必修二 直线的方程典型题目

试卷第 1 页 总 18 页 1 直线的倾斜角为 10 xy 答案 45 解析 试题分析 方程可化为斜截式 所以斜率 所以倾斜角10 xy 1 xy1 k 45 考点 直线方程 直线的倾斜角与斜率 2 已知的三个顶点分别是 点在边的高ABC 2 2A 0 1 B 4 3C 1 D mBC 所在的直线上 则实数 m 答案 5 2 解析 试题分析 因为 的三个顶点分别是 点在ABC 2 2A 0 1 B 4 3C 1 D m 边的高所在的直线上 所以 高线的斜率为 故 m BC 1 21 2 2 AD BC k mk 5 2 考点 直线斜率的坐标计算公式 直线垂直的条件 点评 简单题 两直线垂直 斜率乘积等于 1 或一条直线的斜率为 0 另一直线的斜率 不存在 3 经过点作直线 若直线 与连接的线段没有公共点 则直线 0 1 P ll 1 2 2 1 AB 的斜率的取值范围为 lk 答案 11 解析 略 4 已知点 P 0 1 点 Q 在直线上 若直线 PQ 垂直于直线01 yx 则点 Q 的坐标是 052 yx 答案 2 3 解析 试题分析 根据点 Q 在直线 x y 1 0 上设 Q x x 1 由已知的直线方程求出斜率 再 利用两直线垂直斜率之积为 1 以及两点间的斜率公式求出 x 的值 再求出点 Q 的坐标 解 由于点 Q 在直线 x y 1 0 上 故设 Q x x 1 直线 x 2y 5 0 的斜率为 1 2 且与直线 PQ 垂直 kPQ 2 解得 x 2 即 Q 2 3 故答案为 2 3 1 1 0 x x 考点 两条直线垂直 试卷第 2 页 总 18 页 点评 本题考查了点与直线关系 以及直线的一般方程 主要利用斜率都存在的两条直 线垂直 斜率之积等于 1 求出点的坐标 5 已知直线ax y 2a 0 与 2a 1 x ay a 0 互相垂直 则a的值 答案 1 0 解析 略 6 已知直线 2x my 1 0 与直线 y 3x 1 平行 则 m 答案 2 3 解析 因为已知直线 2x my 1 0 与直线 y 3x 1 平行 则斜率相等 即 3 m 故 2 m 2 3 答案为 2 3 7 直线的倾斜角为 033 yx 答案 3 解析 试题分析 直线的斜率为 即 tan 所以 直线033 yx3 3 的倾斜角为 033 yx 3 考点 本题主要考查直线的斜率与直线的倾斜角 点评 简单题 直线的斜率等于直线的倾斜角的正切 倾斜角不等于 90 8 点关于直线 的对称点 Q 的坐标为 1 3 P 032 yx 答案 6 5 7 5 解析 因为点关于直线 的对称点 Q x y 然后利用中点公式 1 3 P 032 yx 和垂直关系 得到其坐标为 6 5 7 5 9 过点 P 并且在两轴上的截距相等的直线方程为 2 3 答案 或50 xy 320 xy 解析 10 直线一定过定点 02 1 mymmx 试卷第 3 页 总 18 页 答案 2 1 解析 试题分析 将直线方程变形为 所以令02 1 ymyx 得02 01 yyx2 1 yx 考点 直线过定点问题 11 已知点 则线段的垂直平分线的方程是 1 2 3 1 ABAB 答案 4250 xy 解析 试题分析 先求出中点的坐标 再求出垂直平分线的斜率 点斜式写出线段 AB 的垂直平 分线的方程 再化为一般式解 线段 AB 的中点为 2 垂直平分线的斜率 k 3 2 2 线段 AB 的垂直平分线的方程是 y 2 x 2 4x 2y 5 0 故答案为 1 AB k 3 2 4250 xy 考点 直线方程 点评 本题考查两直线垂直的性质 线段的中点坐标公式 以及用直线方程的点斜式求 直线方程的求法 12 点 2 1 到直线 3x 4y 2 0 的距离是 答案 4 5 解析 22 3 24 124 5 34 d 所以点 2 1 到直线 3x 4y 2 0 的距离是 4 5 13 直线过点 P 5 6 它在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍 则此直线方程为 答案 x 2y 17 0 和 6x 5y 0 解析 略 14 两条直线和的交点在第四象限 则的取值范围是12 kkxy042 yxk 试卷第 4 页 总 18 页 答案 2 1 k 6 1 解析 考点 