数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用数学期望的计算及应用 数学与应用数学 111 第四小组 引言 引言 我们知道 随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述 而数学期望 又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一 因此 掌握数学期望的计算并应用他来 分析和解决实际问题显得尤为重要 在学习了概率论以后 我们计算数学期望一般有三种 方法 1 从定义入手 即 2 应用随机变量函数的期望公式 1 k kkp xXE 3 利用期望的有关性质 但是还是会碰到许多麻烦 这里我们将 1 k kk pxqxqE 介绍一些解决这些难题的简单方法 在现实生活中 许多地方都需要用到数学期望 如果 我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后 将数学期望应用到现实生活中 就可以解 决许多问题 例如农业上 经济上等多个方面难以解决的难题 下面就让我们来看看 除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的 数学期望的方法 1 变量分解法变量分解法 1 如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和 应用 再进行求解得值 这种方法就叫做变 2121nn XEXEXEEEXE 量分解法 这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题 因为每一种结果比较好 计算 分开来计算便可以比较简单的获得结果 例题例题 1 从甲地到乙地的旅游车上载有 20 位旅客 自甲地开出 沿途有 10 个车站 如 到达一个车站没有旅客下车 就不停车 以 X 表示停车次数 求 E X 设每位旅客在各个 车站下车是等可能的 分析分析 汽车沿途 10 站的停车次数 X 所以可能取值为 0 1 10 如果先求出 X 的 分布列 再由定义计算 E X 则需要分别计算 X 0 X 1 X 10 等事件的概率 计算相当麻烦 注意到经过每一站时是否停车 只有两种可能 把这两种结果分别与 0 1 对应起来 映入随机变量每一种结果的概率较易求得 把 X 分解成若干个随机变量 i X 之和 然后应用公式就能最终求出 i X 2121nn XEXEXEEEXE E X 解解 引进随机变量 i 1 2 3 4 i X 站有人下车第 站没有人下车第 i i 0 1 则 1021 XXXX 根据题意 任一旅客在第 i 站不下车的概率为 因此 20 位旅客在第 i 站都不下车 10 9 的概率为 在第 i 站有人下车的概率为 即 20 10 9 20 10 9 1 20 10 9 0 i XP 其中 i 1 2 3 10 从而 20 10 9 1 1 i XP 20 10 9 1 i XE 也就是说平均要停车近 9784 8 10 9 110 20 1021 XXXEXE 次 但是并不是每个问题都可以拆分开来 甚至有些问题是需要有每一种情况总结到 总的问题来解决 也就是把所求数学期望 E X 作为序列 中的一般 1 E 2 E k E 项 根据实际意义导出的递推关系式 然后发掘出蕴藏着的初始条件 最终求出 k E E X 这是求数学期望的方法我们叫做建立递推关系法 2 建立递推关系法建立递推关系法 1 例题例题 2 设一个实验有 m 个等可能的结局 求至少一个结局接连发生 k 次的独立是 啊一年的次数 分析 分析 显然独立实验的次数 X 的随机变量 X 的所有可能的取值为 k k 1 如 果把 至少一个结局接连发生 k 次 这一事件所需要的实验次数 k k 1 的概率一一 写出 然后相应求出 X k k 1 的概率 那是相当困难的 于是可以考虑构建关于的 k E 递推关系式 解解 设是 至少一个结局接连发生 k 次 记此事件为 所需的试验次数的期 k E k A 望 则表示至少一个结局接连发生 k 1 次 记此事件为 所需试验次数的期望 1 k E 1 k A 而事件与之间有这样的关系 在发生的条件下 或者继续试验一次 同一结 k A 1 k A 1 k A 局又发生了 这样便导致的发生 其概率为 或者继续试验一次 这个结局没有发 k A m 1 生 其概率为 而另外的结局发生了 这样要使发生 等于从头开始 它的期望 m 1 1 k A 