全等三角形知识点总结

天行健 君子以自强不息 1 全等三角形全等三角形 知识梳理知识梳理 一 知识网络一 知识网络 对应角相等 性质 对应边相等 边边边 SSS 全等形全等三角形应用 边角边 SAS 判定 角边角 ASA 角角边 AAS 斜边 直角边 H L 作图 角平分线 性质与判定定理 二 基础知识梳理二 基础知识梳理 一 一 基本概念 基本概念 1 全等 的理解 全等的图形必须满足 1 形状相同的图形 2 大小相等的图形 即能够完全重合的两个图形叫全等形 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形 2 全等三角形的性质 1 全等三角形对应边相等 2 全等三角形对应角相等 3 全等三角形的判定方法 1 三边对应相等的两个三角形全等 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 5 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4 角平分线的性质及判定 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 天行健 君子以自强不息 2 判定 到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 二 灵活运用定理 二 灵活运用定理 1 判定两个三角形全等的定理中 必须具备三个条件 且至少要有一组边对应相等 因此在寻找全等的条件时 总是先寻找边相等的可能性 2 要善于发现和利用隐含的等量元素 如公共角 公共边 对顶角等 3 要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等 1 已知条件中有两角对应相等 已知条件中有两角对应相等 可找 夹边相等 ASA 任一组等角的对边相等 AAS 2 已知条件中有两边对应相等 已知条件中有两边对应相等 可找 夹角相等 SAS 第三组边也相等 SSS 3 已知条件中有一边一角对应相等 已知条件中有一边一角对应相等 可找 任一组角相等 AAS 或 ASA 夹等角的另一组边相等 SAS 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤 1 确定已知条件 包括隐含条件 如公共边 公共角 对顶角 角平分线 中线 高 等腰三角形 等所隐含的边角关系 2 回顾三角形判定公理 搞清还需要什么 3 正确地书写证明格式 顺序和对应关 系从已知推导出要证 明的问题 常见考法常见考法 1 利用全等三角形的性质 证明线段 或角 相等 证明两条线段的和差等 于另一条线段 证明面积相等 2 利用判定公理来证明两个三角形全等 3 题目开放性问题 补全条件 使两个三角形全等 误区提醒误区提醒 1 忽略题目中的隐含条件 2 不能正确使用判定公理 天行健 君子以自强不息 3 轴对称知识梳理轴对称知识梳理 一 基本概念 1 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做轴对 称图形 这条直线就叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫做对称点 2 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 3 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 4 等腰三角形 有两条边相等的三角形 叫做等腰三角形 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边 两腰所夹的角叫做顶角 底边与腰的夹角叫做底角 5 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 二 主要性质 1 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线 或者说轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2 线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3 1 点 P x y 关于 x 轴对称的点的坐标为 P x y 2 点 P x y 关于 y 轴对称的点的坐标为 P x y 4 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 3 等腰三角形是轴对称图形 底边上的中线 顶角平分线 底边上的高 所在直 线就是它的对称轴 4 等腰三角形两腰上的高 中线分别相等 两底角的平分线也相等 5 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半 6 等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边 5 等边三角形的性质 1 等边三角形的三个内角都相等 并且每一个角都等于 60 2 等边三角形是轴对称图形 共有三条对称轴 3 等边三角形每边上的中线 高和该边所对内角的平分线互相重合 三 有关判定 1 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 2 一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 天行健 君子以自强不息 4 3 三个角都相等的三角形是等边三角形 4 一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 一 选择题选择题 1 如图 给出下列四组条件 ABDEBCEFACDF ABDEBEBCEF BEBCEFCF ABDEACDFBE 其中 能使的条件共有 ABCDEF A 1 组B 2 组C 3 组D 4 组 2 如图 分别为的 边的中点 将此三角形沿折叠 使点DE ABC ACBCDE 落在边上的点处 若 则等于 CABP48CDE APD 3 3 如图 四 点P是AB上任意一点 ABCABD 还应补充一个条件 才能推出 APCAPD 从下列条件中补充一个条件 不一定能推出APCAPD 的是 A BCBD B ACAD C ACBADB D CABDAB A B C D 42 48 52 58 4 如图 在 ABC 与 DEF 中 已有条件 AB DE 还需添加两个条件才能使 ABC DEF 不能添加的一组条件是 A B E