两条直线的交点坐标 分析 联立方程组可直接求出交点坐标 令交点的横坐标大于 0 综坐标小于 0 解不等 式组即可 解答 联立方程 y kx 2k 1 和 x 2y 4 0 可解得 x 2 4k 2k 1 y 6k 1 2k 1 由两直线 y kx 2k 1 与 x 2y 4 0 交点在第四象限可得 x 2 4k 2k 1 0 y 6k 1 2k 1 0 解此不等式组可得 1 2 k 1 6 即 k 的取值范围为 1 2 1 6 点评 本题考查两条直线的交点坐标 解方程组和不等式组是解决问题的关键 属基础 题 15 直线关于直线对称的直线的方程是 032 yx1 x 答案 012 xy 解析 试题分析 在对称直线上任取点 则关于对称的点为 此点在 00 y x1 x 00 2yx 直线上 所以 所以直线方程为 032 yx0322 00 yx012 00 xy 即 012 xy 考点 直线方程及对称性 16 已知 A 5 6 关于直线 的对称点为 B 7 4 则直线 的方程是 ll 答案 6510 xy 解析 试题分析 关于直线 对称 A B l1 ABl kk 465 756 AB k 6 5 l k 又因为 AB 中点 1 1 在直线 上 所以直线方程为l6510 xy 考点 本题考查直线方程 点评 解决本题的关键点关于直线的对称点应满足两个条件 一是两点连线与直线垂直 所以斜率乘积得 1 二是 两点的中点在直线上 试卷第 5 页 总 18 页 17 若三点共线 则实数 5 14 4 6 2 4 xCBA x 答案 28 解析 因为三点共线 则 得到实数28 5 14 4 6 2 4 xCBA ABCB kk x 18 当实数的范围为 时 三条直线 a 1 l01 yax 2 l 能围成三角形 01 ayx 3 l0 ayx 答案 1 a2 a 解析 因为三条直线 l1 ax y 1 0 l2 x ay 1 0 l3 x y a 0 能围成三角形 所以三条直线满足两两相交 不过同一点 因为 l3 x y a 0 的斜率是 1 所以 a 1 1 且 a 解得 a 1 1 a 1 a 由 解得 1 1 a 不在直线 l2 x ay 1 0 上 01 yax0 ayx 所以 1 a 1 a 1 0 解得 a 2 综上 a 1 a 2 故答案为 a 1 a 2 19 若直线 经过点 且在轴 轴上的截距互为相反数 则直线 的方程是 l 3 4 A xyl 答案 或430 xy 70 xy 解析 略 20 直线与之间的距离是 10 xy 10 xy 答案 2 解析 根据平行线间距离公式可得两直线距离为 2 2 2 A BC 3 6 A 5 2 B C6 答案 9 解析 AB BC 8 2 8 11 c y 9 c y 试卷第 6 页 总 18 页 22 已知点 点 点是直线上动点 当的值最小时 1 1A 5 3BPyx PAPB 点的坐标是 P 答案 2 2 解析 Q y x P B A y O x B 作 B 关于 y x 的对称点 B 连结与直线交于点 则当点移动到点位置时 AByx QPQ 的值最小 直线的方程为 即 解方 PAPB AB 51 53 3 1 yx 340 xy 程组 得 于是当的值最小时 点的坐标为 340 xy yx 2 2 x y PAPB P 2 2 23 两平行直线与间的距离为 则3450 xy 6300 xay d ad 答案 10 解析 试题分析 即 由题意得 由平行线间的距离公3450 xy 01086 yx8 a 式可得 所以 2 10 20 d10 da 考点 1 平行直线系 2 平行直线间的距离公式 24 已知直线过点 直线的斜率为且过点 1 l 2 1 0 3 AB 2 l3 4 2 C 1 求 的交点的坐标 1 l 2 lD 试卷第 7 页 总 18 页 2 已知点 若直线过点且与线段相交 求直线的斜率 15 7 2 2 22 MN 3 lDMN 3 l 的取值范围 k 答案 1 2 或 115 22 D 3 5 k 3k 解析 试题分析 1 先由两点的坐标求出斜率 然后由直线的点斜式写出直线AB AB k 的方程 最后联立方程求解即可得到交点的坐标 2 法一 先由点斜式写出直 12 l lD 线的方程 由两点的坐标写出线段的方程 3 l 511 22 yk x