二次函数与幂函数教学设计

幂函数与二次函数 高考考点 1 求二次函数的解析式 2 求二次函数的值域与最值 3 利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题 复习指导 本讲复习时 应从 数 与 形 两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和 性质 重点解决二次函数在闭区间上的最值问题 掌握求函数最值的常用方法 配方法 判别式法 不等式法 换元法 导数法等 注重分类讨论思想与数形 结合思想的综合应用 基础梳理 1 幂函数的定义 一般地 形如 y x R 的函数称为幂函数 其中底数 x 是自变量 为常 数 2 幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下 幂函数 y x y x2 y x3 y x y x 1的图象 1 2 分别如右图 3 幂函数的性质 y xy x2y x3 y x 1 2 y x 1 定义域RRR 0 x x R 且 x 0 值 域R 0 R 0 y y R 且 y 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 x 0 时 增 x 0 时 减 增增 x 0 时 减 x 0 时 减 定点 0 0 1 1 1 1 4 二次函数的图象和性质 解析式f x ax2 bx c a 0 f x ax2 bx c a 0 图象 定义域 值域 4ac b2 4a 4ac b2 4a 单调性 在 x 上单调递增 b 2a 在 x 上单调递增 b 2a 在 x 上单调递减 b 2a 在 x 上单调递减 b 2a 奇偶性当 b 0 时为偶函数 b 0 时为非奇非偶函数 顶点 b 2a 4ac b2 4a 对称性 图象关于直线 x 成轴对称图形 b 2a 5 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 3 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 五个代表 函数 y x y x2 y x3 y x y x 1可做为研究和学习幂函数图象和性质 1 2 的代表 两种方法 函数 y f x 对称轴的判断方法 1 对于二次函数 y f x 对定义域内所有 x 都有 f x1 f x2 那么函数 y f x 的图象关于 x 对称 x1 x2 2 2 对于二次函数 y f x 对定义域内所有 x 都有 f a x f a x 成立的充要条 件是函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称 a 为常数 双基自测 1 2011 安徽 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x2 x 则 f 1 A 3 B 1 C 1 D 3 解析 f x 为奇函数 f 1 f 1 3 答案 A 2 人教 A 版教材例题改编 如图中曲线是幂函数 y xn在第一象 限的图象 已知 n 取 2 四个值 则相应于曲线 C1 C2 C3 C4的 n 值依次 1 2 为 A 2 2 B 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 C 2 2 D 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 B 3 2011 浙江 设函数 f x Error Error 若 f 4 则实数 等于 A 4 或 2 B 4 或 2 C 2 或 4 D 2 或 2 解析 由Error Error 或Error Error 得 4 或 2 故选 B 答案 B 4 已知函数 f x x2 2x 2 的定义域和值域均为 1 b 则 b 等于 A 3 B 2 或 3 C 2 D 1 或 2 解析 函数 f x x2 2x 2 在 1 b 上递增 由已知条件Error Error 即Error Error 解得 b 2 答案 C 5 2012 武汉模拟 若函数 f x x a bx 2a 常数 a b R 是偶函数 且它 的值域为 4 则该函数的解析式 f x 解析 f x bx2 ab 2a x 2a2 由已知条件 ab 2a 0 又 f x 的值域为 4 则Error Error 因此 f x 2x2 4 答案 2x2 4 考向一 二次函数的图象 例 1 2010 安徽 设 abc 0 二次函数 f x ax2 bx c 的图象可能是 审题视点 分类讨论 a 0 a 0 解析 若 a 0 则 bc 0 根据选项 C D c 0 此时只有 b 0 二次函数 的对称轴方程 x 0 选项 D 有可能 若 a 0 根据选项 A c 0 此时 b 2a 只能 b 0 二次函数的对称轴方程 x 0 与选项 A 不符合 根据选项 b 2a B c 0 此时只能 b 0 此时二次函数的对称轴方程 x 0 与选项 B b 2a 不符合 综合知只能是选项 D 答案 D 分析二次函数的图象 主要有两个要点 一个是看二次项系数的符号 它确定二次函数图象的开口方向 二是看对称轴和最值 它确定二次函数的具 体位置 对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断 如 函数图象与正半轴的交点 函数图象的最高点与最低点等 训练 1 已知二次函数 f x 的图象如图所示 则其导函数 f x 的图象的大致 形状是 解析 由函数 f x 的图象知 当 x 1 时 f x 为减函数 f x 0 当 x 1 时 f