第9-10讲：二次函数

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 1 y x O 第第 9 10 讲讲 二次函数二次函数 一一 一 二次函数的图象和性质一 二次函数的图象和性质 1 二次函数 2 ya xhk 的图像的性质 a 0a 0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x 时 y 有最 值 当 x 时 y 有最 值 在对称轴左 侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增 减 性 在对称轴右 侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 典型例题 典型例题 1 下列函数中属于二次函数的是 A 1 2 yx B 2 1 1yx x C 2 21yx D 2 3yx 2 对于函数xxy3 2 当 x 1 时 y 当 y 2 时 x 3 函数 2 2 3 xy的开口 对称轴是 顶点坐标为 4 函数2 3 2 xy 当 x 时 函数有最 值为 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 5 抛物线42 2 xxy的对称轴是 顶点坐标是 6 抛物线 0 2 acbxaxy经过点 2 5 4 5 则对称轴是 7 把 2 44yxx 转化成 2 ya xhk 形式为 8 若抛物线 2 1 3yxmxm 的顶点在y轴上 则 m 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 2 9 已知关于 x 的函数同时满足下列三个条件 函数的图象不经过第二象限 当2 x时 对应的函数值0 y 当2 x时 函数值 y 随 x 的增大而增大 你认为符合要求的二次函数的解析式可以是 写出 一个即可 10 课本上用 描点法 画二次函数 2 yaxbxc 的图象时 列了如下表 格 x 2 1 012 y 1 6 2 4 1 2 2 2 1 2 2 根据表格上的信息 该二次函数 2 yaxbxc 在3x 时 y 11 抛物线 2 21yxx 的顶点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 12 把二次函数 2 3yx 的图象内在平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位所得到 的图象对应的二次函数关系为 A 2 3 2 1yx B 2 3 2 1yx C 2 3 2 1yx D 2 3 2 1yx 13 已知物体下落高度 h 关于下落时间 t 的函数关系式 2 2 1 gth 则此函数的 图象为 14 如图 正方形ABCD的边长为 10 四个全等的小正方形的对称中心分别 在正方形ABCD的顶点上 且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂 直 若小正方形的边长为x 且010 x 阴影部分的面积为y 则能 反映y与x之间函数关系的大致图象是 D DC CB BA A 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 3 15 若 A 4 y1 B 3 y2 C 1 y3 为二次函数 y x2 4x 5 的图象 上的三点 则 y1 y2 y3的大小关系是 A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y1 y3 y2 16 已知二次函数 2 4yxx 1 1 用配方法把该函数化为 2 ya xhk 其中 a h k 都是常数且 a 0 形式 并画出这个函 数的图像 根据图象指出函数的对称轴和顶点坐 标 2 利用函数的图像直接写出 y 随 x 的变化情况 二 二次函数二 二次函数cbxaxy 2 的图象与系数的关系的图象与系数的关系 1 抛物线的开口方向由 的符号决定 当 抛物线开口向 上 当 物线开口向下 2 抛物线的对称轴由 的符号决定 特别的当 0 时 抛物 线的对称轴为 y 轴 3 抛物线与 y 轴的交点位置由 的符号决定 当 时 抛 物线交 y 轴于正半轴 当 时 抛物线交 y 轴于负半轴 当 时 抛物线过原点 4 抛物线与 x 轴的交点个数由 的符号决定 当 时 抛物线与 x 轴有两个交点 当 时 抛物线与 x 轴有一 个交点 当 时 抛物线与 x 轴无交点 典型例题 典型例题 1 二次函数 2 yaxbxc 0a 的图象如图所示 则有 1 0a 2 0ab 3 0abc 4 0abc 以上结论正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 已知二次函数 0 2 acbxaxy的图象如图所示 有下列 5 个 结论 0 abc cab 024 cba bc32 x A D B y x 10 O 100 A y x 10 O 100 B y x 10 O 100 C 5 y x 10 O 100 D y x O x 1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 4 bammba 1 m的实数 其中正确的结论有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3 函数 2 yaxbyaxbxc 和在同一直角坐标系内的图象大致是 4 已知 2 yaxbx 的图象如图所示 则 yaxb 的图象一定过 A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第二 三 四象限D 第一 三 四象限 三 二次函数解析式求法三 二次函数解析式求法 1 二次函数的解析式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 2 顶点式的几种特殊形式 4 3 二次函数表达式的求法 若已知抛物线上三点坐标 可设二次函数的解析式为一般式 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程 则可设二次函数的解析式为顶 点式 典型例题 典型例题 1 如图 已知二次函数 2 4yaxxc 的图像经过点 A 和点 B 1 求该二次函数的表达式 2 求该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点P m m 与点Q 均在该函数图像上 其中 m 0 且这两点关于抛物线的对称轴对称 求m 的值及点Q 到 x 轴的距离 y x O x y O3 9 1 1 A A B B 