MNMN 联立这两个方程 求出交点的横坐标 15 319440 2 2 xyx 209183 386 k x k 然后求解不等式即可得到的取值范围 法二 采用数形结合 20918315 2 3862 k k k 先分别求出边界直线的斜率 由图分析就可得到的取值范围 MDND k 试题解析 1 直线过点 1 l 2 1 0 3 AB 直线的方程为 即 2 分 1 l 13 1 202 y x 3yx 又 直线的斜率为且过点 2 l3 4 2 C 直线的方程为 即 4 分 2 l2 3 4 yx 314yx 解得即 的交点坐标为 6 分 314 3 yx yx 11 2 5 2 x y 1 l 2 lD 115 22 说明 在求直线的方程的方程时还可以利用点斜式方程或一般式方程形式求解 1 l 2 法一 由题设直线的方程为 7 分 3 l 511 22 yk x 又由已知可得线段的方程为 8 分MN 15 319440 2 2 xyx 直线且与线段相交 3 lMN 试卷第 8 页 总 18 页 511 22 15 319440 2 2 yk x xyx 解得 10 分 20918315 2 3862 k k 得或 3 5 k 3k 直线的斜率的取值范围为或 12 分 3 lk 3 5 k 3k 法二 由题得下图 7 分 2 去 EM BE D Equ ati on DS MT 4 2 11 25 2 O x y D 2 去 EM BE D Equ ati on DS MT 4 2 M EM BE D Equ ati on DS MT 4 2 15 2 去 E M BE D Eq ua ti on D S M T4 2 7 2 去 E M BE D Eq ua ti on D S M T4 2 N N E M BE D Eq ua ti on D S M T4 2 8 分 5 2 3 2 11 5 2 2 MD k 9 分 57 22 3 1115 22 ND k 直线的斜率的取值范围为或 12 分 3 lk 3 5 k 3k 考点 1 由两点求直线的斜率 2 直线的方程 3 两直线的交点问题 25 已知 ABC 中 各点的坐标分别为 求 1 2 2 4 2 2 ABC 1 BC 边上的中线 AD 的长度和方程 2 ABC 的面积 答案 1 2 330 xy 2AD 试卷第 9 页 总 18 页 解析 试题分析 解 1 求得点 D 坐标为 0 3 2 分 4 分2AD 直线 AD 的方程为 7 分30 xy 2 BC 8 分2 5 直线 BC 的方程为 10 分260 xy 点 A 到直线 BC 的距离为 12 分 3 5 5 d 14 分3 ABC S 考点 直线方程 点评 主要是考查了直线方程以及三角形的面积 利用点到直线距离求解高度是关键 属于基础题 26 本题满分 12 分 已知三边所在直线方程ABC 01243 yxAB 求边上的高所在的直线方程 01634 yxBC022 yxCAAC 答案 240 xy 解析 试题分析 解 由解得交点 B 4 0 016364 012463 x x 2 11 AC BD k kACBD AC 边上的高线 BD 的方程 为 042 4 2 1 yxxy即 考点 本试题考查了直线的方程的求解运算 点评 解决该试题的关键是利用两直线的垂直关系 得到高线所在直线的斜率 然后再 利用两条直线的交点得到端点 A C 的坐标一个即可 结合点斜式方程得到结论 属于基础 题 体现了直线的位置关系的运用 27 本小题满分 12 分 试卷第 10 页 总 18 页 已知两直线 试确定的值 使 12 80 210lmxynlxmy 和 m n 1 1 l 2 l 2 且在轴上的截距为 1 l 2 l 1 ly 1 答案 解 1 当 m 0 时 显然 l1 与 l2 不平行 当 m 0 时 由 得 m 2 8 m n 1 m m 8 2 0 得 m 4 8 1 n m 0 得 n 2 即 m 4 n 2 时 或 m 4 n 2 时 l1 l2 6 分 2 当且仅当 m 2 8 m 0 即 m 0 时 l1 l2 又 1 n 8 n 8 即 m 0 n 8 时 l1 l2 且 l1 在 y 轴上的截距为 1 12 分 解析 略 28 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为 