第五章-多元函数微分学

第五章 多元函数微分学 我们已经讨论了一元函数微积分学 运用一元函数微积分学已能解决不少实际问题 但是在大量的实际问题中 遇到的却是多个变量的问题 仅有一元函数微积分的方法 还 不足以解决问题 本章在一元函数微积分的基础上 讨论多元函数的微分法及应用 多元 函数微分学是一元函数微分学的推广和发展 但两者之间又有一些本质上的差异 如一元 函数有单调性的概念 而多元函数就没有简单的相仿概念 这种差异主要是由多元函数的 特殊性产生的 本章主要叙述二元函数的微分学 这是因为由一元函数到二元函数 单与多的差异已 充分显露出来 而二元 三元以至 n 元函数之间 仅有形式上的差异 而本质上是相同的 5 1 二元函数的极限与连续 一 基本内容提要 1 1 二元函数的概念二元函数的概念 f DP x yDz P x yzfz x yzPzf x yzf PD f x y 设是平面上的一个点集若对任意点变量按照一定法则都 有唯一确定的值和它对应 即其中为某一定法则则称是变量 的二元函数 或称为点的函数 记作或称为 的定义域 2 2 二二 元函数的极限元函数的极限 00 000 0 00 00 000 1 0 0 lim 2 x yxy P xyf x yD P x yDU Pf PAA f x yx yxy f x yAf x yAx yxy P xyf x yD 分析定义 设是函数的定义域内的聚点若 使都有成立 则称常数为函数 在时的极限记作 或 描述性定义 设是函数的定义域 0 00 P x yDPf x yA Af x yx yxy 内的聚点若动点 以任何方式趋近于时总无限接近于一个确定的常数 则称常数为函数在时的极限 3 3 二二 元函数的连续性元函数的连续性 00 0000 00 0000 12 12 12 1 lim 2 3 min x yxy P D f x yU P xyz f x yf xy f x yP xyz f x yDP PDP D f Pf Pf P f Pf Pf P 定义 若有内有定义且 则称函数在点处连续 多元初等函数在其定义区域内是连续的 最值定理 若在有界闭区域上连续则使 都有 其中 00 max 4 P D f P f x yDM mf x y Dcm MPDf Pc 介值定理 若在有界闭区域上连续分别是在 上的最大值和最小值 则使 注 上述最值定理 介值定理对三元及三元以上的函数同样成立 二 示例 题型一题型一 多元函数的概念多元函数的概念 222 2222 22 4ln 40 2 4 0 zxxyyx xxyxy yxyx 1求的定义域 即如右图 例 解 22 y fxyxyf x yf xy xy x 2设求例 22 222 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 u xyux v y uvv y x v uuvuvuv f u v vvvv xy f x y y xyxy f xy xy xy 设则所以 从而 解 2 2 2 24 f x yxyf xy f x y f xy f x yxyxyxyxy 3设求例 解 22 22 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 22 2 322 3 22 3 3 1 1 yy fxyxyfxy xx u xyu x uv y v yuvx u f u vuv uv y uvxy x y yy x fxyyyy xxx y 4设求 设则所以 再令得 例 解 题型二题型二 二元函数的极限二元函数的极限 22 0 sin 2 1 lim 2 lim xx yya xyxy a xyy x 5求下列极限 为常数 例 2 3 0 0 22 22 000 111 3 lim 1 4 lim sincos 1 0 0 11 00 lim0 sin 2 2 2 limlimlim 20 3 x x y xx yay x y xxx yaya axy xxy xyxy xy xy xyxy xy xy xyxy x y xy x 为常数 因故不妨设从而 所以 解 2 x 3 0 0 3 0 0 11 lim 1lim1 11 4 sincos lim 0 11 lim sincos0 x x x y x y xx yaya x y x y e xx xy xy xy xy 因为有界函数而所以 2 24 0 0 2222 24244 00 2 24 0 0 lim limlim 1 1 lim x y xx ykx x y xy xy ykx xyk xk xyxkk k xy xy 6说明不存在 选用路径则 显然其值随取值不同而不同 所以极限 不存在 例 解 2 24 0 0 0 0 1 0 0 0 