沙子的开采-数学建模VIP

1 沙子的开采问题 摘要 本文主要研究的是估算某一地区的含沙量 并做出开采沙子的收益分析 针对问题一 我们根据题中表格中已有的数据 利用线性插值的方法对相 邻两点作线性外推 估算出了缺少的数据 然后通过 matlab 画出地表 沙层顶 部以及沙层低部的等高线 为了更精确的计算出表土层与沙层的体积 用 matlab 对数据进行线性插值 将 50 米50 米的方格精确到 1 米1 米的小方块 再利用体积公式近似计算出表土层与沙层的体积 进而得到该矿含沙量超过 400 万吨 表土体积小于沙子体积 19 可以对这项工程进行投资 针对问题二 构造单位面积的利润函数 利用 matlab 软件画出利润等值线 由于贴现的缘故 施工应按照利润由大到小的顺序进行 所以施工顺序是按照 等值线的分布进行的 在确定每个阶段的施工时间后 分别计算利润 进而求 得总利润 关键词 关键词 沙子的开采沙子的开采 线性插值线性插值 matlabmatlab 贴现率贴现率 2 一 问题简述 沙子作为最重要建筑材料之一 一直有着稳定的市场 沙子在形成之后上 面覆盖着表土 由于表土层结构松散 沙子只能露天开采即先将表土移走再挖 沙子 现有一开采地 四周有几块沼泽地 蓝色隧道公司为生产建筑材料委托 一支地质队调查该开采地 在开采地上画的网格点处用空心管垂直钻入地 下 利用进入空心管的厚度的开采地的面积可得出表土和沙子的体积 其中每 个网格点中最上面一项是地表高度 中间一项是沙层顶部的高度 最下面一项 是沙层底部的高度 由于地表存在沼泽地 部分网格点的数据没有采集 即所 给表中的数据空白处 现有该公司提供的相关材料 需要解决以下工作 1 通过计算表土和沙子体积决定是否该对这项工程进行投资 并画出地 表 沙层顶部以及沙层低部的等高线 2 如果可以投资 根据已给数据和条件设计开采方案 做出收益分析作 并求出相应的利润 二 问题分析 问题一 开采地四周的沼泽地也存在沙子 所以要补充完整表格中的数据 即分别把表土高度 沙层顶部高度 沙层底部高度的数据估算出来 根据网格 中已有的相关数据 取前后或上下两个连着的数据 利用线性插值法进行数据 处理 然后用Matlab编程运算分别得出表土高度 沙层顶部高度 沙层底部高 度的等高线图 题中给出的地表高度 沙层顶部和沙层底部高度的原始数据 相临的点相距50米 为了更精确地计算表层体积 对沙子的储量作精确的估算 用matlab软件对数据进行插值 使得相临的点彼此相距1米 每个网格是1 1的 小方块 经过插值后的数据可更精确地反映沙层厚度分布情形 我们将所有的 沙土汇集在单位网格 网格点补充完整后就根据网格点中的数据分别算出每个 小区域的表土厚度 表土高度 沙层顶部高度 和沙层厚度 沙层顶部高度 沙 层底部高度 利用体积公式累加求出沙层 土层的总体积 3 问题二 为解决开采沙子的收益分析 首先要构造利润函数 在不考虑成 本中每月10万元的地区管理费的情况下 单位面积利润函数 单位 元 米2 只 存在沙和土的密度与厚度这俩个变量 沙的销售单价 沙和土的开挖费和运输 处理费都为固定值 根据所得利润函数利用matlab软件求得函数的等值线 由 于每个月交纳的10万元地区管理费 再考虑到每月最多开挖量10万吨的限制 只 作出了该函数大于等于0的范围 我们的施工设计局限于该范围 由于10万吨的 限制将施工区域分成几个部分 按阶段施工 分别求出各阶段的利润 求和得 出总利润 三 模型假设 1 假设题目中所给数据都是准确的 2 开采地沙层与表土层都是连续的 近几年不会发生地质以及自然灾害造成地 质构造的变化 3 月贴现只针对利润 并不包括其他费用 4 沙子的单价 开采费用以及其他投入价格不会发生改变 5 每月利润当月结算 所得收入在月底统一贴现 四 符号说明 符号符号说明单位 m1 1 1 v m2 2 2 v y f x p 表土的质量 表土的密度 表土的体积 沙子的质量 沙子的密度 沙子的体积 单位面积利润函数 开采单位面积沙土所获利润 吨 吨 立方米 立方米 吨 吨 立方米 立方米 磅 平方米 磅 4 五 模型的建立与求解 4 1 问题一 问题一 要解决表土和沙子的体积就要填充网格中所空白数据 首先对网格中的所 给出的数据进行分析 利用二维线性插值法较精确地估算出表格中因沼泽地原 因无法测得的数据 二维线性插值法方法如下 首先在 X 方向进行线性插值 得到 whereQf xx xx Qf xx xx Rf 21 12 1 11 12 2 1 11 yxR whereQf xx xx Qf xx xx Rf 22 12 