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 5 x O 3 1 2 已知二次函数的图象经过点 0 3 且顶点坐标为 1 4 求这个解析 式 四 二次函数与一元二次方程和不等式的关系四 二次函数与一元二次方程和不等式的关系 1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 2 0axbxc 就是二次函 数 2 0 yaxbxc a 当函数 y 的值为 0 时的情况 2 二次函数与一元二次不等式的关系 一元二次不等式 2 0axbxc 就是二 次函数 2 0 yaxbxc a 当函数 y 的值大于 0 时的情况 典型例题 典型例题 1 抛物线6 2 xxy与 x 轴的交点坐标是 与 y 轴的交点坐标是 2 抛物线123 2 xxy与 x 轴的交点个数是 A 1 个 B 2 个 C 没有 D 无法确定 3 已知二次函数 2 2yxmxm 1 的图象经过原点 与x 轴的另一个交点 A 抛物线的顶点为 B 则 OAB 的面积 为 A 3 2 B 2 C 1 D 1 2 4 已知二次函数 2 0 yaxbxc a 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 由图 象可知关于x的一元二次方程 2 0axbxc 的两个根分别是 1 1 3x 和 2 x 5 已知二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象如图所示 当0y 时 x的取值范围是 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 6 A 13x B 3x C 1x D 3x 或1x 五 用二次函数解决实际问题五 用二次函数解决实际问题 1 二次函数的应用 1 二次函数常用来解决最优化问题 这类问题实际上就是求函数的最 大 小 值 2 二次函数的应用包括以下方面 分析和表示不同背景下实际问题中 变量之间的二次函数关系 运用二次函数的知识解决实际问题中的 最大 小 值 2 解决实际问题时的基本思路 1 理解问题 2 分析问题中的变量 和常量 3 用函数表达式表示出它们之间的关系 4 利用二次函 数的有关性质进行求解 5 检验结果的合理性 典型例题 典型例题 1 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房 如图所示 则需要塑料布y m2 与半径R m 的 函数关系式是 不考虑塑料埋在土里的部分 2 飞机着陆后滑行的距离 S 单位 m 与滑行的时间 t 单位 S 的函 数关系式是 2 601 5Stt 则飞机着陆后滑行 米才能停下来 3 张大爷要围成一个矩形花圃 花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成 围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD 设 AB 边的长 为 x 米 矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 1 求 S 与 x 之间的函数关系式 不要求写出自变量 x 的取值范围 2 当 x 为何值时 S 有最大值 并求出最大值 4 王强在一次高尔夫球的练习中 在某处击球 其飞行路线满足抛物线 2 18 55 yxx 其中y m 是球的飞行高度 x m 是球飞出的水平距 离 结果球离球洞的水平距离还有 2m 1 请写出抛物线的开口方向 顶点坐标 对称轴 2 请求出球飞行的最大水平距离 3 若王强再一次从此处击球 要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞 则球飞行路线应满足怎样的抛物线 求出其解析式 2R 米 30 米 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 7 5 如图所示 E是正方形ABCD的边AB上的动点 EF DE交BC于点F 1 求证 ADE BEF 2 设正方形的边长为 4 AE x BF y 当x取什么值时 y有最大值 并 求出这个最大值 六 二次函数综合应用六 二次函数综合应用 典型例题 典型例题 1 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道 其高度为 6 米 宽度 OM 为 12 米 现在 O 点为原点 OM 所在直线为x轴建立直角坐标系 如 图所示 1 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标 2 求出这条抛物线的函数解析式 3 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形 脚手架 ABCD 使 A D 点在 抛物线上 B C 点在地面 OM 上 为了筹备材料 需求出 脚手架 三根木杆 AB AD DC 的长度之和的最大值是多少 请你帮施工队 计算一下 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 陈老师陪伴你成 长 没有比脚更长的路 没有比人更高的山 望子成龙助你走向人生的辉煌 8 2 如图所示 已知抛物线 y ax2 4ax t a 0 交 x 轴 A B 两点 交 y 轴于 点 C 抛物线的对称轴交 x 轴于点 E 点 B 的坐标为 1 0 1 求抛物线的对称轴及点 A 的坐标 2 过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称 轴于点 P 你能判断四边形 ABCP 是什 么四边形 并证明你的结论 3 连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D 当 APD ACP 时 求抛物线的解析式 3 如图 在平面直角坐标系中 四边形 OABC 是矩形 点 B 的坐标为 4 3 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发 沿 x 轴正方向以每 秒 1 个单位长度的速度运动 设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M N 直线 m 运动的时间为 t 秒 1 点 A 的坐标是 点 C 的坐标是 2 当 t 秒或 秒时 MN 2 1 AC 3 设 OMN 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 4 探求 3 中得到的函数 S 有没有最大值 若有 求出最大值 若没有 要说明理由 4 已知 m n 是方程 x2 6x 5 0 的两个实数根 且