xy x y f x yxy x y 7讨论下列函数在点处的连续性例 22 22 2 24 00 00 422 2 2 2 0 0 2 0 0 0 1 6 lim lim 0 0 cos 2 sin cossin cossin 0 sin4 0 0 xx yy xy xy x y f x yxy x y xy f x y xy f x y xr yr r f x yr r rx 由例知极限 不存在所以在点处不连续 令则 解 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 x y y f x yf f x y 故 所以在点处连续 222 222 222 222 222 111222 1 lim lim xyr xyr f x yDx yxyrf x ya f x yD f x ya f x yaxyr f x yDx yxyrP x yP xy DP x yD f Pf P 8设在内连续且证 明在上至少可取得最大值和最小值之一 因补充定义 当 则在有界闭区域上连续故 使有 例 证证 2 12 12 12 f P P PD f Pf Pa f x yD P PD 若则 即是常数那么内任一点处函数取得最大值也是最小值 结论成立 若至少有一不属于则结论也成立 5 2 偏导数和全微分 一 基本内容提要 1 1 偏导数和高阶偏导数偏导数和高阶偏导数 00 00 00 00 000 0000 0 0000 0000 0 0000 1 lim lim 2 x xy xx xy x xy yy xy zf x yP xy f xx yf xyz xx f zxyfxy x f xyyf xyz yy f zxyfxy y 偏导数的定义 设在点的某邻域内有定义 则 亦记作 亦记作 二阶偏 xy xxxyyxyy xyyxxyyx zf x yDfx yfx y zf x y zx yzx yzx yzx y zx yzx yDDzx yzx y 导数 设在区域内具有偏导数如 果这两个偏导数的偏导数仍然存在 则称这个偏导数的偏导数为的二 阶偏导数记为 如果在内连续则在内有 2 2 全全 微分微分 22 1 d ddd 2 zf x yx y zf xx yyf x y zA xB yo A Bxyx yxy zf x yx yA xB yzf x yx y z zA xB yA xB y 定义 如果在处的全增量 可以表示为 其中 不信赖于而仅与点有关则称函数 在点处可微称为在点处的全微 分记作即 可微的必要条件 i ii d d d 3 xy xy xy zf x yx yx yf x y zf x yx yx yfx yfx y zf x yx y zfx yxfx yy zf x yx yfx yfx y zf x yx y 若在点处可微则在点处连续 若在点处可微则在点处存在 且有点处的全微分 可微的充分条件 若在点处连续则 在点处可微 3 3 复合函数求导法复合函数求导法 1 ddd ddd 2 uv uxvxxzf u vxu v zfxxx zzuzv ff xuxvx ux yvx yx yzf u v x yu vzfx yx y 设在点处可导在对应于的点处 可微则复合函数在点处可导 且 设在点处偏导数存在在对应 于点的点处可微则复合函数在 x y zzuzv xuxvx zzuzv yuyvy 点处可 导且 4 4 隐隐 函数求导法函数求导法 1 i 0 d d ii 0 2 0 i 0 x y y x zz F x yyy x Fy xF F x y zzz x y F Fzz xFyF F x y u v G x y u v uu x yvv x y 一个方程确定的隐函数 二元方程确定的一元隐函数的导数为 三元方程确定的二元函数的偏导数为 方程组确定的隐函数 由两个方程构成的四元方程组确定的两个二元隐函 数的 xxyy uvuvx偏导数 的求法是 分别对方程组关于 0 ii 0 dddd dddd xxyy yu vx yuvuv F x y z G x y z yzyz yy xzz xx xxxx mnnm 求导 此时注意是的函数 然后以 为未知数解二元一次 方程组即可 由两个方程构成的三元方程组确定的两个一元隐函数 的导数的求法是 对方程组关于求导 然后以 为未知数解二元一次方程组即可 一般地 在一定条件下 对于有个方程 个变量的方程组来说 mnm zz z xy x y 有个因变量就有个自变量关键是事先要明确哪些变量是因变量哪些 变量是自变量这应根据具体问题确定 例如题目所求的是即可知是 因变量是自变量 二 示例 题型一题型一 偏导数 连续 可微的关系偏导数 连续 可微的关系 2222 22 22 22 2200 00 1 sin 