx+8，且有f(-2)=10,求f(2)的值.分析：函数有a、b、c三个特定系数，由已知f(-2)=10，只能列出一个方程，显然不能确定a、b、c。若注意到2是一对相反数，结合函数特点，则有以下解法：解：由f(x)=ax5+bx3+cx+8可行f(-x)=-ax5-bx5-cx+8则由+得f(x)+f(-x)=16f(-2)+f(2)=16 又f(-2)=10f(2)=6例4：已知a+lga=3 , b+10b=3,求a+b的值。解法1：由已知得a=103-a , 3-b=10b两式相减得， 3-a-b=10b-103-a (1)若3-a-b0,则3-ab,由指数函数的单调性，得103-a 10b代入得0 3-a-b=10b -1010-a 0矛盾(2)若3-a-b0则3-ab,同理得103-a 3-a-b=10b-103-a 0矛盾综上得3-a-b=0,即a+b=3解法2：此题的几何意义是：a是ylgx与y=3-x交点A的横坐标，b是y=10x与y=3-x交点B的横坐标，(如图1)由两互为反函数图象的对称性，知A与B关于直线y=x对称。解方程组 可得C(，) 图（1） 但C为A、B的中点，故 = ,a+b=3 解法3：已知条件a+lga=3,10b+b=3,表明单调函数f(x)=x+lgx,当 x1=a , x2=10b(其中lgx2=b)时，函数值相等f(a)=f(10b)据单调性，必有自变量相等a=10ba+b=10b+b=3评析：解法1的本质是利用函数的单调性，解法2的本质是利用互为反函数的性质，解法3的本质是法1和法2的两个性质集中起来的。通过挖掘题目的特征，使解题多样化，让学生享受到学数学的无穷乐趣，进而培养学生的直觉。3、数形结合，诱发直感2数形结合是解题的有效途径之一，它的最大优点是简明直观，因此，在解题时，若能以“形”助“数”，由“数”思“形”，数形转化往往能巧妙地打开解题的突破口，有利于学生的数学解题感知的培养。例5、设函数f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x) (a0,a1),若关于x方程ag(x-x +1)=af(k) -x有一实根，求k的取值范围。略解：依题意，可得aloga(x-x2 +2)=aloga(1-k)-xx2-2x-1=k (-1x2 , k1) 令y1=x2-2x-1,y2=k,则它们的图象(2)如下所示图 (2)由图象可知 当-1k1或k=-2时，方程有一个实根评析：判断方程根的个数，而不求出方程的根，通常是将方程转化为两个易作图象的函数，两函数图象交点个数就是原方程的根的个数，在新教材新学案练习中，这类题目很多，教学中应强化指导学生充分利用数形结合的方法。4、设疑顿悟，激发直感问题是数学的灵魂。在教学中，我们要把学习主动权交给学生，培养学生质疑的良好学习品质，引导学生学会质疑、释疑，激发学生的数学直观感知。例6、求方程2x=x2的解的个数很多学生用作图法常常只考虑了y=2x与y=x2有两个交点，果真如此吗？其实不然。其原因是学生没有注意到它们的增长速度的不同而漏掉x =4这个解。通过顿悟，引发学生思考，使学生产生了很强的激疑效果，记忆深刻。 a a a a 例7、在进行线面平行的判定定理的教学中，首先请同学们画出表示线面平行的图甲、图乙。 b (丁)(丙)(乙)(甲)接着老师画出图丙，问学生直线a与平面平行吗？结果，学生回答多种多样，于是教师在内添上直线b，追问直线a与平面平行吗？这时大多数学生就马上领悟到图丁中直线a与平面是平行的，因此，若平面外的一条直线a与平面内的一条直线b平行，则有a ,这时线面平行的判定定理就活生生地提了出来。这样就使学生为了“问题”而去找解题办法，主动去思考问题，感悟数学问题的抽象性，把抽象问题具体化、形象化，诱发了学生的直观感知，提高了学习情趣，从而努力完成学习目标。5、掌握特例，优化直感。 “题型”就象是街上的一盏盏路灯，在黑暗中照亮着人们。学(甲)(乙)(丙)(丁) a a a a b 生通过对题型及特例的掌握，加深了对题型相关知识的理解，同时强化了相应的数学解题方法，形成直感。例8、(1)求函数y=log0.5(x+ +1) (x1)的值域。 (2)求函数y= 的值域. (3)已知x ,求f(x)= 的最小值.分析：(1)中x+ +1=(x-1) + +2 (2)y= = (x+1)+(3)f(x) = = (x-2)+ 类似这类问题很多，都可视为函数y=x+ (a0, x0)的应用，这里不详解。通过证明函数y=x+ (x0, a0)性质，可得明确的结论：函数在(0，a内是单调递减，函数在a,+)是单调递增，对该结论的掌握，可大大促进其在解题应用的广泛性。例9、判断下列两个函数f(x)= (a0,a为参数)f(x)=ax3(a为参数)的奇偶性。评析：很多学生都没有对参变量a进行讨论，导致大部分同学的答案不完整。其实中当a1时，函数为非奇非偶函数，当a1时，函数为奇函数，中当a0时，f(x)=ax3既是奇函数又是偶函数，当a0时，f(x)是奇函数。以上问题是典型题和易错题，象这类问题应让学生加强注意，认真掌握，同时引导学生要有科学的学习态度，自觉感悟数学问题。6、变式类比，促发直感变式教学，层层类比，步步为营，逐渐深入，使学生在探索和领悟知识的同时，享受到数学解题中的乐趣，促发解题直感。例10、新学案中P67第8题：方程 3的解是 思路1：很多学生将原方程化为3x二次方程，去掉增根，得x-，思路2：从原方程中的分子提取3-x,有 =3，马上得解x-1评析：思路1有“小题大做”之嫌。思路2做了技巧性的变式处理，使问题简捷、迅速。例11、在例2中：Ax| x2-2x-30,B=x |a-1x2a若AB=B,求a的取值范围(问题)评析：“AB=B B A”这一“对译”是解题(问题1)的关键。若把该条件改为“AB=又如何？(问题2)当学生完成问题2后，老师又可引导“AB呢？(问题3)这时问题3自然就迎刃而解了。以上两例表明，变式类比，让学生欣赏到数学的奇异性、相似性、和谐性等数学美感，促发学生对数学问题的直观感知。总之，针对学生知识结构水平和心理特征，在高一新生数学教育中，在高一新课标指导下，我们要改变教学理念，对学生加强思维训练和研究性学习的探究，使学生的解题直观感知能力不断增强，形成数学悟性，从而提高数学解题思维能力。参考文献1、郭慧清主编，新教材新学案数学必修(A版)，人教出版社。2、数学