高一数学+必修4学案

高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年1 高一数学必修高一数学必修 4 导学案导学案 第一章第一章 三角函数三角函数 1 1 1 任意角任意角 学习目标学习目标 1 了解任意角的概念 正确理解正角 零角 负角的概念 2 正确理解终边相同的角的概念 并能判断其为第几象限角 熟悉掌握终边相同的角的集合表示 学习重点 难点学习重点 难点 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 第一课时 自主学习自主学习 一 复习引入一 复习引入 问题 1 回忆初中我们是如何定义一个角的 所学的角的范围是什么 问题 2 在体操 跳水中 有 转体 这样的动作名词 这里的 怎么刻画 0 720 0 720 二 建构数学二 建构数学 1 角的概念 角的概念 角可以看成平面内一条 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所形成的图形 射线的端点称为角的 射线旋转的开始位置和终止位置称为角的 和 2 2 角的分类 角的分类 按 方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做 如果一条射线没有作任何旋转 我们称它形成了一个 它的 和 重合 这样 我 们就把角的概念推广到了 包括 和 典型例题典型例题 1 度量一个角的大小 既要考虑旋转方向 又要考虑旋转量 通过上述规定 角的范围就扩展到了任 意大小对于 210 150 660 你能用图形表示这些角吗 你能总结一下作图的 要点吗 例 1 1 钟表经过 10 分钟 时针和分针分别转了多少度 2 若将钟表拨慢了 10 分钟 则时针和分针分别转了多少度 3 如果你的手表慢了 20 分钟 或快了 1 25 小时 你应该将分钟分别旋转多少度 才能将时间校准 2 任意两个角的数量大小可以相加 相减 如 50 80 130 50 80 30 你能解释一下这两个式子的几何意义吗 3 3 终边相同的角终边相同的角 思考 1 下列角分别是第几象限角 这当中一些角有什么共同特征 3001506060 660 210 300 420 780 2 具有相同终边的角彼此之间有什么关系 你能写出与角终边相同的角的集合吗 0 60 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个 即任一与角 终边相同的角 都 可以表示成 4 4 象限角 轴线角的概念 象限角 轴线角的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角 为了讨论问题的方便 使角的 与 重合 角的 与 重合 那么 角的 除端点外 落在第几象限 我们就说这 个角是 如果角的终边落在坐标轴上 则称这个角为 象限角的集合象限角的集合 1 第一象限角的集合 2 第二象限角的集合 3 第三象限角的集合 4 第四象限角的集合 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年2 轴线角的集合轴线角的集合 1 终边在轴正半轴的角的集合 x 2 终边在轴负半轴的角的集合 x 3 终边在轴正半轴的角的集合 y 4 终边在轴负半轴的角的集合 y 5 终边在轴上的角的集合 x 6 终边在轴上的角的集合 y 7 终边在坐标轴上的角的集合 三 课前练习三 课前练习 在直角坐标系中画出下列各角 并说出这个角是第几象限角 000000 30 150 60 390 390 120 典型例题典型例题 例 2 在的范围内 找出与下列各角终边相同的角 并分别判断它们是第几象限角 00 3600 到 1 2 3 4 0 650 0 150 0 240 015 990 例 3 已知角的终边相同 判断是第几象限角 0 240与 2 例 4 写出终边落在第一 三象限的角的集合 例 5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合 包括边界 1 2 3 拓展延伸拓展延伸 已知角是第二象限角 试判断为第几象限角 2 巩固练习巩固练习 1 设 则与角终边相同的角的集合可以表示为 0 60 2 把下列各角化成的形式 并指出它们是第几象限的角 3600 360 000 Zkk 1 2 3 4 0 1200 0 55 0 1563 0 1590 3 终边在轴上的角的集合 终边在直线上的角的集合 终边yxy 在四个象限角平分线上的角的集合 4 终边在角终边的反向延长线上的角的集合 0 30 5 若角的终边与角的终边关于原点对称 则 若角的终边关于直线 0 45 对称 且 则 0 yx 0 60 6 集合 3690 00 ZkkA 则 180180 00 B BA 7 若是第一象限角 则的终边在 2 课后训练课后训练 1 分针走 10 分钟所转过的角度为 时针转过的角度为 2 若 则的范围是 的范围是 00 13590 3 1 与终边相同的最小正角是 30350 2 与终边相同的最大负角是 0 715 3 与终边相同且绝对值最小的角是 0 1000 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年3 4 与终边相同且绝对值最小的角是 0 1778 4 与终边相同的在之间的角为 0 15 00 3601080 5 已知角的终边相同 则的终边在 6 若是第四象限角 则是第 象限角 是第 象限角 0 180 0 180 7 若集合 9018030180 0000 ZkkkA 集合 4536045360 0000 ZkkkB 则 BA 8 已知集合 下列说法 1 锐角 M 90 0的角 小于 N 第一象限的角 PNP 2 3 4 其中正确的是 MPN PM PNM 9 角小于而大于 它的 7 