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 1 lim lim sin0 0 0 x y xx yy xyxy xyzf x y xy fx y fx y f x yxyf xy f x y 1讨论函数 在点处 是否连续 是否存在偏导数 是否可微 和 在点是否连续 由有界函数与无穷小的乘积为无穷小得 故在点 例 解 2 000 0 0 0 0 2 1 sin 0 0 0 1 limlimlim sin0 xxx x ff xfx x xxxx 处连续 因 同理 0 0 222 22 22 00 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 d 0 0 d 11 sinsin 0 0 d 0 0 d limlim xy xy xy f f x yf y x y f x y ff zfxfyz xy xy xy zfxfy 因 故在点处的偏导数存在 由知故 其中于是 0 0 222222 222222 220 0 220 1 sin0 0 0 d 0 0 d 0 0 d0 4 0 0 11 2 sincos 11 2 sincos 1 lim2 sin0 limco xy x y x y x y x y x zfxfyo f x y z x y x fx yx xyxyxy y fx yy xyxyxy x xy x xy 即 所以在点处可微且 当时 而 又 220 0 0 11 slimcos 2 lim 0 0 0 0 x xxy x y xy x xx xy fx yfx yfx y fx yfx yx yf x y 不存在故不存在 所以在点处不连续同理 在点处不连续 注 由本例可知在点处连续是处可微的充分 条件而不是必要条件 22 2 222222 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim limlim 1 lim 0 xy xxx y kxy kx x y xy x y xyzf x y x y ff ykx xykxk f x y xyxk yk k f x y f x y 2讨论函数 在点处是否连续 是否存在 选择路径则 该极限值随取值不同而不同故 不存在从而在点 例 解 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 limlim0 0 0 0 0 0 xx xy ff xf x xxx f y ff zf x yP x y 处不连续 又因 同理 所以存在 注 由本例可知对多元函数而言可偏导连续 这与一元函数可导必定 连续绝然不同 二元函数在点处可微 连续及可偏导之间有如下关系 题型二题型二 显函数的偏导数运算显函数的偏导数运算 2 arctan 22 arctanarctanarctan 22 22 arctanarctanarctan 22 2 arctan e d 1 2 e e 2 e 1 11 2 e e 2 e 1 de y x yyy xxx yyy xxx y x z zxyz x y zy xxyxy xx y x z yxyyx yx y x z 3设求与 所以 例 解 222 arctanarctanarctan 222 2 d 2 d 11 e 2 ee 1 yyy xxx xyxyxy zyxyx xy x yxxy y x 2 2 22 2 2 11 d 22 11 22 1 22 1 22 y ax y ax zyaxyaxtt a zz a xy z yaxayaxayaxayaxa xa a yaxyaxyaxyax za yaxayaxa x 4 2 设具有二阶连续偏导数 试求 例 解 2 2 2 22 11 22 11 22 yaxayaxa aa yaxyaxyaxyax z yaxyaxyaxyax ya z yaxyaxyaxyax ya 同理 所以 2 2 22 0 zz a xy 2 sincos sinsin cos 0 sincossinsincos 1 0 uf x y zxryrzr uuu xyz xyz ur uuxuyuz rxryrzr uuu xyz uuu xyz rxyz ur 5设且 证明 与无关 因为 所以与无关 例 证证 2 2 2 0 u x yuu x yf xg y uuu u x yxy u x yf xg y u fx g y x u f x g y y u fx g y x y uuu uf x g yfx g yfx g yf x g y x yxy 6设的二阶偏导数存在且证明 的充 要条件是 必要性若则 从而 例 证证 2 uuu u x yxy uuu u yxxy 