BC EF B BC EF AC DF C A D B E D A D BC EF 5 如图 ABC 中 C 90 AC BC AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于 E 若 AC 10cm 则 DBE 的周长等于 A 10cm B 8cm C 6cm D 9cm 6 如图所示 表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的 距离相等 则可供选择的地址有 1 处 2 处 3 处 4 处 C A D P B 图 四 E D C BA 天行健 君子以自强不息 5 7 某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那 么最省事的方法是 A 带 去 B 带 去 C 带 去 D 带 去 8 如图 在Rt ABC 中 90 B ED是AC的垂直平分线 交AC于点D 交 BC 于点E 已知 10 BAE 则 C 的度数为 A 30 B 40 C 50 D 60 9 如图 30 则的度数为 ACBA C B BCB ACA A 20 B 30 C 35 D 40 10 如图 AC AD BC BD 则有 A AB 垂直平分 CD B CD 垂直平分 AB C AB 与 CD 互相垂直平分D CD 平分 ACB 11 尺规作图作AOB 的平分线方法如下 以O为圆心 任意长为半径画弧交OA OB于C D 再分别以点C D为圆心 以大于 1 2 CD长为半径画弧 两弧交于点P 作射线OP 由作法得OCPODP 的根据是 A SAS B ASA C AAS D SSS 12 如图 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 5cm BD 3cm 则点 D 到 AB 的距离为 A 5cm B 3cm C 2cm D 不能确定 13 如图 OP 平分 垂足分别为 A B 下列结论中不AOB PAOA PBOB 一定成立的是 A B 平分PAPB POAPB C D 垂直平分OAOB ABOP 14 如图 已知那么添加下列一个条件后 ABAD 仍无法判定的是 ABCADC A B CBCD BACDAC A D C E B A B C D A B C D C A B B A 天行健 君子以自强不息 6 C D BCADCA 90BD 15 观察下列图形 则第个图形中三角形的个数是 n 第 1 个第 2 个第 3 个 A B C D 22n 44n 44n 4n 二 填空题填空题 1 如图 已知ADAB DACBAE 要使 ABC ADE 可补充的条件 是 写出一个即可 2 如图 在 ABC 中 C 90 AC BC AD 平分 BAC 交 BC 于 D DE AB 于 E 且 AB 5cm 则 DEB 的周长为 3 如图 BACABD 请你添加一个条件 使OCOD 只添一个 即可 4 如图 在 ABC 中 C 90 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D 若 BD 10 厘米 BC 8 厘 米 DC 6 厘米 则点 D 到直线 AB 的距离是 厘米 5 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律 则第 5 个大三角形中白色三角形 有 个 6 6 已知 如图 OAD OBC 且 O 70 C 25 则 AEB 度 7 如图 C 为线段 AE 上一动点 不与点 A E 重合 在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和 正三角形 CDE AD 与 BE 交于点 O AD 与 BC 交于点 P BE 与 CD 交于点 Q 连结 PQ 以下五个结论 AD BE PQ AE AP BQ DE DP AOB 60 恒成立的结论有 把你认为正确的序号都填上 第1个第2个第3个 A C E B D D O C BA B A BC D O B A P O D P C A B A B C D E 天行健 君子以自强不息 7 8 如图所示 AB AD 1 2 添加一个适当的条件 使 ABC ADE 则需要添加 的条件是 三 解答题解答题 1 如图 已知 AB AC AD AE 求证 BD CE 2 如图 在中 分别以为边作两个等腰直ABC 40ABACBAC ABAC 角三角形和 使 ABDACE90BADCAE 1 求的度数 2 求证 DBC BDCE 3 如图 在 ABE 中 AB AE AD AC BAD EAC BC DE 交于点 O 求证 1 ABC AED 2 OB OE 4 如图 D 是等边 ABC 的边 AB 上的一动点 以 CD 为一边向上作等边 EDC 连接 AE 找出图中的一组全等三角形 并说明理由 5 如图 在 ABC 和 DCB 中 AB DC AC DB AC 与DB 交于点M 1 求证 ABC DCB 2 过点 C 作 CN BD 过点 B 作 BN AC CN 与 BN O C E B D A B C A D M N O A B C D E QP O B E D CA E D CB A A B D E C 天行健 君子以自强不息 8 交于点 N 试判断线段 BN 与 CN 的数量关系 并证明你的结论 6 6 如图 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点 12 34 求证 1 ABCADC 2 BODO 7 如图 在和中 现给出如下三个论断 ABC ABD ADBC CD 请选择其中两个论断为条件 另一个论断为结论 构造一个命题 12 1 写出所有的真命题 写成 形式 用序号表示 2 请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是 证明 8 已知 如图 B E F C 四点在同一条直线上 AB DC BE CF B C 求证 OA OD 9 如图 ABC 中 BAC 90 度 AB AC BD 是 ABC 的平分线 BD 的 延长线垂直于过 C 点的直线于 E 直线 CE 交 BA 的延长线于 F 2 1 D C B A O 1 2 3 4 F E D CB A 天行健 君子以自强不息 9 求证 BD 2CE 10 10 如图 请你 ABAC ADBCDADAEABDAEDEF 于点 平分交于点 写出图中三对全等三角形 并选取其中一对加以证明 11 7 分 已知 如图 DC AB 且 DC AE E 为 AB 的中点 1 求证