倍角的终边又与自身终边重合 求角 0 180 0 180 10 已知与角的终边相同 分别判断是第几象限角 0 60 2 2 课堂小结课堂小结 1 角的概念推广后 角的大小可以任意取值 把角放在直角坐标系中进行研究 对于一个给定的角 都有唯一的一条终边与之对应 并使得角具有代数和几何双重意义 2 终边相同的角有无数个 在 0 360 范围内与已知角 终边相同的角有且只有一个 用 除以 360 若所得的商为 k 余数为 必须是正数 则 即为所找的角 1 1 2 弧度制弧度制 学习目标学习目标 3 理解弧度制的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 熟记特殊角的弧度数 4 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 学习重点 难点学习重点 难点 弧度的概念 弧度与角度换算 自主学习自主学习 一 复习引入一 复习引入 请同学们回忆一下初中所学的的角是如何定义的 0 1 二 建构数学二 建构数学 1 弧度制 角还可以用 为单位进行度量 叫做 1 弧度的角 用符号 表示 读作 2 2 弧度数 正角的弧度数为 负角的弧度数为 零角的弧度数为 如果半径为 r 的圆心角所对的弧的长为 1 那么 角 的弧度数的绝对值是 这里 的正负由 决定 3 3 角度制与弧度制相互换算 360 rad 180 rad 1 rad 1 rad 4 4 角的概念推广后 在弧度制下 与 之间建立起一一对应的关系 每 个角都有唯一的一个实数 即 与它对应 反过来 每一个实数也都有 即 与它对应 5 5 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 角的弧度数的绝对值 为弧长 为半径 lr 弧长公式 扇形面积公式 典型例题典型例题 例 1 把下列各角从弧度化为度 1 2 3 4 5 5 3 12 6 5 25 3 例 2 把下列各角从度化为弧度 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年4 1 2 3 4 5 0 750 0 1440 0 67 30 0 252 15110 例 3 1 已知扇形的周长为 圆心角为 求该扇形的面积 cm8rad2 2 已知扇形周长为 求扇形面积的最大值 并求此时圆心角的弧度数 cm4 例 4 已知一扇形周长为 当扇形圆心角为何值时 它的面积最大 并求出最大面积 C0C 巩固练习巩固练习 1 特殊角的度数与弧度数的对应 度数 弧度数 2 若角 则角的终边在第 象限 若 则角的终边在第 象限 3 6 3 将下列各角化成 的形式 并指出第几象限角 20 2 kZk 1 2 3 4 3 19 0 315 3 22 2 23 4 圆的半径为 则的圆心角所对的弧长为 扇形的面积为 102 5 用弧度制表示下列角终边的集合 1 轴线角 2 角平分线上的角 3 直线上的角xy3 6 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长 那么该圆弧的圆心角等于 课堂小结课堂小结 1 用度为单位来度量角的单位制叫做角度制 用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制 2 度与弧度的换算关系 由 180 rad 进行转化 以后我们一般用弧度为单位度量角 3 利用弧度制 使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化 这体现了弧度制优点 2 2 2 任意角的三角函数 任意角的三角函数 1 学习目标学习目标 6 掌握任意角三角函数的定义 并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 7 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 8 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 学习重点 难点学习重点 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 自主学习自主学习 一 复习旧知 导入新课一 复习旧知 导入新课 在初中 我们已经学过锐角三角函数 角的范围已经推广 那么对任意角是否也能定义其三角函数呢 二 建构数学二 建构数学 1 在平面直角坐标系中 设点是角终边上任意一点 坐标为 P P x y 它与原点的距离 一般地 我们规定 22 OPxyr 比值 叫做的正弦 记作 即 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年5 比值 叫做的余弦 记作 即 比值 叫做的正切 记作 即 2 当 时 的终边在轴上 这时点的横坐标等于 所以 yP 无意义 除此之外 对于确定的角 上面三个值都是 所以 正弦 余弦 正切都是以 为自变量 以 为函数值的函数 我们将它们统称为 3 由于 与 之间可以建立一一对应关系 三角函数 可以看成是自变量为 的函数 4 其中 和的定义域分别是 sinyx cosyx 而的定义域是 tanyx 5 根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号 sin cos y y tan y 典型例题典型例题 例 1 已知角的终边经过点 求的正弦 余弦 正切的值 4 3P 变题 1 已知角的终边经过点 求的正弦 余弦 正切的值 4 30Paaa 变题 2 已知角的终边经过点 且 求的值 6 xP 13 5 cos x 例 2 已知角的终边在直线上 求的正弦 余弦 正切的值 xy3 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年6 