充分性若即 亦即 2 d 0 0 ln 0 ln ln ln d ee xx y uuu u yxxy u u x yu u yx u y x u x x uxxy uf xg y 或 从而有 所以与无关即 故 所以 0 e eee ddd e e e dddz Leibniz d e e ee e d d e e d p q r x y z pqr xyz p q rpqr xyz pqrpqr pp xkkxp kxxx p p k q yy q z uxyzp q rZ xyz uxyz z xyz xyzxy xCxxpxp x yyq y 7设求其中 注意到 有 由公式 同理 例 解 d e e dz e e e e r zz r p q r xyzx y z pqr zzr z xpyqzrxpyq zr xyz 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 xxyy xxxxy xy xxxyyxyy f x yfx yfx yf xxx fxxxfxxfxx f xxxx fxxfxxx x fxxfxxfxxfxx 8设具有二阶连续偏导数且 求 因两边对求导 得 两边再对求导 得 从而由 例 解 5 2 4 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 xxyy xxxy x xxxy xxxy fx yfx yf x y fxxfxx fxxxx fxxfxx fxxfxx 以及有二阶连续偏导数得 又因两边对求导得 由解得 3 2 2 232 3 3 2 3 11 d 32 3 3 1 2 xy x y y x fx yx yxfx yyf x y fx yx yx f x yx yxxx yxy y x fx yy x fx yy yy yyC 9 已知求 因故 两边对求导得 与已知条件比较得 积分得 例 解 322 111 322 f x yx yxyC 所以 题型三题型三 隐函数的偏导数运算隐函数的偏导数运算 2 2 2 2 2 2 esin 0 d esin ecos 2eecos ecos cos e x y x y x y x x yx y y x y z x y x z zz x yy zxyzz F x y zy zxyz F x y zyyzxyz F x y zyzy zxzxyz F x y zyxyxyz Fzyzxyzy xF 10设是由方程确定的函数求 记则 故 例 解 2 2 2 22 2 ecos cos 2ee ecos ddd cos e d cos 2ee d ecos x y x yx y y x y z x yx yx y x y yxyxyz F zxzxyzyzy z yFyxyxyz zz zxy xy yzxyzyxxzxyzyzy zy yxyxyz 所以 222 12 1 12 1 2 2 d 1 1220 2 zz x y F xz yzxyz zz F u vz xy x zzz FFxz xxx xFz xFFz 11设由方程 确定且可微求和 方程两边对求导 解得 例 解 12 2 12 12 12 1 1220 2 d d ddd y zzz FFyz yyy yFz yFFz xFxyFyzz zxy xyFFz 再方程两边对求导 解得 所以 0 0 sin e2 ed d d ddd 1 ddd e2 dd e0 dd d 2 d sin ed x z xyx xy xy x z x t uf x y zxyt t u x yy xzz x uffyfz xxyxzx xyx yy yxyx xx yy xx t tx t 12设具有一阶连续偏导数 且 求 由题意可知 故 对两边关于求导得 故 对两边关于求导 例 解 sin d e1 d de 1 3 dsin 2 3 1 de 1 dsin x x x xzz xzx zxz xxz ufy fxzf xxxyxzz 得 故 将代入得 e cos e sin e cos e sin 1e cose sin 0e sine cos cos e uu u u uu uu u zz zuvxv yv xy uu x yvv x y zuvzuv vuvu xxxyyy xv x yv uv vv xx uv vv xx uv x 13设求 由题意可知故 对两边关于求导得 解得 例 解 sin e e cos e sin 0e cose sin 1e sine cos sincos ee cossin e sincos e u u u uu uu uu u u vv x xv y yv uv vv yy uv vv yy uvvv xx zvvuv x zvvuv