13年高考真题数学(江苏卷).doc

2013 年高考真题理科数学 解析版 江苏 卷 1 5 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏 卷 数学 理科 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置 上 1 函数的最小正周期为 3sin 2 4 yx 2 设 为虚数单位 则复数的模为 2 2zi iz 3 双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 4 集合共有 个子集 1 0 1 5 右图是一个算法的流程图 则输出的的值是 n 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 次训练成绩 单位 环 结果如右表所示 则 成绩较为稳定 方差较小 的那位 运动员成绩的方差为 7 现在某类病毒记作 nmY X 其中正整数可以任意选取 则都取到奇数 7 9m n mn m n 的概率为 8 如图 在三棱柱中 分别是ABCCBA 111 D E F 的中点 设三棱锥的体积为 三棱柱 1 AB AC AAADEF 1 V 的体积为 则 ABCCBA 1112 V 21 V V 9 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 包含三角形内部和 2 xy 1 xD 边界 若点是区域内的任意一点 则的取值范围是 P x yDyx2 10 设分别是的边上的点 D EABC AB BCABAD 2 1 BCBE 3 2 若 则的值为 1212 DEABACR 21 11 已知是定义在上的奇函数 当时 则不等式 f xR0 x 2 4f xxx 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 A B C 1 A D E F 1 B 1 C 2013 年高考真题理科数学 解析版 江苏 卷 2 5 的解集用区间表示为 f xx 12 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 右焦点xOyC 22 22 10 xy ab ab 为 右准线为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 到 的距离为FlBBF 1 dFl 若 则椭圆的离心率为 2 d 12 6dd C 13 在平面直角坐标系中 设定点 是函数图象上一动点 xOy A a aP 1 0yx x 若点之间的最短距离为 则满足条件的实数的所有值为 P A22a 14 在正项等比数列中 则满足 n a 2 1 5 a3 76 aa 的最大正整数的值为 nn aaaaaa 2121 n 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 cos sina cos sinb 0 若 求证 设 若 2ab ab 0 1c 求的值 abc 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥 中 平面平面 ABCS SABSBCBCAB 过作 垂足为 点分ABAS ASBAF F E G 别是棱的中点 求证 平面平面 SA SC EFGABC SABC 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 xOy 点 直线 设圆的半径为 圆心在 上 0 3A42 xylC1l 若圆心也在直线上 过点作圆的切线 求切C1 xyAC 线的方程 若圆上存在点 使 求圆心的CMMOMA2 C 横坐标的取值范围 a 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游 景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从AC 沿直线步行到 另一种是先从沿索道乘缆车ACA x y A l O 2013 年高考真题理科数学 解析版 江苏 卷 3 5 到 然后从沿直线步行到 现有甲 乙两位游客从处下山 甲沿匀速步行 BBCAAC 速度为 在甲出发后 乙从乘缆车到 在处停留后 再从min 50mmin2ABBmin1 匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的速度为 山路长 经测BCmin 130mACm1260 量 13 12 cos A 5 3 cos C 求索道的长 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 为使两位游客AB 在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 C3 19 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为的等差数列 是其前 n aa 0d d n S 项和 记 其中为实数 若 且成等比数列 证n 2 n n nS bnN nc c0 c 124 b b b 明 若是等差数列 证明 2 nkk Sn Sk nN n b0 c 20 本小题满分 16 分 设函数 其中为实数 lnf xxax x g xeax a 若在上是单调减函数 且在上有最小值 求的取值范围 f x 1 g x 1 a 若在上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 g x 1 f x 2013 年普通高校招生全国统考数学试卷 江苏卷 解答 一 1 2 5 3 4 8 5 3 6 2 7 8 9 34yx 20 631 24 10 11 12 13 或 14 12 2 1 2 1 2 5 05 3 31 10 15 解 由题 故 coscos sinsinab 2 2coscos 因此 从而 2 sinsin22 coscossinsin22a b 0a b ab 由题 即 平方相加可得 同理可得 coscos0 sinsin1 coscos sin1 sin 1 sin 2 又因为 所以 1 sin 2 0 5 6 6 16 解 因且 故为的中点 又分别为的中ABAS SBAF FSB E G SA SC 点 故 又 平面 平面 所以 EFAB EGACABACA AB ABCAC ABC 平面平面 EFGABC 2013 年高考真题理科数学 解析版 江苏 卷 4 5 因面面 面面 且面 故 SABSBCSAB SBCSB AF SABSBAF 面 又面 故 又 故AF SBCBC SBCAFBC BCAB ABAFA 平面 又平面 所以 BC SABSA SABSABC 17 解 联立 得圆心 设切线方程为 则可得 42 1 xy xy 3 2C3 kxy 解得或 故所求切线为 或 2 332 1 1 k k 0k 3 4 k 0y 3 3 4 yx 设 则 化简得 即点的 M x y 2 222 32xyxy 2 2 14xy M 轨迹为以为圆心 2 为半径的圆 可记为圆 又因为点在圆上 故圆与圆 0 1DMCC 相交或相切 从而 解得 D 2 2 1 233CDaa 12 0 5 a 18 解 作于 由题 设 则BDCA D 5 sin 13 A 4 sin 5 C 20BDk 由可知25BCk 15DCk 52ABk 48ADk 631260ACkm 521040ABkm 设乙出发分钟后到达点 此时甲到达点 则 xMN130AMx 由余弦定理得 502ANx 其中 当 2222 2cos74001400010000MNAMANAM ANAxx 08x 时 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 min 37 x MN 由 知 甲到用时 若甲等乙 3 分钟 则乙到用500BCm C 1260126 min 505 C 时 在用时 在用时 126141 3min 55 AB 1040 8 min 130 BC 14186 3 8min 55 此时乙的速度最小 为 若乙等甲 3 分钟 则乙到用时 861250 500 min 543 m C 在用时 此时乙的速度最大 为 126111 3min 55 BC 11156 11min 55 故乙步行的速度应控制在范围内 56625 500 min 514 m 1250 625 4314 19 解 若 则 0 c 1 n aand 21 2 n n Sand 12 2 n nda b 2013 年高考真题理科数学 解析版 江苏 卷 5 5 因成等比数列 故 即 得 又 124 b b b 41 2 2 bbb 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 d 故 由此 故 ad2 anSn 2 2 22 nk Snkan k a aknSn k 222 knk SnS 2 若是 2 222 1212 12 22 2 n n ndanda nc ndanS b ncncnc n b 等差数列 则型 因 式后一项分子幂低于分母幂 故 n bAnB 即 而 故 经检验 2 12 2 0 nda c nc 12 0 2 nda c 12 0 2 nda 0c 时是等差数列 0 c n b 20 解 在上恒成立 则 故 1 0fxa x 1 1 1ax x 1a 若 则在上恒成立 在上单调递 x gxea 1ae 0gx 1 g x 1 增 无最小值 不合 若 则在上单调递减 在是单调递增 ae g x 1 lna ln a 满足 故的取值范围为 min lngxga a e 在上恒成立 则 故 若 0 x gxea 1 1 x aex 1ae 则由得增区间为 由得减区间为 当01ae 0fx 0 1 a 0fx 1 a 时 当时 而 0 x f x x f x max 1ln10f