文科数学2010-2019高考真题分类训练专题八立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系—后附解析答案

专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系2019年1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则ABM=EN，且直线BM、EN 是相交直线BBMEN，且直线BM，EN 是相交直线CBM=EN，且直线BM、EN 是异面直线DBMEN，且直线BM，EN 是异面直线2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离3.（2019全国II文7）设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E6.（2019全国II文17）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积7.(2019全国III文19）图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.8.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由9.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，（）设分别为的中点，求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.12.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由13.（2019全国1文16）已知ACB=90，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离15.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，（）设分别为的中点，求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.16.（2019浙江8）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角P-AC-B的平面角为，则A，B， C， D， 17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.2010-2018年一、选择题1(2018全国卷)在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A B C D2(2018浙江)已知平面，直线，满足，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（2017新课标）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是4（2017新课标）在正方体中，为棱的中点，则A B C D5（2016年全国I卷）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为A B C D6（2016年浙江）已知互相垂直的平面 交于直线l若直线m，n满足m，n，则AmlBmnCnlDmn7（2015新课标1）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A斛 B斛 C斛 D斛8（2015新课标2）已知、是球的球面上两点，为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为A B C D9（2015广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是A与，都不相交 B与，都相交C至多与，中的一条相交 D至少与，中的一条相交10（2015浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则11（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是A B C既不垂直也不平行 D的位置关系不确定12（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面A若，则 B若，则C若则 D若，则13（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A若则 B若，则C若，则 D若，则14（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）。若，则的最大值A B C D15（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线 与平面所成的角为，则的取值范围是A B C D16（2013新课标2）已知为异面直线，平面，平面直线满足，则A且 B且C与相交，且交线垂直于 D与相交，且交线平行于17（2013广东）设是两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是A若,则B若,则C若,则D若,则18（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面A若，则 B若，则C若，则 D若, ，则19（2012浙江）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线与直线垂直B存在某个位置，使得直线与直线垂直C存在某个位置，使得直线与直线垂直D对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直20（2011浙江）下列命题中错误的是A如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面，平面，那么D如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面21（2010山东）在空间，下列命题正确的是A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行二、填空题22(2018全国卷)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_三、解答题23（2018全国卷）如图，在三棱锥中，为的中点(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离24（2018全国卷）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由25（2018北京）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，=，分别为，的中点(1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求证：平面26（2018天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值27(2018江苏)在平行六面体中，求证：(1)平面；(2)平面平面28(2018浙江)如图，已知多面体，均垂直于平面，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值29（2017新课标）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，(1)证明：直线平面；(2)若的面积为，求四棱锥的体积。30（2017新课标）如图，四面体中，是正三角形，(1)证明：；(2)已知是直角三角形，若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比31（2017天津）如图，在四棱锥中，平面，（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值32（2017山东）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面，（）证明：平面；（）设是的中点，证明：平面平面33（2017北京）如图，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（）求证：；（）求证：平面平面；（）当平面时，求三棱锥的体积34（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值35（2017江苏）如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC36（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线的长为10cm，容器的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm 现有一根玻璃棒，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度37（2016年山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；（II）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.38（2016年天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点.()求证：FG平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.39（2016年全国I卷）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点（I）证明：是的中点；（II）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积40（2016年全国II卷）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，交于点，将沿折到的位置.()证明：；()若,求五棱锥体积41（2016年全国III卷）如图，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点（）证明平面；（）求四面体的体积42（2015新课标1）如图四边形为菱形，为与交点，平面（）证明：平面平面；（）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积43（2015新课标2）如图，长方体中，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值44（2014山东）如图，四棱锥中，分别为线段的中点.