y 对两边关于求导得 解得 所以 2 2 0 1 0 d de10 y t xtt y yy x xty t 14 已知由方程组确定 求 方程组两边对求导得 例 解 22 11 0 0 0 120 ee0 21 ee 1e de d 21 e 21 e 2 21 d d 21 00 1 d 1 e 2e 1e d t yy tt t yy t y y t t yy tt t tt t t t t xt tyy xt y ty yy xxty ytytyy xty txy y xy x 解得 所以 又 当时 故 1 2 011 2 0 0 d d d 2e e1 d t t t t t y x y xx 所以 0 0 0 0 dd 0 dd dd 0 dd yzt zt uu x yuf x y z tg y z th z t uu f g h xy g y z t zz ytt yy h z t zt ggg yy zt hh yy 15 已知由方程和确 定其中均为可微函数求 由题意可知由确定对求导 得 解得 例 解 d d d d dd dd yt zttz yz zttz x yztytz yzty zttz g h z yg hg h g h t yg hg h u f x g h fg h f uzt ffff yyyg hg h 所以 5 3 多元函数微分学的应用 一 基本内容提要 1 1 微分学在几何上的应用微分学在几何上的应用 000000 000 000 0 000000 000 1 i 0 xx tyy tzz t P xyzttP xxyyzz x ty tz t P x txxy tyyz tzz x ty tz t 空间曲线的切线与法平面 设曲线以参数方程给出 为上一点对应参数则点处的切线方程为 点处的法平面方程为 称为T 0 0 0 ii 0 0 xyxxyz P tP F x y z G x y z P FFFGGG 在点处的切向量 取正号时 的指向与参 数增大时的移动走向一致 设曲线以一般方程给出 则在点处的切向量为 T T 0000 0 000000 0 000 000 0 2 0 0 xyz xyz xyx F x y zP xyz P F PxxF PyyF Pzz P xxyyzz F PF PF P FFFP 曲面的切平面与法线 设曲面的方程为为上一点则曲面在点 处的切平面方程为 点处的法线方程为 称为曲面在点处的法向量 n 2 2 多元函数的极值与多元函数的极值与 LagrangeLagrange 乘数法乘数法 00 0000 0000 00 00 000 1 i 0 ii xy zf x yxy f xyf x yf x yxy fxyfxy xyf x y zf x yxy f x yx yxy 二元函数的极值 函数在点处取得极值的必要条件 若是的极值且在点处可偏导则有 即是的驻点 函数在点处取得极值的充分条件 若在点的某邻域内连续且具有二阶连续偏导数如果 0 000000 2 00 2 00 2 00000000 a 0 0 0 b 0 c 0 xxxyyy xy f x yAfxyBfxyCfxy ACBf xyAA ACBf xy ACB f x yxyfxyfxyf xy 是的驻点记则 当时是极值且当时是极大值当时 是极小值 当时不是极值 当时需作进一步讨论 注 若在处有定义但不存在 2 Lagrange 0 i Lagrange Lagrange ii 0 0 0 xy zf x yx yzf x y L x yf x yx y LLL 仍有可能是极值 条件极值与乘数法 设是目标函数在条件下求函数的极值 的步骤 作函数 其中称为乘数 令得方程组 00000 0 0 0 iii Lagrange xx yy fx yx y fx yx y x y xyxy 解上述方程组得则是该问题的可能极值点至于是 否确为极值点可由具体问题讨论确定 在实际问题中 常常可根据问题本身的 意义确定 上述乘数法可以推广到目标函数是三元及三元以上的多元函数 或附加条件多于一个的情形 二 示例 题型一题型一 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 23 2 2 1 2 2213 3 1 1 3 2 3 1 4 3 0 320 1 3 1 1 2 1 1 4 3 121 143 3 x xt ytztlyz l l tt tt tt t xyz t 1设曲线 和直线 求 的与垂直的切线 直线的方向向量 曲线的切线的方向向量 由题意 即 亦即 解得 当时 切点为切线方程为 当时 切点 例 解 s T sT s T T 3 18 27 1 12 27 31827 11227 xyz 为切线方程为 T 1 222 222 