且在轴和轴上的截距之和为 求这3xy5 样的直线的条数 答案 4 解析 设直线的截距式方程为 由题意得1 xy ab 即 或 1 3 2 5 ab ab 6 5 ab ab 6 5 ab ab 由解得或 6 5 ab ab 3 2 a b 2 3 a b 由解得或 6 5 ab ab 6 1 a b 1 6 a b 故所求直线有 4 条 29 本小题满分 8 分 已知直线 和点 1 2 设过点与垂直 1 l3410 xy AA 1 l 的直线为 2 l 试卷第 11 页 总 18 页 1 求直线的方程 2 l 2 求直线与两坐标轴围成的三角形的面积 2 l 答案 1 2 4320 xy 1 6 解析 试题分析 解 1 由直线 知 1 分 1 l3410 xy 1 3 4 l k 又因为 所以 1 l 2 l 12 1 ll kk 解得 3 分 2 4 3 l k 所以的方程为整理的 4 分 2 l1 x 3 4 2 y 4320 xy 2 由的方程 2 l4320 xy 解得 当时 0 x 2 3 y 当时 6 分0y 1 2 x 所以 即该直线与两坐标轴围成的面积为 8 分 1121 2236 S 1 6 考点 直线方程的求解 点评 解决直线方程的求解 一般都是求解两个点 或者一个点加上一个斜率即可 同 时能结合截距的概念表示三角形的面积 易错点是坐标与长度的表示 30 试求三直线 构成三角形的条件 10axy 10 xay 0 xya 答案 1a 2a 解析 任二直线都相交 则 故 1 1 a a 1 11 a 1a 且三直线不共点 故的交点不在直线上 10 0 xay xya 11 a 10axy 即 1 1 10aa 2 20aa 2 1 0aa 2a 1a 试卷第 12 页 总 18 页 综合上述结果 此三直线构成三角形的条件是 1a 2a 31 求过直线与直线的交点 且与点 A 0 4 和点240 xy 210 xy B 4 O 距离相等的直线方程 答案 解 联立交点 2 3 所求直线或 042 012 yx yx 2 x05 yx 解析 本题主要考查用点斜式求直线方程的方法 体现了分类讨论的数学思想 注意 考虑直线过 AB 的中点 N 的情况 属于基础题 解方程组求得两直线和的交点 M 的坐标 直线 l 平行于 AB240 xy 210 xy 时 用点斜式求直线方程 当直线 l 经过 AB 的中点 N 2 2 时 由 MN 垂直于 x 轴 求得直线 l 的方程 32 本题 12 分 已知的顶点 求 ABC 3 1A 1 3B 2 1C 1 边上的中线所在的直线方程AB 2 边上的高所在的直线方程 ACBH 答案 解 1 中点 又 3 1 A 1 3 B 1 2 MC 2 1 3 分 直线的方程为 CM 12 2 11 2 yx 即 6 分350 xy 2 直线的斜率为 2 直线的斜率为 9 分 AC BH 1 2 边上的高所在的直线方程为 即 ACBH 1 3 1 2 yx 250 xy 12 分 解析 略 33 解答下列问题 1 求平行于直线 3x 4y 2 0 且与它的距离是 1 的直线方程 2 求垂直于直线 x 3y 5 0 且与点 P 1 0 的距离是的直线方程 3 10 5 试卷第 13 页 总 18 页 答案 1 3x 4y 3 0 或 3x 4y 7 0 2 3x y 9 0 或 3x y 3 0 解析 试题分析 1 将平行线的距离转化为点到线的距离 用点到直线的距离公式求解 2 由相互垂直设出所求直线方程 然后由点到直线的距离求解 试题解析 解 1 设所求直线上任意一点 P x y 由题意可得点 P 到直线的距离等 于 1 即 3x 4y 2 5 即 3x 4y 3 0 或 3x 4y 7 0 342 1 5 xy d 2 所求直线方程为 由题意可得点 P 到直线的距离等于 即30 xyc 3 10 5 或 即 3x y 9 0 或 3x y 3 0 3 3 10 510 xyc d 9c 3c 考点 1 两条平行直线间的距离公式 2 两直线的平行与垂直关系 34 已知直线 平行于直线 并且与两坐轴围成的三角形的面积为求 l 3470 xy 24 直线 的方程 l 答案 24 43 mm 解 设直线l 的方程为 3x 4y