（）求证：；（）求证：45(2014江苏)如图，在三棱锥中，E，F分别为棱的中点已知，求证：（）直线平面；（）平面平面46（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点（）证明：平面；（）设二面角为60，=1，=，求三棱锥的体积47（2014天津）如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱,的中点（）证明: 平面；（）若二面角为，（）证明：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值48（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD面APC ；（）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求 的值49（2013辽宁）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（）求证：；（）设为的中点，为的重心，求证：平面50（2012江苏）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点求证：（）平面平面；（）直线平面51(2012广东)如图所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高（）证明：平面；（）若，求三棱锥的体积；（）证明：平面52（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（）直线EF平面PCD；（）平面BEF平面PAD53（2011广东）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2，E，F分别是BC,PC的中点（）证明：AD平面DEF；（）求二面角P-AD-B的余弦值54（2010天津）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，=1，=，45（）求异面直线与所成角的余弦值；（）证明平面；（）求二面角的正切值55（2010浙江）如图，在平行四边形中，=2，=120为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，为线段的中点（）求证：平面；（）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分2019年 2019年1.解析 如图所示，联结，.因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，所以，所以故选B2.解析 （1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，所以DE平面，故DECH.从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.3.解析：对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；对于B，内有两条相交直线与平行，则；对于C，平行于同一条直线，则与相交或，排除；对于D，垂直于同一平面，则与相交或，排除故选B4.解析 若，过作平面，则，又，则，又，同在内，所以，即.5.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.6.解：（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故.又，所以BE平面.（2）由（1）知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足为F，则EF平面，且.所以，四棱锥的体积. 7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE（2）取的中点，联结，.因为，平面，所以平面，故.由已知，四边形是菱形，且得，故平面.因此.在中，故.所以四边形的面积为4.8.解析（）因为平面ABCD，且平面，所以又因为底面ABCD为菱形，所以又平面，平面，所以平面PAC（）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点，所以AECD又，所以ABAE又平面，平面，所以AE平面PAB又平面，所以平面PAB平面（）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG因为，分别为，的中点，则FGAB，且FG=AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEGF为平行四边形，所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE9.解析 （）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，所以平面.（）连接，由（）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，故在中，.所以，直线与平面所成角的正弦值为.10.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.11.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.（）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是12.解析（）因为平面ABCD，且平面，所以又因为底面ABCD为菱形，所以又平面，平面，所以平面PAC（）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点，所以AECD又，所以ABAE又平面，平面，所以AE平面PAB又平面，所以平面PAB平面（）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG因为，分别为，的中点，则FGAB，且FG=AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEGF为平行四边形，所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE13. 过点P作PO平面ABC交平面ABC于点O，过点P作PDAC交AC于点D，作PEBC交BC于点E，联结OD，OC，OE，则所以又,故四边形为矩形.有所做辅助线可知，所以，所以矩形为边长是1的正方形，则.在中，所以.即为点P到平面ABC的距离，即所求距离为.14.解析 （1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，所以DE平面，故DECH.从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.15.解析 （）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，所以平面.（）连接，由（）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，故在中，.所以，直线与平面所成角的正弦值为.16.解析：解法一：如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作于E，易得，过P作于F，过D作，交BG于H，则，则，可得；，可得.解法二：由最小值定理可得，记的平面角为(显然)，由最大角定理可得；解法三(特殊图形法)：设三棱锥为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得，可得，故选B17.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.（）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是2010-2018年1C【解析】如图，连接，因为，所以异面直线与所成角等于相交直线与所成的角，即不妨设正方体的棱长为2，则，由勾股定理得，又由平面，可得，所以，故选C2A【解析】若，由线面平行的判定定理知若，不一定推出，直线与可能异面，故“”是“”的充分不必要条件故选A3A【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中，所以平面， 只有A不满足选A4C【解析】如图，连结，易知平面，所以，又，所以平面，故，选C5A【解析】因为过点的平面与平面平行，平面平面，所以，又平面，所以，则与所成的角为所求角，所以，所成角的正弦值为，选A6C【解析】选项A，只有当或时，；选项B，只有当时；选项C，由于，所以；选项D，只有当或时，故选C7B【解析】由得圆锥底面的半径，所以米堆的体积，所以堆放的米有斛8C【解析】三棱锥，其中为点到平面的距离，而底面三角形时直角三角形，顶点到平面的最大距离是球的半径，故=，其中为球的半径，所以，所以球的表面积9D【解析】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A10B【解析】解法一 设，则由题意知在空间图形中，连结，设=在中，过作，过作，垂足分别为过作，使四边形为平行四边形，则，连结，则就是二面角的平面角，所以在中，同理，故显然平面，故在中，在中，=，所以，所以（当时取等号），因为，而在上为递减函数，所以，故选B解法二 若，则当时，排除D；当时，排除A、C，故选B11D【解析】利用正方体模型可以看出，与的位置关系不确定选D12C【解析】选项中均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选13B【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，则或，C错误；对于选项D，若，则或或与相交，D错误故选B14D【解析】作，垂足为，设，则，由余弦定理，故当时，取得最大值，最大值为15B【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，由于， 所以的取值范围是16D【解析】作正方形模型，为后平面，为左侧面 可知D正确17D【解析】A中可能平行、垂直、也可能为异面；B中还可能为异面；C中 应与中两条相交直线垂直时结论才成立，选D18B【解析】利用排除法可得选项B是正确的，则如选项A：，时，或；选项C：若，或；选项D：若, ，或19B【解析】过点作，若存在某个位置，使得，则面，从而有，计算可得与不垂直，则A不正确；当翻折到时，因为，所以面，从而可得；若，因为，所以面，从而可得，而，所以这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B20D【解析】对于D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的21D【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故A错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知、均错误，故选D22【解析】由题意画出图形，如图，设是底面圆的直径，连接，则是圆锥的高，设圆锥的母线长为，则由，的面积为8，得，得，在中，由题意知，所以，故该圆锥的体积23【解析】(1)因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且，由知，由，知平面(2)作，垂足为又由(1)可得，所以平面故的长为点到平面的距离由题设可知，所以，所以点到平面的距离为24【解析】(1)由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于，的点，且为直径，所以 