12 1 9 4 1 17 3 1 4 11 1 1 1 1 1 22 3 1 11 1 13 1 1 2 2 22 P xyz x xyz xPP P x y z x y zx yz P 2求曲线对应于的点处的切线方程 对应于曲线上的点为由此可知 所求切 线有两条 曲线上任一点处的切向量为 点处的切向量 例 解 T T 2 2 1 11 2 122 11 1 13 1 1 2 2 22 1 11 2 122 P y xz P y xz 对应的切线方程为 点处的切向量 对应的切线方程为 T 222 e cos e sin 0 e e cossin sincos 1 e cos sin 1 cos cos t t t t t xat yataxyz za atttt x y zatt t 3 已知曲线 在锥面上上 证明 曲 线上任一点处的切线与过该点的锥面的母线的交角是定角 曲线上任一点处的切向量 过该点的锥面的母线的方向向量 设与的交角为则 例 证证 s s s s sin sincos 1 cos sin 1 2 326 ttttt 由上点的任意性可知 命题成立 0 2223 0000 2223 0 2 0 000 0 0 0 0 3 xyzP y zxyzx fzz x yf x zz x yz P xyz y F x y zzxyzx f x P x FFFx f ux r 4设方程确定函数其中可微 证 明 曲面上任一点处的切平面在轴上的截距与切点到原点 的距离之比为常数并求此常数 设是曲面上任一点 记 则点处的法向量为 例 证证 n 2 00 0000 00 222 0 00000 0 22 00 000000000 00 0 0 0 2 0 0000 0 1 3 1 0 0 3 z yz y f ux f u rr y rxyzu x xy x f ux y f uxxx f uyy rr z zz r xyz x x f ux y f r C 其中 所以切平面方程为 令得切平面在轴上的截距 2 00 000000 00 0 0 3 0000000000 0 0000 0000 222 0000 0 0 1 1 3 3 2 0 0 0 2 2 z yz uxx f uyz rr z r r zrx f ur zrzr r zrzr P xyz dxyzr rC dr 到原点的距离为 所以 常数 命题得证 22 22 1 2 5 0 1 2 5 30 3 0 1 30 1 1 1 2 5 2 2 1 2 4 1 xyb lzxy xayz a b l xayzxyb xayzb a zxy xy 5 设直线 在曲面于点处的切 平面上求之值 过直线的平面束方程为 即 其法向量为 曲面在点处的法向量 由题设知 例 解 n n n 11 241 1 5 1 2 5 1 2 80 1 5 2 a a ayb a b 即 解得 又点在平面上 故 将代入得 n 2 2 22 2 e 2 e 2 2e e2 e x z x z x zx z xyz x fyzf u F x y zfyz FFFff 6 已知曲面且可微证明 曲面为柱面 分析柱面是由平行于定直线的母线沿一定曲线移动而成的曲面 故柱面 上任一点处的法向量一定垂直于定直线 反之 一曲面上任一点处的法向量垂 直于一定向量 则该曲面一定是柱面 设则曲面上任一点处的法向量为 例 证证 n 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 2 2 z f 记 为一常向量因 s 0 2 2 2 所以 故曲面是母线平行于定向量的柱面 n s ns s 23 23 22 2 0 1 2 322 1 2 0 xyz xyz xyzxyzaa Paa aQa aa P Qxayz F x y zxyzxyza Fyzx yzFxzxFxyx Faa aaFaa aFaa 7 已知曲面方程证明 曲面上两点处的法线相交 曲面在处的两个切平面的交线是 设则 故 例 证证 2 22 22 22 22 22 22 2255 2 2 0 0 2 02 2 0 20 02 20440 022 xyz P Q PQ aa Fa aaaFa aaaFa aa P aa xayaza aa Q aa xayaza aa aa PQaaaa aa 于是 点处的法向量为 法线方程为 点处的法向量为 法线方程为 因 故两法 n n nn 22 2 2 0 PQ P axaaza 线共面 又两法线不平行 因与不行 所以两法相交 点处的切平面方程为 即 nn 22 32 2 0 32 32 32 322 xaz Q axaaya xay xaz xzy xayz 点处的切平面方程为 即 所以两切平面的交线为 即 题型二题型二 函数的极值函数的极值 