2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程能力检测 新人教A版选修2-1

1 第二章第二章 圆锥曲线与方程能力检测圆锥曲线与方程能力检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 1 抛物线y2 8x的准线方程是 a x 2b x 2 c y 2d y 2 答案 b 解析 抛物线y2 8x的准线方程是x 2 故选 b 4 2 2 2018 年新课标 双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则其渐近线方程为 x2 a2 y2 b23 a y x b y x 23 c y x d y x 2 2 3 2 答案 a 解析 e 3 即 2 渐近线方程为 c a3 c2 a2 a2 b2 a2 b2 a2 b a2 y x 2 3 若抛物线y2 2px的焦点与双曲线 1 的右焦点重合 则p的值为 x2 2 y2 2 a 2b 2 c 4d 4 答案 d 解析 双曲线 1 的右焦点为 2 0 即抛物线y2 2px的焦点为 2 0 x2 2 y2 2 2 p 4 故选 d p 2 4 2019 年山东济南模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为o f是圆内一定点 m是圆 周上一动点 把纸片折叠使点m与点f重合 然后抹平纸片 折痕为cd 设cd与om交于点 p 则点p的轨迹是 a 圆 b 椭圆 c 双曲线 d 抛物线 答案 b 2 解析 由条件知 pm pf po pf po pm om of 点p的轨迹 是以点o f为焦点的椭圆 5 2019 年江西赣州期末 若点a的坐标为 3 2 f是抛物线y2 2x的焦点 点m在抛 物线上移动时 使 mf ma 取得最小值的点m的坐标为 a 0 0 b 1 2 1 c 1 d 2 2 2 答案 d 解析 过点m作准线的垂线 垂足是n 则 mf ma mn ma 当a m n三 点共线时 mf ma 取得最小值 此时m 2 2 6 椭圆b2x2 a2y2 a2b2 a b 0 和圆x2 y2 2有四个交点 其中c为椭圆的半焦 b 2 c 距 则椭圆的离心率范围是 a e b 0 e 5 5 3 5 2 5 c e d e 2 5 3 5 3 5 4 5 答案 a 解析 借助数形结合可知圆与椭圆有四个交点 满足b c a 结合b 可 b 2a2 c2 求得离心率的范围是 e0 b 0 的离心率e 2 令双曲线两条渐近线构成的 x2 a2 y2 b22 角中 以实轴为角平分线的角为 则此角的取值范围是 a b 6 2 3 2 c d 2 2 3 2 3 5 6 答案 c 解析 b ae2 1 1 3 2 4 3 2 2 3 8 双曲线 1 与椭圆 1 a 0 m b 0 的离心率互为倒数 那么以 x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 b2 a b m为边长的三角形一定是 a 锐角三角形b 钝角三角形 c 直角三角形d 等腰三角形 3 答案 c 解析 设双曲线的离心率为e1 椭圆的离心率为e2 则e e 由 2 1 a2 b2 a22 2 m2 b2 m2 已知得e e 1 即 1 化简 得a2 b2 m2 2 1 2 2 a2 b2 a2 m2 b2 m2 9 2019 年云南昆明模拟 已知f1 f2是双曲线m 1 的焦点 y x是双曲 y2 4 x2 m2 2 5 5 线m的一条渐近线 离心率等于 的椭圆e与双曲线m的焦点相同 p是椭圆e与双曲线m的 3 4 一个公共点 则 pf1 pf2 等于 a 10 b 12 c 14 d 16 答案 b 解析 由题意易得双曲线的方程为 1 椭圆的方程为 1 不妨设 y2 4 x2 5 x2 7 y2 16 pf1 pf2 可得error error pf1 pf2 12 10 2019 年江西南昌模拟 已知抛物线c y2 4x 过焦点f且斜率为的直线与c相 3 交于p q两点 且p q两点在准线上的投影分别为m n两点 则 mfn的面积等于 a b 8 3 16 3 c d 8 3 3 16 3 3 答案 c 解析 设p x1 y1 q x2 y2 则s mfn p y1 y2 2 y1 y2 y1 y2 直线方程是y x 1 与抛物线方程联 1 2 1 23 立 化简得y2 4y 4 0 y1 y2 y1y2 4 所以 y1 y2 33 4 3 故选 c y1 y2 2 4y1y2 16 3 16 8 3 3 11 如图 已知f1 f2是椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 点p在椭圆c上 x2 a2 y2 b2 线段pf2与圆x2 y2 b2相切于点q 且点q为线段pf2的中点 则椭圆c的离心率为 4 a b 2 2 3 2 c d 3 3 5 3 答案 d 解析 如图 连接oq pf1 点q为线段pf2的中点 oq pf1 oq pf1 pf1 2 oq 2b 由椭圆定义得 pf1 pf2 2a 则 1 2 pf2 2a 2b 线段pf2与圆x2 y2 b2相切于点q oq pf2 pf1 pf2 又 f1f2 2c 2b 2 2a 2b 2 2c 2 化简 得 3b 2a 5a2 9c2 则e 故选 c a 5 3 d 12 2019 年河北武邑中学月考 如图 已知椭圆c1 y2 1 曲线c2 y x2 1 与 x2 4 y轴的交点为m 过坐标原点o的直线l与c2相交于a b两点 直线ma mb分别与c1相交 于d e两点 则 的值是 me md a 正数 b 0 c 负数 d 都有可能 答案 b 解析 设a x1 y1 b x2 y2 m 0 1 x1 y1 1 x2 y2 1 设 ma mb 直线l的方程为y kx 联立error 整理为x2 kx 1 0 x1 x2 k x1x2 1 me md x1x2 y1 1 y2 1 x1x2 y1y2 y1 y2 1 x1x2 k2x1x2 k x1 x2 ma mb 1 1 k2 k2 1 0 故选 b 