又=，所以平面而平面，故平面平面(2)当为的中点时，平面证明如下：连结交于因为为矩形，所以为中点连结，因为为 中点，所以平面，平面，所以平面25【解析】(1)，且为的中点，底面为矩形，(2)底面为矩形，平面平面，平面又，平面，平面平面(3)如图，取中点，连接分别为和的中点，且四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面26【解析】(1)由平面平面，平面平面=，可得平面，故(2)取棱的中点，连接，又因为为棱的中点，故所以（或其补角）为异面直线与所成的角在中，故因为平面，故在中，故在等腰三角形中，可得所以，异面直线与所成角的余弦值为(3)连接因为为等边三角形，为边的中点，故，又因为平面平面，而平面，故平面所以，为直线与平面所成的角在中，在中，所以，直线与平面所成角的正弦值为27【证明】(1)在平行六面体中，因为平面，平面，所以平面(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形又因为，所以四边形为菱形，因此又因为，所以又因为=，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面28【解析】(1)由，得，所以故由，得，由，得，由，得，所以，故因此平面(2)如图，过点作，交直线于点，连结由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角由，得，所以，故因此，直线与平面所成的角的正弦值是29【解析】（1）在平面内，因为，所以，又平面，平面，故平面（2）取的中点，连结，由及，得四边形正方形，则因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面因为底面，所以设，则，取的中点，连结，则，所以因为的面积为，所以，解得（舍去），于是，所以四棱锥的体积30【解析】（1）取的中点连结，.因为，所以又由于是正三角形，所以.从而平面，故BD.（2）连结由（1）及题设知，所以在中，又，所以，故.由题设知为直角三角形，所以又是正三角形，且，所以故为BD的中点，从而到平面的距离为到平面的距离的，四面体的体积为四面体的体积的，即四面体与四面体的体积之比为1:131【解析】（）如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC（）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角由于AD/BC，DF/AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为32【解析】（）取中点,连接，由于为四棱柱,所以，因此四边形为平行四边形,所以,又面,平面,所以平面,（），分别为和的中点，又平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面又平面,所以平面平面33【解析】（）因为，所以平面，又因为平面，所以（）因为，为中点，所以，由（）知，所以平面所以平面平面（）因为平面，平面平面，所以因为为的中点，所以，由（）知，平面，所以平面所以三棱锥的体积34【解析】（）如图，设PA中点为F，连结EF，FB因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且，又因为BCAD，所以EFBC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB（）分别取BC，AD的中点为M，N连结PN交EF于点Q，连结MQ因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE由为等腰直角三角形得PNAD由DCAD，N是AD的中点得BNAD所以 AD平面PBN，由BCAD得 BC平面PBN，那么，平面PBC平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2，在PBN中，由PN=BN=1，PB=3得，在中，MQ=2，所以 ，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是35【解析】证明：（1）在平面内，因为，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面=， 平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以36【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处因为，所以，从而记与水平的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，平面 ，所以平面平面，.同理，平面平面，.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作，为垂足， 则=32. 因为= 14，= 62，所以= ，从而. 设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得. 因为，所以.于是.记与水面的交点为，过作，为垂足，则 平面，故=12，从而 =.答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)37【解析】（）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为 为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，（）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面38【解析】（）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（）证明：在中，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面（）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，由余弦定理可得，所以，因此，在中，所以直线与平面所成角的正弦值为39【解析】（）因为在平面内的正投影为，所以因为在平面内的正投影为，所以所以平面，故又由已知可得，从而是的中点. （）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得，又,所以，,因此平面，即点为在平面内的正投影. 连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.由（）知，是的中点，所以在上，故由题设可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形中，可得所以四面体的体积40【解析】（）由已知得，又由得，故由此得，所以（）由得由得所以于是故由（）知，又，所以平面于是又由，所以，平面又由得五边形的面积所以五棱锥体积41【解析】（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. （）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. 42【解析】（）因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以，故平面又平面，所以平面平面（）设=，在菱形中，由=120，可得=，=因为，所以在中，可得由平面，知为直角三角形，可得由已知得，三棱锥的体积故从而可得所以的面积为3，的面积与的面积均为故三棱锥的侧面积为43【解析】（）交线围成的正方形如图（）作，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，因为长方形被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）44【解析】（）设，连结OF，EC，由于E为AD的中点，所以,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，因此在中，可得.又平面BEF，平面BEF，所以平面.（）由题意知，所以四边形为平行四边形，因此又平面PCD，所以，因此因为四边形ABCE为菱形，所以.又，AP，AC平面PAC，所以平面45【解析】（）为中点，DEPA，平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF，（）为中点，为中点，DEEF，DE平面ABC，DE平面BDE，平面BDE平面ABC46【解析】（）连接BD交AC于点O，连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。又E为PD的中点，所以EOPB。EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC.（）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则.设，则。设为平面ACE的法向量，则即，可取又为平面DAE的法向量，由题设，即，解得因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为三棱锥的体积47【解析】（）证明：如图取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，故MF/BC且MF=BC由已知有BC/AD，BC=AD又由于E为AD中点，因而MF/AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF/平面PAB.（）（i）证明：连接PE，BE因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P-AD-B的平面角在三角形PAD中，由，可解得PE=2在三角形ABD中，由，可解得BE=1在三角形PEB中，PE=2，BE=1，由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB，又BC/AD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=，AB=得ABP为直角，而MB=PB=，可得AM=，故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为48【解析】（）设点O为AC，B