例 3 确定下列三角函数值的符号 1 2 3 4 12 7 cos 465sin 3 11 tan5tan4cos3sin 例 4 若两内角 满足 判断三角的形状 ABC ABsincos0AB A 巩固练习巩固练习 1 已知角 的终边过点 P 1 2 cos的值为 2 是第四象限角 则下列数值中一定是正值的是 A sin B cosC tan D tan 1 3 填表 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 sin cos tan 4 已知角的终边过点 P 4a 3a a 0 则 2sin cos 的值是 5 若点 P 3 是角终边上一点 且 则 的值是 3 2 sin 6 是第二象限角 P x 为其终边上一点 且 cos x 则 sin的值为 5 4 2 课堂小结课堂小结 布置作业布置作业 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年7 1 2 1 任意角的三角函数 任意角的三角函数 2 学习目标学习目标 1 掌握任意角三角函数的定义 并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 学习重点 难点学习重点 难点 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 自主学习自主学习 一 复习回顾一 复习回顾 1 单位圆的概念 在平面直角坐标系中 以 为圆心 以 为半径的圆 2 有向线段的概念 把规定了正方向的直线称为 规定了 即规定了起点和终点 的线段称为有向线段 3 有向线段的数量 若有向线段在有向直线 上或与有向直线 根据有向线段ABll 与有向直线 的方向 或 分别把它的长度添上 或 ABl 这样所得的 叫做有向线段的数量 4 三角函数线的定义 设任意角的顶点在原点 始边与轴非负半轴重合 终边与单位圆相交于点 Ox P x y 过点作轴的垂线 垂足为 过点作单位圆的切线 设它与的终边 当为第PxM 1 0 A 象限角时 或其反向延长线 当为第 象限角时 相交于点 根据三角函 T 数的定义 siny cosx tan y x 典型例题典型例题 例 1 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 3 1 6 5 2 3 2 3 6 4 例 2 利用三角函数线比较大小 30sin1 150sin 25sin2 150sin 3 2 cos3 5 4 cos 3 2 tan4 3 2 tan 例 3 解下列三角方程 2 3 sin1 x 2 1 cos2 x 1tan3 x 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年8 变题 1 解下列三角不等式 2 3 sin1 x 2 1 cos2 x 1tan3 x 变题 2 求函数的定义域 xxycos211sin2lg 巩固练习巩固练习 1 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 6 11 1 3 2 2 2 利用余弦线比较的大小 cos64 cos285 3 若 则比较 的大小 42 sin cos tan 4 分别根据下列条件 写出角的取值范围 1 2 3 3 cos 2 tan1 3 sin 2 5 当角 满足什么条件时 有 sinsin 6 若 写出角的取值范围 3 cos 2 3 sin 2 课堂小结课堂小结 布置作业布置作业 1 2 2 同角三角函数的关系 同角三角函数的关系 1 学习目标学习目标 1 掌握同角三角函数的两个基本关系式 2 能准确应用同角三角函数关系进行化简 求值 3 对于同角三角函数来说 认清什么叫 同角 学会运用整体观点看待角 4 结合三角函数值的符号问题 求三角函数值 重点难点重点难点 同角三角函数的两个基本关系式和应用 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年9 自主学习自主学习 一 数学建构 一 数学建构 同角三角函数的两个基本关系式 二 课前预习 二 课前预习 1 则的值等于 0 5 4 cos tan 2 化简 tancos 典型例题典型例题 例 1 已知 并且是第二象限角 求的值 2 1 sin tan cos 变 已知 求的值 2 1 sin tan cos 例 2 已知 求的值 5 12 tan cos sin 解题回顾与反思 通过以上两个例题 你能简单归纳一下对于和的 知一求二 问题 cos sin tan 的解题方法吗 例 2 化简 1 2 2 1 sin 440 1 2sin40 cos40 3 是第二象限角 4 1 sin 1 tan 2 sin1 sin1 sin1 sin1 课堂练习课堂练习 1 已知 求和的值 4 cos 5 sin tan 2 化简 sin2 sin2 sin2sin2 cos2cos2 3 若为二象限角 且 那么是第几象限角 2 cos 2 sin21 2 sin 2 cos 2 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年10 课堂小结课堂小结 1 2 2 同角三角函数的关系 同角三角函数的关系 2 学习目标学习目标 1 能用同角三角函数关系解决简单的计算 化简与证明 2 掌握 知一求二 的问题 重点难点重点难点 奇次式的处理方法和 知一求二 的问题 自主学习自主学习 一 一 复习回顾 复习回顾 1 同角三角函数的两个基本关系式 2 有何关系 用等式表示 cossin cossin cossin 二 二 课前练习课前练习 1 已知则 3 1 cossin cossin 2 若 则 15tan cos sin 典型例题典型例题 例 1 