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 2019 年广西贵港期末 若以f1 0 f2 0 为焦点的双曲线过点 2 1 33 则该双曲线的标准方程为 5 答案 y2 1 x2 2 解析 设双曲线方程是 1 a 0 b 0 则有error 解得a2 2 b2 1 该双曲 x2 a2 y2 b2 线的标准方程是 y2 1 x2 2 14 动点p到点f 2 0 的距离与它到直线x 2 0 的距离相等 则点p的轨迹方程为 答案 y2 8x 解析 由抛物线定义知点p的轨迹是以点f 2 0 为焦点的抛物线 p 4 其方程为 y2 8x 15 2019 年浙江杭州模拟 我们把由半椭圆 1 x 0 与半椭圆 1 xb c 0 如图所示 其中点f0 f1 f2是相应 椭圆的焦点 若 f0f1f2是边长为 1 的等边三角形 则a b的值为 答案 1 7 2 解析 of2 of0 c of2 b 1 a2 b2 c2 1 得 b2 c2 1 23 3 2 3 4 7 4 a a b 1 7 2 7 2 16 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过点f且倾斜角为 30 的直线交c于a b两点 o为坐标原点 则 oab的面积为 答案 9 4 解析 易知抛物线中p 焦点f 又直线ab的斜率k 故直线ab的方程 3 2 3 4 0 3 3 为y 代入抛物线方程y2 3x 整理得x2 x 0 设a x1 y1 b x2 y2 3 3 x 3 4 21 2 9 16 则x1 x2 由抛物线的定义可得弦长 ab x1 x2 p 12 结合图象可得点o到 21 2 21 2 3 2 直线ab的距离d sin 30 故 oab的面积s ab d p 2 3 8 1 2 9 4 6 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 17 10 分 已知点a 1 0 b 2 4 abc的面积为 10 求动点c的轨迹方程 解 ab 5 ab边上高h 4 32 42 20 5 故点c的轨迹是与直线ab之间距离等于 4 的两条平行线 kab ab的方程为 4x 3y 4 0 可设轨迹方程为 4x 3y c 0 4 3 由 4 得c 24 或c 16 c 4 5 故动点c的轨迹方程为 4x 3y 16 0 或 4x 3y 24 0 18 12 分 已知顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线被直线y 2x 1 截得的弦长为 15 求抛物线方程 解 设直线与抛物线的两交点为a x1 y1 b x2y2 联立方程 得error 消去y 得 4x2 4 a x 1 0 x1x2 x1 x2 1 4 4 a 4 则 ab x1 x2 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 5 1 a 4 2 115 解得a 12 或a 4 抛物线方程为y2 12x或y2 4x 19 12 分 双曲线c过点 2 且与双曲线 y2 1 有相同的渐近线 5 x2 4 1 求双曲线c的标准方程 2 求直线y x 1 被双曲线c截得的弦长 解 1 由公共渐近线可设c的方程为 y2 0 x2 4 双曲线c过点 2 5 2 4 22 45 双曲线c的方程为 y2 4 即 1 x2 4 y2 4 x2 16 2 由error 消去y 可得 3x2 8x 12 0 则 0 设直线与双曲线的交点为a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 4 8 3 7 所求弦长为 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 4 3 26 20 12 分 若抛物线y x2 2x m和直线y 2x相交于不同的两点a b 1 求实数m的取值范围 2 求 ab 3 求线段ab的中点坐标 解 联立方程 得error 消去y得x2 4x m 0 1 直线与抛物线有两个相异交点 0 即 42 4 m 0 m 4 2 当m 4 时 方程x2 4x m 0 有两个相异实根 设为x1 x2 由根与系数的关系 得 x1 x2 4 x1 x2 m ab x1 x2 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 5m 20 3 设线段ab的中点坐标为 x y 则 x 2 x1 x2 2 4 2 y 4 y1 y2 2 2x1 2x2 2 线段ab的中点坐标为 2 4 21 12 分 2019 年山东烟台模拟 已知椭圆c的中心在原点 焦点在x轴上 焦距为 2 离心率为 1 2 1 求椭圆c的方程 2 设直线l经过点m 0 1 且与椭圆c交于a b两点 若 2 求直线l的方 am mb 程 解 1 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 c 1 a 2 b c a 1 23 椭圆c的方程为 1 x2 4 y2 3 2 由题意得直线l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 1 联立error 化简 得 3 4k2 x2 8kx 8 0 且 0 设a x1 y1 b x2 y2 8 由 2 得x1 2x2 am mb 又error error 消去x2 得 2 解得k 8k 3 4k2 4 3 4k2 1 2 直线l的方程为y x 1 1 2 22 12 分 2018 年云南十一校调研 已知椭圆e 1 a b 0 的离心率为 点 x2 a2 y2 b2 1 2 a b分别为椭圆e的左 右顶点 点c在椭圆e上 且 abc面积的最大值为 2 3 1 求椭圆e的方程 2 设点f为椭圆e的左焦点 点d在直线x 4 上 过点f作df的垂线交椭圆e于 m n两点 求证 直线od平分线段mn 1 解 由题意得error 解得error 故椭圆e的方程为 1 x2 4 y2 3 2 证明 设m x1 y1 n x2 y2 d 4 n 线段mn的中点p x0 y0 则 2x