m 0 mm 令x 0 得y 令y 0 得x 43 1 则解得m 24 2 直线的方程为 3x 4y 24 0或3x 4y 24 0 解析 略 35 本小题满分 14 分 已知直线和 1 2 3 50lmxmy 2 6 21 5lxmy 问为何值时 有 1 2 m 12 llA 12 ll 答案 1 当时 2 当或时 2 5 m 12 llA1m 9 2 m 12 ll 解析 试题分析 1 两直线与平行 111 0a xb yc 222 0a xb yc 111 222 abc abc 试卷第 14 页 总 18 页 222 0 0 0 abc 2 两直线与垂直 111 0a xb yc 222 0a xb yc 1 22 1 0aba b 试题解析 解 由 得或 2 21 618mmm 4m 5 2 m 当 m 4 时 l1 6x 7y 5 0 l2 6x 7y 5 即 l1与 l2重合 故舍去 当时 即 当时 2 5 m 566 05 2 1 2 1 21 yxlyxl 12 llA 2 5 m 12 llA 2 由得或 6 2 3 21 0mmm 1m 9 2 m 当或时 1m 9 2 m 12 ll 考点 1 直线的一般式方程与直线的平行关系 2 直线的一般式方程与直线的垂 直关系 36 已知直线 被两平行直线所截得的线段长为 3 且直l063 yx033 yx和 线过点 1 0 求直线 的方程 l 答案 x 1 或 3x 4y 3 0 解析 试题分析 设所求直线是 L 根据两平行线距离公式求得距离 d 所以 L 与已知直 9 10 线的夹角 sin 根据平行直线斜率和夹角 求得 L 斜率 包含两种情况 3 10 不存在 所以直线方程为 x 1 或 3x 4y 3 0 1 k 3 4 2 k 考点 直线方程 点评 中档题 确定直线的方程 常用方法是 待定系数法 本题利用已知条件 灵活 确定直线的斜率使问题得解 37 本小题满分 12 分 已知直线 和 1 l 2 3 50mxmy 2 l 问为何值时 有 6 21 5xmy m 1 1 l 2 l 试卷第 15 页 总 18 页 2 1 l 2 l 答案 1 2 5 m 2 或1 m 2 9 m 解析 试题分析 1 直线 与 平行的等价条件为 1 l0 111 cybxa 2 l0 222 cybxa 所以根据题意可得 即或然后检 1221 baba 2 21 618mmm 4m 5 2 m 验是否都满足题意 2 直线 与 垂直的 1 l0 111 cybxa 2 l0 222 cybxa 等价条件为所以根据题意可得 得0 2211 baba6 2 3 21 0mmm 或然后检验是否都满足题意 1m 9 2 m 试题解析 由 得或 2 21 618mmm 4m 5 2 m 当时 即与重合 4 m0576 1 yxl576 2 yxl 1 l 2 l 当时 即 2 5 m 566 05 2 1 2 1 21 yxlyxl 1 l 2 l 当时 2 5 m 1 l 2 l 2 由得或 6 2 3 21 0mmm 1m 9 2 m 当或时 1 m 2 9 m 1 l 2 l 考点 两直线的位置关系 38 本题 15 分 已知直线 的方程为 l 306232 kkykx 1 若直线 的斜率是 求的值 l1 k 2 若直线 在轴 轴上的截距之和等于 求的值 lxy0k 3 求证 直线 恒过定点 l 答案 1 2 3 详见解析5k 1k 解析 试卷第 16 页 总 18 页 试题分析 1 直线一般方程中斜率为 代入系数得到的方程解出值 2 令 A B kk 得到两坐标轴上的截距 和为 0 得到的值 3 将直线整理为0 0 xy k 令系数同时为 0 得到定点坐标0 2 632 ykyx 试题解析 1 所以3 k k k x k y 3 62 3 2 5 分5 1 3 2 k k 2 当 x 0 时 当 y 0 时 x k 3 k k y 3 26 03 3 26 k k k 034 2 kk k 1 或 k 3 舍 k 1 10 分 3 306232 kkykx 可整理为 它表示过的交点 0 2 的直0 2 632 ykyx 02 0632 y yx 线系 所以过定点 0 2 15 分 306232 kkykx 考点 1 直线方程的斜率截距问题 2 直线过定点