已知求下列各式的值 3tan 1 2 3 cos9sin4 cos3sin2 22 22 cos9sin4 cos3sin2 22 cos3sin2 例 2 求证 1 2 sin cos1 cos1 sin sintan sintan sintan sintan 例 3 已知 求的值 0 5 1 cossin tan 例 4 若 3 3 1 cos 3 1 sin k k k k k 1 求 k 的值 2 求的值 1tan 1tan 课堂练习课堂练习 1 已知sin cos 则 cos sin 的值等于 0 25 12 2 已知是第三象限角 且 则 9 5 cossin 44 cossin 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年11 3 如果角满足 那么的值是 2cossin 1 tan tan 4 若是方程的两根 则的值为 cos sin024 2 mmxxm 5 求证 1tan 1tan cossin cossin21 22 课堂小结课堂小结 1 2 3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 1 学习目标学习目标 1 巩固理解三角函数线知识 并能用三角函数线推导诱导公式 2 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值 3 能通过公式的运用 了解未知到已知 复杂到简单的转化过程 4 准确记忆并理解诱导公式 灵活运用诱导公式求值 口诀 口诀 函数名不变 符号看象限 重点难点重点难点 诱导公式的推导与运用 自主学习自主学习 1 利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值 为角的终边与单位圆的交点 则 yxP cos sin 2 诱导公式 由三角函数定义可以知道 1 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 k2 2 当角的终边与角的终边关于 x 轴对称时 与的关系为 公式二 3 当角的终边与角的终边关于 y 轴对称时 与的关系为 公式三 4 当角的终边与角的终边关于原点对称时 与的关系为 公式四 思考 这四组公式可以用口诀 函数名不变 符号看象限 来记忆 如何理解这一口诀 典型例题典型例题 例 1 求下列三角函数值 1 2 3 240sin 4 11 cos 1560tan 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年12 例 2 化简 180cos180sin 360sin180cos 例 3 判断下列函数的奇偶性 1 2 xxfcos1 xxxgsin 3 x xx xf tansin 1coscos1 4 xxxf 例 4 求证 1tan 15tan sin21 1cossin2 2 课堂练习课堂练习 1 求下列各式的的值 1 2 3 4 31 sin 6 31 cos 945tan 0 2 判断下列函数的奇偶性 1 2 xxfsin xxxfcossin 3 化简 3 4 cos 3 2 2sin nn 课堂小结课堂小结 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年13 1 2 3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 2 学习目标学习目标 1 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2 能通过公式的运用 了解未知到已知 复杂到简单的转化过程 3 进一步准确记忆并理解诱导公式 灵活运用诱导公式求值 口诀 奇变偶不变 符号看象限 重点难点重点难点 诱导公式的推导和应用 自主学习自主学习 1 复习四组诱导公式 函数名不变 符号看象限 2 已知 求的值 3tan 2sin cos 4 sin 3 cos 2 3 若角的终边与角的终边关于直线 y x 对称 如图 1 角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系 2 角与角有何关系 3 由 1 2 你能发现什么结论 y x P M M P y x 当角的终边与角的终边关于 y x 对称时 与的关系为 公式五 思考 若角的终边与角的终边关于直线对称 你能得到什么结论 xy 当角的终边与角的终边关于对称时 与的关系为 xy 公式六 思考 这六组公式可以用口诀 奇变偶不变 符号看象限 来记忆 如何理解这一口诀 典型例题典型例题 例 1 求证 cos 2 3 sin sin 2 3 cos 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年14 例 2 化简 1 00 00 800cos260sin 440cos280sin21 2 2cos 2 3 sin 2 7 cos 2sin 2 3 sin sin 3tan 例 3 已知 且 求 3 1 75cos 90180 15cos 课堂练习课堂练习 1 求证 sin 2 3 cos cos 2 3 sin 2 化简 2 020 00 20sin170cos 160cos200sin21 1 tan 2 3 cos 2 sin 1 tan 1 2 3 已知 是第三象限角 求的值 3 1 75cos 0 105sin 105cos 00 4 判断函数的奇偶性 2 3 cos 2 3 sin 1cossin 44 xx xx xf 5 求值 90sin89sin3sin2sin1sin 22222 课堂小结课堂小结 1 2 3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 3 学习目标学习目标 