1 12 12 2 2 22 yxR 然后在 Y 方向进行线性插值 得到 2 12 1 1 12 2 Rf yy yy Rf yy yy Pf 这样就得到所要的结果 x f Q x f Q x f Q x f Q y f x 11 1212 22 12 1212 12 21 1212 21 22 1212 11 yyxx yyx yyxx yyx yyxx yyx yyxx yyx 即得到如下数据表格 5 A B C D E F G H I J K L M N O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 22 3 22 04 21 9 22 0 22 4 23 2 23 4 23 2 22 8 22 5 23 0 23 2 23 2 22 6 21 9 19 1 19 0 19 3 19 5 20 0 20 6 20 4 19 9 19 35 18 4 17 8 18 0 19 0 19 0 18 8 16 4 14 2 12 1 8 7 5 8 4 1 2 1 1 1 0 5 0 4 0 4 0 6 0 2 0 2 3 6 22 4 22 4 22 5 22 6 23 0 23 1 23 2 23 4 23 5 24 0 24 0 24 0 23 8 23 0 22 2 20 4 19 5 19 6 19 7 19 9 20 0 20 0 19 8 19 9 20 0 19 8 19 6 19 5 19 3 19 1 13 7 10 6 8 4 6 0 6 0 3 2 1 6 1 0 1 1 1 0 0 8 0 9 0 8 0 3 6 0 22 3 22 6 22 7 22 8 23 1 23 3 23 4 23 4 23 5 24 2 24 1 24 1 24 0 23 0 22 5 21 1 20 2 19 6 19 8 19 8 19 7 19 8 20 0 20 1 20 3 20 4 20 5 20 0 19 6 19 6 11 8 2 4 3 2 1 2 2 1 4 0 6 0 5 0 3 0 2 0 1 0 0 0 7 0 4 5 0 22 1 22 6 22 9 23 0 23 1 23 5 23 6 23 4 23 6 23 8 24 0 24 2 24 0 23 0 22 5 21 0 20 4 20 0 20 1 20 0 19 5 19 5 19 8 20 2 20 4 20 6 20 7 20 8 20 0 19 8 7 4 6 1 3 6 1 8 1 8 1 4 0 7 0 6 0 4 0 1 0 1 0 1 0 9 1 3 6 0 22 22 8 23 0 23 1 23 2 23 4 23 8 24 0 24 0 24 0 23 9 23 8 23 7 23 4 22 6 20 5 20 3 20 0 20 2 20 5 20 6 20 6 20 4 20 4 20 5 20 6 20 8 20 7 20 5 20 6 4 9 4 2 3 0 1 6 1 4 1 2 1 0 0 8 0 8 0 3 0 5 0 6 1 4 5 0 6 2 22 2 23 0 23 2 23 3 23 4 23 6 23 8 23 9 23 9 24 0 24 1 24 2 24 0 23 0 22 4 19 8 20 0 20 1 20 3 20 4 20 7 20 9 21 0 20 9 20 8 20 8 20 7 20 3 20 3 20 9 3 6 3 5 3 0 2 0 1 5 1 1 1 0 0 9 0 6 0 6 0 9 7 1 8 3 8 9 7 95 23 0 24 23 3 23 1 23 5 23 4 23 3 23 2 23 1 23 0 22 9 22 8 22 7 22 5 22 2 19 3 19 5 20 2 20 3 20 6 20 8 21 0 20 8 20 6 20 4 20 2 20 0 19 6 19 4 20 2 2 8 2 6 2 0 1 5 1 4 1 2 1 2 1 1 0 8 0 7 1 2 4 1 8 0 10 2 11 1 22 8 24 5 24 0 23 0 23 0 22 4 22 3 22 2 22 1 22 1 22 2 22 2 22 3 22 2 22 3 18 8 19 0 20 2 20 3 20 7 20 9 21 0 20 6 20 4 20 0 19 4 19 2 19 0 18 7 18 9 1 0 0 8 0 7 0 7 1 2 1 2 1 5 2 3 2 4 