222 22880 42880 1 4280 2 484 821821 0 0 16 2 0 0 7 xyzxzzzf x y x y zzz xzzx xxx zzz yzx yyy zxzzy xxzyxz zz xy 8求由方程所确定的二元函数 的极值 方程两边分别对求偏导 得 可解得 令 并与原方程联立解得驻点 例 解 2 222 222 168 2 0 1 0 77 1 2 4221680 zz x yy zzzzz zx xxxxx 且 在方程两边分别对求偏导 方程两边对求偏导 得 222 2 222 222 222 22 2 2 22880 42280 2 0 1 44 0 1515 44 0 0 1515 2 0 1 16 0 7 zzzzzz zx x yx yyx yx y zzzz zx yyyy z zzz ABC xx yy ACBA z z 在处有 故 所以为极小值 在处 222 22 2 2 8 7 44 0 1515 44 0 0 1515 168 0 77 zzz ABC xx yy ACBA z 有 故 所以为极大值 22 22 222 22 2 e 3 e 1 3e e3 e 3e e3 e 32e 2 e 3e2 0 0 xx xx xxx xx x xx y xy x y zyzyz zyy f x yyyx yDx yy Df x yDf x yD fyy fyy ff 9 已知为实数且求证 由题设且令 易见是有界区闭区域 在上连续故在上必有最大值和 最小值 令得 例 证证 2 0 1 0 1 0 ln3 0 1 0 1 1 0 0 e3 0 x xx fff x yf xD 驻点以及其中因 且在边界上故在上 2 0 1 e 1 x f x y yz 即 2222 22 22 22 121625 25 2120 2160 6 8 25 1216 x y zxyxyxy Dx yxy D zx zy x yDDD xy L x yxyxy 10求函数在闭区域上的最大值和最 小值 因函数在闭区域上连续故由最值定理知在 上函数必有最大值和最小值 令 解得故函数在内无驻点从而最大值和最小值一定在 的边界上取得设 例 解 22 22 22 12 min 25 21220 1 21620 2 250 3 1 2 68 11 3 68 25 11 1 3 3 4 3 4 3 4 75 3 4 125 xy L xx x L yy y L xy xy zz z 令 由得 代入有 解得 所以驻点为计算函数值 故 max 3 4 75 3 4 125 zzz 2222 000000 000 00 000 000 22 0 23236 2 3 1 2 3 23 123 1 236 2 1 2 1 1 1 2 a aSxyzaxyz M xyzMxyz xyz yxzx M xyz xyz axy 11确定正数使椭球面 与平面 相切 设切点为则点处切平面的法向量应平行 于平面的法向量故 即 因点在平面上 于是 由解得 所以 例 解 22 00 36 6 z a 即 2222 5 3 2222 2222 lnln3ln5 0 27 5 max lnln3ln s t 5 0 0 0 lnln3ln 5 1 f x y zxyzxyzrr abc a b cRabc f x y zxyz xyzrxyz L x y zxyzxyzr L x 12求函数在球面 上的最大值 并证明 有 考察条件极值 设令 例 解 2222 20 1 1 20 2 3 20 3 50 4 x x L y yy L z zz L xyzr x 222 2 max 5 max 5 1 2 3 113 222 4 1 2 3 3 3 lnln3ln3ln 3 3 0 0 0 lnln3lnln 3 3 xyz r r rrf x y z fr rr ffr rrrrrr xyz xyzr 由得 代入得 于是得驻点因在第一卦限内球面的三条边界线上 故在球面的内部取 又因是球面内的唯一驻点所以 从而有 35 222 2 5 222 2 3 5 222 226 222 5 3 3 3 5 3 3 5 27 5 27 5 xyzr xyz r xyz xyz xyz x y z xaybzc abc abc 即 又 故 亦即 令得 22 22 22 22 12 2 xy a bxyy ab xyy 13试求之值使得椭圆包含圆并且其面 积最小 所球椭圆必与圆相切并将圆包含在其内部 如下图 故 例 解 22 22 22 22 22 22 22 2 2 22 22 2 1 1 1 1 1 1 1 2 20 1 2 2 1 2 10 3 0 1 x yf x yxy f x yxy xy ab xy L x yxy ab Lx x xa