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年15 1 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2 能通过公式的运用 了解未知到已知 复杂到简单的转化过程 3 进一步准确记忆并理解诱导公式 灵活运用诱导公式求值 重点难点重点难点 诱导公式的综合应用 自主学习自主学习 1 1 cos cos sin 2 2 若则 5 4 540sin 0 270cos 0 3 化简 cos 5sin 4sin 3 sin cos 4cos 2 22 4 化简 790cos250sin 430cos610sin21 典型例题典型例题 例 1 已知 求的值 4 1 6 sin x xx 3 sin 6 5 sin 2 例 2 已知 A B C 为的三个内角 求证 ABC 2 cos 2 sin ACB 例 3 若求满足时的 x 的值 3cos cosxxf 1 sin xf 例 4 已知 求证 1 sin 0 tan 2tan 课堂练习课堂练习 1 若求的值 2cos 2 sin sin cos 3 2cos 5 sin 2 在中 若试判断的形状 ABC sin sin CBACBA ABC 3 已知是关于 x 的方程的两实根 且求 cot tan03 22 kkxx 2 7 3 的值 sin 3cos 4 已知是第三象限角 且 sin tan tan 2cos sin f 1 化简 2 若求的值 f 5 1 2 3 cos f 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年16 2 若求的值 18600 f 课堂小结课堂小结 1 3 1 三角函数的周期性三角函数的周期性 学习目标学习目标 1 理解三角函数的周期性的概念 2 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系 3 会求三角函数的最小正周期 提高观察 抽象的能力 重点难点重点难点 函数周期性的概念 三角函数的周期公式 一 预习指导 1 对于函数 如果存在一个 使得定义域内 的值 都满足 f xTx 那么函数叫做 叫做这个函数的 f xT 思考 一个周期函数的周期有多少个 周期函数的图象具有什么特征 2 对于一个周期函数 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫 f x 做的 注 今后研究函数周期时 如果不加特别说明 一般都是指函数的最小正 f x 周期 思考 是否所有的周期函数都有最小正周期 3 及 型的三角函数的周期公式为sin yAxb cos yAxb 0 0A 二 典型例题 例 1 若摆钟的高度 h mm 与时间 t s 之间的函数关系如图所 示 1 求该函数的周期 2 求 t 10s 时摆钟的高度 例 2 求下列函数的周期 1 2 3 cos2yx 1 sin 2 yx 1 2sin 36 yx 例 3 若函数 其中 的最小正周期是 且 2sin f xx xR 0 2 0 3f 求的值 例 4 已知函数 满足对一切都成立 求证 4 是的一个 yf x xR 2 f xf x xR f x 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年17 周期 三 课堂练习 1 求下列函数的周期 1 2 2cos3yx sin 3 x y 2 若函数的最小正周期为 求正数的值 sin 5 f xkx 2 3 k 3 若弹簧振子对平衡位置的位移与x cm时间之间 t s 的函数关系如图所示 1 求该函数的周期 2 求 10 5时弹簧振子对平衡位置的位移 ts 四 拓展延伸 1 已知函数 其中 当自变量在任何两整数间 包括整数本身 变化时 sin 103 kx f x 0k x 至少含有一个周期 则最小的正整数为 k 2 已知函数 求 f x xN 1 1 2 6 2 1 fff nf nf n 100 f 课堂小结课堂小结 1 3 2 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 1 学习目标学习目标 1 能借助正弦线画出正弦函数的图象 并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象 2 会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图 3 借助图象理解并运用正 余弦函数的定义域和值域 重点难点重点难点 五点法作正 余弦函数的图象 正 余弦函数的定义域和值域 一 预习指导 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年18 一 平移正弦线画出正弦函数的图象 1 在单位圆中 作出对 应于 11 6 3 26 的角及对应的正弦 线 2 作 出在sinyx 0 2 区间上的图象 1 平移正弦线到相应的位置 2 连线 3 作出在上的图象sinyx R 二 用五点法画出正弦函数在区间上的简图 0 2 x0 2 3 2 2 sinyx 三 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象 思考 1 的图象有什么关系 为什么 sin cosyx yx 2 由的图象怎样作出的图象 请在下图中画出的图象 sinyx cosyx cosyx 四 用五点法画出余弦函数在区间上的简图 0 2 x0 2 3 2 2 cosyx 四 仔细观察正弦曲线和余弦曲线 总结正弦函数与余弦函数的性质 1 定义域 2 值域 对于 当且仅当 时 sinyx x max y 当且仅当 时 x min y 对于 当且仅当 时 cosyx x max y 当且仅当 时 x min