x 为增函数 f x 0 结合选项知选 C 答案 C 考向二 二次函数的性质 例 2 函数 f x x2 2x 2 在闭区间 t t 1 t R 上的最小值记为 g t 1 试写出 g t 的函数表达式 2 作 g t 的图象并写出 g t 的最小值 审题视点 分类讨论 t 的范围分别确定 g t 解析式 解 1 f x x 1 2 1 当 t 1 1 即 t 0 时 g t t2 1 当 t 1 t 1 即 0 t 1 时 g t f 1 1 当 t 1 时 g t f t t 1 2 1 综上可知 g t Error Error 2 g t 的图象如图所示 可知 g t 在 0 上递减 在 1 上递增 因 此 g t 在 0 1 上取到最小值 1 1 二次函数 y ax2 bx c 在 上的最值可由二次函数图 象的顶点坐标公式求出 2 二次函数 y ax2 bx c 在 m n 上的最值需要根 据二次函数 y ax2 bx c 图象对称轴的位置 通过讨论进行求解 训练 2 已知函数 f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当 a 1 时 求函数 f x 的最大值和最小值 2 求实数 a 的取值范围 使 y f x 在区间 5 5 上是单调函数 解 1 当 a 1 时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 x 1 时 f x 取得最小值 1 x 5 时 f x 取得最大值 37 2 函数 f x x a 2 2 a2的图象的对称轴为直线 x a y f x 在区间 5 5 上是单调函数 a 5 或 a 5 故 a 的取值范围是 a 5 或 a 5 考向三 幂函数的图象和性质 例 3 已知幂函数 f x xm2 2m 3 m N 的图象关于 y 轴对称 且在 0 上是减函数 求满足 a 1 3 2a 的 a 的取值范围 m 3 m 3 审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数 m2 2m 3 0 再结合 m 是整数 及幂函数是偶数可得 m 的值 解 函数在 0 上递减 m2 2m 3 0 解得 1 m 3 m N m 1 2 又函数的图象关于 y 轴对称 m2 2m 3 是偶数 而 22 2 2 3 3 为奇数 12 2 1 3 4 为偶数 m 1 而 f x x 在 0 0 上均为减函数 1 3 a 1 3 2a 等价于 a 1 3 2a 0 1 3 1 3 或 0 a 1 3 2a 或 a 1 0 3 2a 解得 a 1 或 a 2 3 3 2 故 a 的取值范围为 a a 1或 2 3 a 3 2 本题集幂函数的概念 图象及单调性 奇偶性于一体 综合性较强 解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质 解答此类问题可分为两大步 第一 步 利用单调性和奇偶性 图象对称性 求出 m 的值或范围 第二步 利用分类 讨论的思想 结合函数的图象求出参数 a 的取值范围 训练 3 幂函数 y xa 当 a 取不同的正数时 在区间 0 1 上它们的图象是 一族美丽的曲线 如图 设点 A 1 0 B 0 1 连接 AB 线段 AB 恰好被其中的 两个幂函数 y x y x 的图象三等分 即有 BM MN NA 那么 A 1 B 2 C 3 D 无法确定 解析 法一 由条件得 M N 由一般性 可得 即 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 log log 所以 log log 1 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 lg1 3 lg2 3 lg2 3 lg1 3 法二 由解法一 得 1 3 2 3 2 3 1 3 则 a 即 1 1 3 1 3 2 3 1 3 答案 A 规范解答 4 如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 问题研究 二次函数在闭区间上的最值问题 一定要根据对称轴与区间的相 对位置关系确定最值 当函数解析式中含有参数时 要根据参数的取值情况进 行分类讨论 避免漏解 解决方案 对于二次函数 f x ax2 bx c a 0 而言 首先确定对称轴 然 后与所给区间的位置关系分三类进行讨论 示例 本题满分 12 分 2011 济南模拟 已知 f x 4x2 4ax 4a a2在区 间 0 1 内有最大值 5 求 a 的值及函数表达式 f x 求二次函数 f x 的对称轴 分对称轴在区间的左侧 中间 右侧讨 论 解答示范 f x 4 2 4a x a 2 抛物线顶点坐标为 1 分 a 2 4a 当 1 即 a 2 时 f x 取最大值 4 a2 a 2 令 4 a2 5 得 a2 1 a 1 2 舍去 4 分 当 0 1 即 0 a 2 时 x 时 a 2 a 2 f x 取最大值为 4a 令 4a 5 得 a 0 2 7 分 5 4 当 0 即 a 0 时 f x 在 0 1 内递减 a 2 x 0 时 f x 取最大值为 4a a2 令 4a a2 5 得 a2 4a 5 0 解得 a 5 或 a 1 其中 5 0 10 分 综上所述 a 或 a 5 时 f x 在 0 1 内有最大值 5 5 4 f x 4x2 5x 或 f x 4x2 20 x 5 12 分 105 16 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质 最值在对称轴 处取得 忽视对称