Ly y yb Lxy ab xa 在椭圆上任一点处函数即函数 在条件 下的最小值是 作令 若则由得 2 22 2 22 222 min 24 2 222222 2242 2242 23 2 2 1 3 1 1 11 0 4 240 2 a y ba b xa ba ff x y ba a baba a bab a bab M a baba bab M baba a M aa b 代入得 再将其代入中得 因故 从而有 为求的值使椭圆有最小面积令 令 20bb 24 1 22 22 22 22 2 2 21 2 4 63 2 22 3 3 2 0 1 0 1 2 0 2 1 1 1 0 2 4 2 1 2 3 3 2 2 2 63 2 22 ba ab Aab xy xybxybf x y ab b xy xy a a a AA ab 解得 代入得 此时 椭圆面积 若则由得将代入得 于是点是椭圆与相切的点从而在点处 它们的曲率相同 进而得即 此时椭圆的面积 故当时椭圆 面积最小 22 2222 000000 2222 22 22 1 1 1 16 1 1 2 1 2 xy D xyf x yf x y xyx yxyfxyfxy Dx yxyDx yxy x yf x yxyx yD CD xyx yf x y 14若在时连续且偏导数存在又求 证 使 记令 则且在内存在偏导数 当时 例 解 0000 0000 1 3 1 1 0 0 0 0 1 1 0 xy x yx y Dx yDf x yf f x yxyDxy xyxy 此时倘若仅在 的边界上取得最小值则有于是 这与矛盾所以使为最小值 从而有 即 000000 2222 000000 4 4 16 16 xy xy fxyxfxyy fxyfxyxy 所以 5 4 方向导数和梯度 一 基本内容提要 0000 0 000 0 000 0000 0 cos cos sin 0 sin 0 cos sin lim t zf x yP xyU P xxt P xtytPlt yyt PU PPlPPPt f xtytf xy t zf x y 设函数在点的某邻域内有 定义是从点发出的射线 上一点且若点沿着射线趋近于即时 存在则称其为函数在点 1 1 方方向向导导数数的的定定义义 0 0 0 0000 0 cos sin lim P t P f Pl l f xtytf xyf lt 处沿着方向的方向导数记作即 0 0 0 0 00 0 0 00 1 0 1 0 0 1 0 1 xy P l xll P yll P xy P f fPfP l l f fP l f fP l f fPfPl l 设射线方向的单位向量为则 存在当及时存在且相等 同理 存在当及时存在且相等 由此可知 存在存在 其中为任一射线 2 2 偏偏导导数数与与方方向向导导数数的的关关系系 e ee ee 0 000 0000 00 cos cos cos cos xy P l zf x yP xy zf x yP xyf x yP f fPfP l 若在点处可微则在点处沿任一方向 的方向导数存在 且有 其中 3 3 函函数数在在点点处处沿沿任任一一方方向向的的方方向向导导数数存存在在的的充充分分必必 要要条条件件及及计计算算公公式式 定定理理 e 0 0 0000 000000 0 00000 00 cos cos cos cos cos cos lim cos cos l t P xy P f x y zP xyz f xtytztf xyzf lt f x y zP xyzf x y zPl f fPfPf l 定义为 同样在点可微则在点处沿任一方向 的方向导数为 4 4 三三元元函函数数在在点点处处沿沿方方向向的的 方方向向导导数数 e 0 cos cos cos cos z l P 其中e cos cos cos 0 xy xyl P l ll zf x yD P x yD f x yfx yfx y f x yP x y f fx yafx yf x y l f x yf ff x y grad grad gradgrad gradgrad 设函数在区域内有一阶连续偏导数 则 向量 称为函数在点处的梯度 此时有 可见当即与同 5 5 函函数数梯梯度度的的定定义义 ij e e ee max P l P f l f x yP x yf x yP x y f f x y l grad 向平行时达到最大值 简言 之 函数在点处的方向导数中以沿函数在点处 的梯度方向的方向导数为最大 且 xyz l P f x y zP x y z f x y zfx y zfx y zfx y z f f x y z l grad grad 对三元函数在点处的梯度 可类似定义为 同样有 具有上述类似的结论 i