y 二 典型例题 例 1 画出下列两组函数的简图 1 cos yx xR 2cos yx xR 2 sin yx xR sin2 yx xR 例 2 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量的集合 x 1 2 cos 3 x y 2sin2yx 例 3 求函数的定义域 sin 1 cos x y x 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年19 例 4 求函数的值域 2 7 sin4sin 4 yxx 三 课堂练习 1 下列等式有可能成立吗 为什么 1 2 2cos3x 2 1 sin 2 x 2 画出下列函数的简图 并比较这些函数与正弦曲线的区别与联系 1 2 sin1yx 2sinyx 3 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量的集合 x 1 2 2sinyx 2cos 3 x y 4 求下列函数的定义域 1 2sin1yx 2 已知的定义域为 求的定义域 yf x 1 0 4 2 sin fx 四 拓展延伸 试作出函数的图象 2 1 sinyx 课堂小结课堂小结 1 3 2 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 2 学习目标学习目标 1 借助正 余弦函数的图像 说出正 余弦函数的图像性质 2 掌握正 余弦函数的图像性质 并会运用性质解决有关问题 重点难点重点难点 正 余弦函数的图像与性质 一 预习指导 正弦函数与余弦函数的性质 1 定义域 2 值域 对于 当且仅当 时 sinyx x max y 当且仅当 时 x min y 对于 当且仅当 时 cosyx x max y 当且仅当 时 x min y 3 周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数 并且周期都是 4 奇偶性 是 其图像关于 对称 它的对称中心坐标是 sin yx xR 对称轴方程是 是 其图像关于 对称 它的对称中心坐标是 cos yx xR 对称轴方程是 5 单调性 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年20 sin yx xR 在每一个闭区间 上 是单调增函数 在每一个闭区间 上 是单调减函数 cos yx xR 在每一个闭区间 上 是单调增函数 在每一个闭区间 上 是单调减函数 思考 思考 正 余弦函数的图像的这些性质可以从单位圆中的三角函数线得出吗 二 典型例题 例 5 判断下列函数的奇偶性 1 2 33 sin 42 f xx 2 lg sin1 sin f xxx 3 1 sincos 1 sin xx f xxR x 例 6 比较下列各组中两个三角函数值的大小 1 2 sin250 sin260 15 cos 8 14 cos 9 例 3 求函数的单调增区间 sin 2 3 yx 思考 的单调增区间怎样求呢 f xsin 2 3 yx 例 4 求下列函数的对称轴 对称中心 1 2 2sin 33 x y 1 cos 3 1 26 yx 三 课堂练习 1 判断下列函数的奇偶性 1 2 sincosf xxx 2 lg 1 sinsin f xxx 3 1 cos2sin 1 sin xx f x x 2 下列函数的单调区间 1 2 sin 4 yx 3cos 2 x y 3 函数的值域为 2 sin 63 yxx 4 比较下列各组中两个三角函数值的大小 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年21 1 2 sin14 sin155 sin194 cos160 四 拓展延伸 求下列函数的值域 1 2 sinsinyxx 2 cos2sin2yxx 3 2 2sin3cos3yxx 课堂小结课堂小结 1 3 2 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 3 学习目标学习目标 1 能正确作出正切函数图像 2 借助图像理解正切函数的性质 重点难点重点难点 正切函数的图像与性质 三 预习指导 1 利用正切线来画出的图像 2 正切函数的图像 tan 2 2 yx x 3 定义 域 4 值域 5 周期性 6 奇偶性 是 函数 其图像关于 对称 它的对称中心为 tanyx 7 单调性 正切函数在每一个开区间 上是单调增函数 思考 正切函数在整个定义域内是单调增函数吗 答 四 典型例题 例 1 求函数的定义域 周期和单调区间 tan 2 4 yx 例 2 已知求的最小值 2 tan5tan 4 f xxx x f x 变式 已知的最小值 4 求的值 2 tantan 4 f xxax x a 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年22 例 3 已知函数的图象与轴相交于两个相邻点的坐标为tan 0 0 2 yAxA x 和且经过点 求其解析式 0 6 5 0 6 0 3 三 课堂练习 1 观察正切函数的图像 分别写出满足下列条件的的集合 x 1 2 tan0 x tan1x 2 求下列函数的定义域 1 2 tan3yx tan 3 yx 3 求函数的值域 tan 0 266 yxxx 且 4 函数与的图像在上有 个交点 sinyx tanyx 1 1 5 函数的奇偶性是 tan 1 cos x y x 四 拓展延伸 若函数的最大值为1 求实数的值 2 13 sincos 22 yxaxa a 课堂小结课堂小结 1 3 31 3 3 函数函数的图像 的图像 1 1 sin yAx 学习目标 1 了解函数的实际意义 sin yAx 2 弄清与函数的图像之间的关系 A sin