次数是 根据这种分析 得 k E 即 kkk E mm EE 1 1 1 1 1 1 1 kk mEE 注意到 故由递推关系式 1 最后求得数学期望1 1 E 1 1 1 12 m m mmmE k k k 条件数学期望是概率论中最重要的概念之一 期望是条件期望的特例 概率也是条件 期望的特例 因此 通过对某类随机现象的适当的条件化处理 应用全期望公式 可以给 出计算数学期望和计算概率更简洁的方法 设是二维随机向量 存在 则有 这就是我们接下来要说的 E EEE 全期望公式法 3 全期望公式法全期望公式法 2 例题例题 3 一名矿工陷入一个有三扇门的矿井中 第一扇门通过一个隧道 走 2 小时后他 可到达安全区 第二扇门通到另一个隧道 走 3 个小时后使他回到矿井中 第三扇门通到 有一个隧道 走 5 个小时后使他回到矿井中 嘉定这位矿工总是等可能地选择三扇门中的 一扇门中走 试求他达到安全区所需的平均时间 解 解 设 T 表示到达安全区所需时间 T 是一个随机变量 表示最初选择门的编号 按题设有 i 1 2 3 3 1 iP T 2 当 3 当 1 T2 5 当 1 T3 其中为返回原处时算起至走到安全区所需的时间 由题设知道返回原处后在此选择 1 T 门的概率分布不变 故 于是 2 21 TETETE 2532 3 1 3 5 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 3 3 2 2 1 1 11 TE TETETETETE ptePTEPTETEETE 由此 可得 E T 10 小时 4 连续型随机变量数学期望的简易公式法连续型随机变量数学期望的简易公式法 3 我们知道数学期望有离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 还有既 非 离散型又非连续型随机变量的数学期望 这里我们介绍连续型随机能力的数学期望 若连续型随机变量的密度函数为 如果收敛 积分 xf dxxfx dxxxf 为随机变量的数学期望 相反 如果的分布函数 求数学期望需要先求出密 XF E 度函数 计算过程会比较复杂 这里介绍一个简易的连续型随机变量的数学期望 xf 定理定理 若连续型的随机变量的分布函数为 且数学期望存在 则 XF E 0 0 1 dxXFdxXFE 证明证明 存在 则 于是 dxxfx xFx xx x x xxx ydFyyydFydFxxxF0 limlim lim lim xxxxx yydFydFxXFx0limlim 1 lim0 0 1 limlim xFxxxF xx 0 0 0 0 0 0 1dxxFxxFxFxdxxdFxxdFxxdFxxdFE 0 0 1 1 dxxFxFx 由 1 式得 0 0 1 dxXFdxXFE 例题例题 4 已知连续型的随机变量的分布函数为 x 0 求 x eXF 2 1 E x0 x e 2 1 1 解 0 0 0 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 11 dxeedxedxeE xxxx 5 结合随机微分方程求数学期望结合随机微分方程求数学期望 例题例题 5 求证成立 其中代表 t 时刻标的资产的价格 是 SSSfeE tT dtr T t t 4 t S t r 即期无风险利率 是欧式未定权益的到期收益 T Sf 1973 年 Black 和 Scholes 利用无套利原理给出了著名的期权定价公式 促进了金融属 5 性领域的快速发展 由现代金融数学理论 欧式未定权益的价值最终归结为在风险中性下 的数学期望 SSSfeE tT dtr T t t 记 SSKSeEStv tT tTrP 其中 r K 为常数 满足 随机微分方程 t S tttt dBSdtrSSd 为风险中性概率测度 P 下的标准布朗运动 表示在测度 P 的条件期望算子 t B P E 这个期望在金融中代表标准视频看涨期权的价值 0 maxKSKS TT SSKeEStv t tTrP e dx tT tTrSx tT Kee xtTr 2 2 ln exp 2 1 2 22 K xtTr dx tT tTrSx tT Kee ln 2 22 2 2 ln exp 2 1 dx tT tTrSx e tT e K x tTr ln 2 22 2 2 ln exp 2 K tTr dx tT tTrSx tT Ke ln 2 22 2 2 ln exp 2 对第一个式子进行配方 对第二个式子作变换 并记 tT