3 0 7 0 10 2 14 0 14 7 14 7 24 3 25 0 24 0 23 0 22 3 21 5 21 0 20 9 22 0 22 2 21 9 22 1 22 0 22 0 22 1 18 6 19 5 20 1 20 2 20 6 21 0 21 2 20 9 19 8 19 2 18 6 18 9 18 8 18 3 17 7 0 1 0 9 0 9 1 2 1 3 1 3 1 5 2 7 4 7 6 0 7 3 8 5 9 9 11 4 12 9 再根据上述所给的表格 利用 matalab 软件分别作出地表高度 沙层顶部高度 沙层底部高度的等高线图 matlab 数据程序见附录 插值后的地表高度结果见 图 5 1 6 插值后的沙层顶部高度结果见图 5 2 图 5 1 地表等高线 图 5 2 顶部等高线 7 插值后的沙层底部高度结果见图 5 3 对沙子体积的计算采用最基本的体积计算公式 体积 底面积 高度 题中给出的地表高度 沙层顶部和沙层底部高度的原始数据 相临的点彼此 相距 50 米 为了更精确地反映地质结构 对沙子的储量作精确的估算 用数学 软件包 MATALAB 对沙层厚度进行插值 使得相临的点彼此相距 1 米 每个网格 是 1 1 米 的小方块 经过插值后的数据可更精确地反映沙层厚度分布情形 由合理假设 该区域没有复杂的地质构造 可以认为经过插值后的在 1 1 米 网格点处的函数值 是以此点为中心的单位方块内沙层厚度的平均值 计算出 表土的体积是867480 立方米 沙子的体积是4754900 立方米 代码 1 v 2 v 见附录 再利用质量最基本的计算公式 图 5 3 底部等高线 8 质量 密度 体积 计算沙子的质量 由上述计算出的体积以及密度的值得 表土的质量 m1 1350 千克 立方米 867480 立方米 11 v 1171098 吨 沙子的质量 m2 1620 千克 立方米 4754900 立方米 22 v 7702938 吨 因为沙子的质量为 7702938 吨 400 万吨 沙子的体积是 4754900 立方米 4754900 19 903431 立方米 表土的体积是 867480 立方米6055 f 6050 f 5545 f 5040 f 4535 f 4030 f 3525 f 3020 f 255 f 20 沙子的体积 v2 利润 经贴 现 月均利润 经贴现 1219500 3332127 5 175375 1 1825200 3998373 5 133279 2 733550 1288242 8 107353 5 352130 491397 0 98279 4 218220 375607 3 93901 8 134090 181450 8 90725 4 109560 176001 0 88000 5 64942 86525 7 86525 7 42690 84451 2 84451 2 54400 75402 9 75402 9 在计算贴现后的利润时 要用到月贴现率 在进行工程预算时 对每个月 的利润经过现金贴现得到纯现值 再相加得总利润 在计算工程开始后第n个月 利润的纯现值 则用公式 n p 其中i是月贴现率 P是这个月的利润值 n n i p P 1 根据各阶段的利润 求和得出总利润为10189579 723磅 图 5 4 利润等值线 表 1 10 六 模型的评价与改进 6 1 模型的优点 本题选择的模型简单易懂 计算简便 同时也结合了实际生产情况 对沙子的开挖过 程具有一定的指导意义 问题一通过 Matlab 软件对沙层厚度进行线性插值 使得相邻的点彼此距离为 1m 的 插值后的数据可更精确的地反映沙层厚度分布情况 问题二巧妙地结合的问题一求等高线的要求 求解得到了实际开挖中每阶段可挖采的 范围 6 2 模型的缺点 为计算方便 我们认为开挖方式是一次挖到沙层的底部 可认为是垂直开采 不考虑 力学上的要求 故最终计算的利润会存在一定误差 为结合实际生产情况 我们选择相邻阶段的施工区域相邻 而不是优先选择利润最大 的位置 这会导致所求利润不是理论上的最大值 参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 第三版 高等教育出版社 2003 8 11 附录 附录一 等高线绘制程序 用 matlab 读入储存在 excel 中的数据 附录 1 1 绘制地表等高线 dibiao data 1 3 27 x y meshgrid 1 15 1 9 contour dibiao C h contour dibia