yAx 3 会用五点法画函数的图像 sin yAx 重点难点 五点法画函数的图像sin yAx 一 预习指导 1 函数与函数图像之间的关系 sin yAx sinyx 1 函数的图像是将的图像向 平移 个单位长度而得到 sin 1 yxxR sinyx 2 函数的图像是将的图像向 平移 个单位长度而得到 sin 1 yxxR sinyx 一般地 函数 的图像 可看作把正弦曲线上所有点sin yx 0 xR 向 或向 平行移动 个单位长度而得到 这种变换称 0 时 0 时 为相位变换 平移交换 2 函数与函数图像之间的关系 sinyAx sinyx 1 函数的图像是将的图像上所有点的 坐标变为原来的 倍 坐3sin yx xR sinyx 标不变 而得到 2 函数 的图像是将的图像上的所有点 坐标变为原来的xysin 3 1 Rx xysin 倍 坐标不变 而得到 一般地 函数 的图像 可看作把正弦曲线上所有的sinyAx 1 0 AARx 纵坐标原来的 倍 横坐标不变 而得到 这种变换关系称为 因此 的sinyAx Rx 值域是 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年23 3 函数与图像之间的关系 xy sin xysin 1 函数 的图像时将的图像上所有点 坐标变为原来的Rxxy 2sinxysin 倍 坐标不变 而得到 2 的图像是将的图像上的所有点的 坐标变为原来的xy 2 1 sin Rx xysin 倍 坐标不变 而得到 一般地 函数的图象可以看作把正弦曲线上所有点的 1 0 sin wRxxy 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 而得到的 这种变换称为 4 函数与图象之间的关系 sin xyxy sin 1 函数的图象是将函数的图象向 平移 个单位长度而得到 12sin xyxy2sin 2 函数的图象是将函数的图象向 平移 个单位长度而到 12sin xyxy2sin 一般地 函数的图象可以看作是把的图象上所有的点向左 sin xyxy sin 或向右 平移 个单位长度而得到的 二 典例分析 例 1 1 函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到 2 2sin xyxysin 2 将函数的图象上所有的点 得到的图象 再将xysin 3 sin xy 的图象上的所有点 可得到函数 的 32 1 sin xy 32 1 sin 2 1 xy 图像 3 要得到的图像 只需将函数的图像 xy 2 1 sin 32 1 sin xy 4 要得到函数的图像 需将函数的图像 6 3cos xyxy3sin 5 已知函数 若将的图象上的每个点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的 2 倍 然后 xfy xf 将整个函数图象向上平移 2 个单位 得到曲线与的图象相同 则的解析式是xysin xf 例 2 要得到的图象 需要将函数的图象进行怎样的变换 xy2sin 4 2cos xy 例 3 已知函数 在一个周期内 当时 有最大值为 2 0 0 sin wxy 6 xy 2 当时 有最小值为 2 求函数表达式 并画出函数 3 2 xy sin yAx 在一个周期内的简图 用五点法列表描点 三 课堂练习 1 将函数的图象向右平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位后可得到函数xycos 2 已知 则的图象 2 sin xxf 2 cos xxg xf A 与 g x 图像相同 B 与 g x 图象关于 y 轴对称 C 向左平移个单位得到的图象 D 向右平移个单位得到的图象 2 xg 2 xg 3 将函数图象上每一点的纵坐标变为原来的 横坐标变为原来的 再将整 xfy 2 1 2 1 个图象沿x轴向左平移个单位 得到函数的图象 则函数 3 xysin xf 四 拓展延伸 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年24 经过怎样的变换可由函数的图象得到的图象 xy2sin 4 cos xy 课堂小结课堂小结 1 3 31 3 3 函数函数的图像 的图像 2 2 sin yAx 学习目标 1 能由正弦函数的图象通过变换得到的图象 sin yAx 2 会根据函数图象写出解析式 3 能根据已知条件写出 中的待定系数A sin yAx 重点难点 根据函数图象写出解析式 一 预习指导 表示一个振动量时 振幅为 周期为sin yAx 0 0 0 Ax 频率为 相位为 初相为 二 典例分析 例 1 若函数 y 表示一个振动量 3 2sin 3 x 1 求这个振动的振幅 周期 初相 2 画出该函数的简图并说明它与 sinyx 的图象之间的关系 3 写出函数的单调区间 例 2 已知函数 一个周期内的函数图象 sin yAx 0 0 A 如下图所示 求函数的一个解析式 例 3 已知函数 cos yAx 0 0 0 A 的最小值是 5 图象上 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年25 相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 且图象经过点 求这个函数的解析式 4 2 5 0 例 4 将函数的图象向右平移个单位 得到的图象恰好关于直线xy2sin 0 6 x 对称 求 的最小值 三 课堂练习 1 函数的图象可以看作是由函数的图象 得到的 4 3sin xyxy3sin 2 先将函数的周期扩大为原来的 2 倍 再将新函数的图象向右平移个单位 则所 3 6 sin 5xy 3 得图象的函数解析式为 3 若函数 sin f xAx 0 A 