tTrSx y 2 ln 2 tT tTrKS d 2 ln 2 1 tTd tT tTrKS d 1 2 2 ln 2 得 K tTr dxtTrS tT tTrSx tT eStv ln 2 22 ln 2 2 ln exp 2 1 2 2 2 2 1 d y tTr dyeKe 12 22 22 2 1 2 1 dd y tTr y dyeKedxeS 12 22 22 2 1 2 1 dd y tTr y dyeKedxeS 21 dNKedSN tTr 其中为标准正态累积分布函数 x y dyexN 2 2 2 1 小结 数学期望的计算在概率论中占据着很重要的位置 我们可以发现不同的数学条件 需要用不同的方法来解决问题 下面我们就来看看 数学期望可以应用在那些领域 哪 些方面 从中去领会数学期望的重要性和必要性 2 数学期望的应用数学期望的应用 1 数学期望与方差在农作物决策问题中的应用数学期望与方差在农作物决策问题中的应用 6 在农业生产当中 选种优良农作物品种是取得丰产的前提 人们通过在某一一特定的 区域分别种两种或两种以上品种 经过连续几年的实验 统计有关数据应用概率中的数学 期望与方差的思想确定产量稳定的品种即优良品种 以下我们看两个关于选小麦种和水稻 种的例子 例题例题6 甲乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下 单位 吨 平方千米 品种第一年第二年第三年第四年第五年 甲9 89 910 11010 2 乙9 410 310 89 39 8 解解 1 先求出甲乙两种小麦产量的期望值 0 10 2 1010 1 109 98 9 5 1 甲 x 0 108 97 98 10 3 104 9 5 1 乙 x 可得出甲乙两种小麦产量的期望值相等 2 求出甲乙两种小麦产量的方差 02 0 2 01 01 02 0 5 1 22222 甲 s 124 0 2 03 08 03 06 0 5 1 222222 乙 s 从而可确定小麦品种甲产量比较稳定 2 用数学期望的方法来调整刀具尺寸 用数学期望的方法来调整刀具尺寸 7 除了农业 现实中经常要用到的刀具也需要利用数学期望来解决问题 下面就让我们 来了解一下数学期望在这方面的应用 需知一批零件之间 首先要调整好刀具或砂轮的尺寸 在只考虑刀具调整尺寸 单因素 引 起的误差日十 一般可按公差带的中心尺寸来调整 但这样调整使得可修复的疵品与不可 修复的废品出现的概率相等 由于可修复品与废品的损失是不同的 通常后者要远大于前者 为此 我们可以根据可修复品与废品损失的不同值用数学期望的方法来找出最佳p值获得最 大利润率 例如例如 在镗床上用镗 J来镗削一批工件 其合格尺寸范围为p q 每牛产销售个合格产品 的收人为n 元 而生产一个大于口的产品损失为s元 生产一个小 于p的产品损失为m元 这样生产一个零件的利润a x 与直径的关系如下 s n m Xa qX qXp pX X的概率密度为 2 1 exp 2 1 2 x xf 的数学期望为 Xa 1 1 p mn q sn q s p m pq n qXsPpXmPqXpnP dxxsfdxxnfdxxmfXaE q pq p 其中是标准正态分布函数 设为标准正态分布函数 为求的的极值点 x x XaE 将关于求导 得 2 ln ln 2 0 2 exp 2 2 exp 2 0 222 2 2 2 2 qp qpmnsn pmnqsn d XaEd p mn q sn d XaEd 即当 等于上述值时 的值最大 即利润最大 XaE 3 数学期望在民事纠纷中的应用数学期望在民事纠纷中的应用 在民事纠纷案件中如果受害人将案件提交法院诉讼 他 她 除了要考虑胜诉的可能性外 还要考虑诉讼费用的负担 理性的当事人往往通过私下协商赔偿费用而趋于和解 免于起 诉 在一个典型的交通事故案件中司机 致害人 开车撞伤了受害人 使受害人遭受了10万元 的经济损失 假若将案件提交诉讼 诉讼费用共需要0 4万元并按所负责任的比例由双方 承担 从事故发生的情形分析 法院对事故判决可能有三种情况 一 致害人应承担100 的责任 要向受害人赔偿10万元的损失费用 并支付全部 0 4万 元的诉讼费 二 致害人应承担70 的责任 要向受害人赔偿7万元的损失费用 并支付0 4 万元诉讼 费的 70 诉讼费另外的30 由受害人支付 三 致害人应承担50 的责任 要向受害人赔偿5万元的损失费用 0 4万元的诉讼费由 双 方各负担一半 受害人估计三种情况发生的概率分别为0 2 0 6和0