图象上的一个最高点是 2 2 由这个最高点到相邻最低 点的一段曲线与x轴交于点 6 0 求这个函数的解析式 4 已知函数的最小正周期不大于 2 求正整数k的最小值 5 34 cos 2 x k xf 5 求函数的周期 单调区间和最大值 最小值 6 4cos 3 4sin xxy 四 拓展延伸 1 为了得到的图象 可以将函数的图象 6 2sin 2 xyxy2cos2 2 已知方程有两解 试求实数a的取值范围 12 13 6 1 3 2sin 2 xax 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年26 课堂小结课堂小结 1 3 4 三角函数的应用三角函数的应用 学习目标 1 会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题 体会三角函数是描述周期现象的重要模型 2 培养学生的逻辑思维能力和运算能力 重点难点 建立三角函数的模型 一 预习指导 1 三角函数可以作为描述现实世界中 现象的一种数学模型 2 利用三角函数解决实际问题的一般步骤 1 审题 获取有用信息 2 构建三角函数 模型 即 列出三角函数关系式 3 求解三角函数关系式 得出结论 4 给出实际问题的解答 二 典例分析 例 1 画出函数的图象并写出函数的周期及单调区间 1sin xy 例 2 如图所示 o点为做简谐运动的物体的平衡位置 取向右的方向为物体位移的正方 向 若已知振幅为3cm 周期为3s 且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时 1 求物体对平衡位置的位移 x cm 和时间 t s 之间的函数关系 2 求该物体在 5ts 时的位置 o 例 3 如图 单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动 离开平衡 位置o的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系为 6 2sin 6 s 1 单摆摆动5s时 离开平衡位置多少cm 2 单摆摆动时 从最右边到最左边的距离为多少cm S o 3 单摆来回摆动 10 次所需的时间为多少s 三 课堂练习 1 点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置 取向右的方向为物体位移的正方向 若已知振幅 为 5cm 周期为 4s 且物体向右运动到平衡位置时开始计时 1 求物体对平衡位置的位移 x cm 和时间 t s 之间的函数关系 2 求该物体在 7 5ts 时的位置 o 2 一个悬挂在弹簧上的小球 被从它的静止位置向下拉0 2m的距离 然后停止 如果此 小球在 0t 被放开并允许振动 在 1ts 时又首次回到开始振动的位置 1 求出此小球运动的一个函数关系式 2 求当 6 5ts 时小球所在的位置 四 拓展延伸 函数在区间上至少出现 50 个最大值 试求实数 的最小值 0 sin xy 1 0 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年27 课堂小结课堂小结 三角函数复习与小结三角函数复习与小结 学习目标 1 掌握任意角的概念和弧度制 2 掌握任意角的上哪交函数 诱导公式一级同角三角函数的基本关系 3 掌握三角函数的图像和性质 4 了解的实际意义 sin xAy 5 能应用三角函数解决一些简单的实际问题 体会三角函数是描写周期变化现象的重要教学模型 重点难点 三角函数的综合应用 1 典例分析 例 1 已知角 的终边经过点 求sin cos tan 的值 0 4 3 mmmP 例 2 求下列函数的定义域 1 cos sin yx 2 2 lgsin25yxx 例 3 求证 22 cossin1tan 12sincos1tan 例 4 已知关于x的方程 2 2 31 0 xxm 的两根为sin 和cos 0 2 求 1 sincos 1 cos1tan 的值 2 m的值 3 方程的两根以及此时 的值 例 5 已知函数 sin 0 0 f xAxA 在一周期内 当时 y 取得最大值 12 x 3 当时 y 取得最小值 3 求函数的解析式 12 7 x 例 6 设函数mxxf 6 2sin 1 写出函数 f x 的周期以及单调区间 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年28 2 若时 函数 f x 的最小值为 2 求当x取何值时 函数 f x 取最大值 3 6 x 3 在 2 的条件下 怎样由 cosyx 变换到 f x 二 课堂练习 1 1 若 是第四象限角 是第 象限角 2 已知 为第三象限角 则所在的象限为 2 3 若cos 0 且sin2 0 则角 的终边在第 象限 2 若 且 为第四象限角 则 5 1 cos 2 cos 3 定义在R上的函数 f x 既是偶函数有事周期函数 若 f x 得最小正周期是 且当时 2 0 x 则 xxfsin 3 5 f 4 已知 2 sin cos 2 tan sin tan 3 f 1 化简 f 2 若 且 求cos sin 的值 8 1 f 24 3 若 求 f 的值 4 47 3 拓展延伸 1 是否存在实数a 使得函数在闭区间上的最大值为 1 若存在 2 3 8 5 cossin 2 axaxy 2 0 求出对应的a值 若不存在 请说明理由 2 设函数 sin 2 0 f xxyf x 图像的一条对称轴是直线 8 x 1 求 2 求函数 yf x 的单调递增区间 3 画出函数 yf x 在区间上的图像 0 课堂小结课堂小结 第二章第二章 平面向量平面向量 2 12 1 向量的概念及表示向量的概念及表示 高一数学必修四 学案 华中师大海南附属中学高一数学备课组 2013 年29 学习目标学习目标 1