2010届海文学员《高等数学上》答案

第 1 页 共 7 页 2010 届海文学员届海文学员 高等数学上高等数学上 测试答案测试答案 一 选择题一 选择题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 2 3 4 5 6 D BBCDC 1 答案 D 分析 A 选项 为有界变量乘以无穷小量 结果是无穷小量 故排 1 sin 0 xx x 除 B 选项极限为 1 故排除 C 选项 由数列极限与函数极限的关系 可以选cos xxx x 两个不同的数列和 相当于 则一方面2xk 2 2 xk x k 另一方面lim coslim 2 cos2 xk xxkk 所以此极限是不存在的 故排除 Clim coslim 2 cos 2 0 22 xk xxkk D 为无穷大 选择 D 1 cos 0 xx x 2 答案 B 分析 由 故是的高阶无穷小 所 2 2 000 1 sin1 cos 2 limlimlim0 22 xxx x xxx xxx sinxx 2 x 以选 B 3 答案 B 分析 考察 是的连续点还是间断点 首先看极限是否存在 如果0 x F x 0 lim x F x 存在且等于 则是连续点 如果不连续 则其为第几类间断点 主要看其左右极限 0 F 是否都存在 如果都存在则为第一类间断点 至少有一个不存在 则为第二类间断点 故 由 知其极限存在 而 2 000 01 limlimlim0 22 xxx f xfxf F xf xx 0 0 0Ff 则 所以是的第一类 可去 间断点 1 00 0 2 fF 0 x F x 4 答案 C 第 2 页 共 7 页 分析 A 选项存在 变形有存在 1 lim h h f af a h 1 lim 1 h f af a h h 令 则 相当于 故 1 t h h 0t 存在 也即只能得出在的右 0 1 limlim 1 ht f af a f atf a h t h f xxa 导数存在 得不出导数存在 所以 A 不选 B 选项 存在 但其非导数的定义 将其变形有 0 2 lim h f ahf ah h 00 2 2 limlim hh f ahf ahf ahf af ahf a hh 存在 0 2 lim 2 2 h f ahf af ahf a hh 而导数如果是存在的话 是要求括号里面的 极限存在 而由整体极限存在得不 00 2 lim2lim 2 hh f ahf af ahf a hh 或 出括号里面的极限存在 所以 B 选项不选 同理 D 不选 C 选项存在 即存在 正好是导数定义 0 lim h f af ah h 0 lim h f ahf a h 所以选 C 5 答案 D 分析 考察一点导数是否存在 用导数的定义 由有 2 lim1 xa f xf a xa 而 要极限存在 只能 1 lim1 xa f xf a xaxa 1 lim xa xa 所以导数存在 且 故排除 lim0 xa f xf a xa f x 0fa A B 又因 由极限的保号性 在点附近有 2 lim10 xa f xf a xa xa 2 0 f xf a xa 而 所以 即 故在处函数取得极 2 0 xa 0f xf a f xf a xa 大值 所以选 D 第 3 页 共 7 页 6 答案 C 解 A B 选项是积分的性质 显然是正确的 C 选项若为非奇非偶函数 也可能有 f x 0 a a f x dx 例如 在上为非奇非偶函数 但 2 2 0 3 0 xx f x xx f x 因此 选择 C 101 2 110 320f x dxx dxxdx 对于 D 利用结果 为以 T 为周期函数 则 的值与 a 无关 可 f x a T a f x dx 得 又为奇函 2 00 2 T x Txx T T x F xTf t dtf t dtf t dtF xf t dt f x 数 所以于是所以周期 T 2 2 0 T T f u du 0 x F xTf u duF x 0 x F xf t dt 的函数 二 填空题二 填空题 本小题共 4 小题 每小题 4 分 满分 16 分 把答案填在题中横线上 7 8 9 10 213 III 24yx 3 2 sin 2 f xx 7 答案 213 III 分析 因积分区间对称 被积函数为奇函数 所以 2 1 4 sin 1 xx Idx x 1 0I 34344 2 sincos sincoscos0Ixx dxxdxxdxxdx 222 55 3 sin sin0 xxx Ixedxxdxe dxe dx 所以 213 III 8 答案 24yx 分析 因为 故 00 1 1 1 1 1 1 limlim 1 1 222 xx ffxfxf f xx 1 2 f 所以切线方程为 24yx 9 答案 分析 在广义积分中 作换元 令 3 2 2xt 第 4 页 共 7 页 22 200 22 2arctan 0 9 9 333 7 2 dxtdtdtt tttxx 10 答案 2 sin 2 f xx 解 两边积分有 222 000 sin 2 f x dxxdxf x dx 令则有 所以 2 0 f x dxA 2 0 2 sin 22 AxdxAA 2 sin 2 f xx 三 解答题三 解答题 本题共 6 小题 满分 60 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 11 本小题满分 9 分 求 22 2 00 1 lim 1 ln 1 x tx x t edt x 解 22 2 00 1 lim 1 ln 1 x tx x t edt x 1 分 22 2 00 1 lim 1 x tx x t edt x 2 分 2 2 2 0 0 1 lim x t x x t e dt xe 7 分 2 22 2 2 0 1 lim 2 x xx x x e ex e 9 分 2 2 0 1 lim1 12 x x x 12 本小题满分 9 分 1 Iarctgxdx x 解 令 1 分 2 xtxt 则 2 分 2 11 Iarctgxdxarctgtdt tx 第 5 页 共 7 页 3 分22 t arctgtdtarctgtdt t 5 分2 t arctgttdarctgt 6 分 2 2 1 t t arctgtdt t 8 分 2 2ln 1 t arctgttC 9 分2ln 1 x arctgxxC 13 本小题满分 10 分 设 求 2 1 sin x t f xdt t 1 0 xf x dx 解 由 111 2212 0 000 11 22 xf x dxf x dxx f xx df x 3 分 1 2 0 1 1 2 fx df x 因 所以 4 分 2 1 sin x t f xdt t 1 0f 6 分 22 2 2 sin2sin xxx df xdxdx xx 故 2 111 22 000 112sin 1 22 x xf x dxfx df xxdx x 8 分 1 2 0 sinxx dx 10 分 1 22 0 11 sin cos1 1 22 x dx 14 本小题满分 10 分 设函数 试确定的值 使函数在处可导 2 2arctan 0 sin 1 0 x xaex f x xbxx a b f x0 x 解 若在处可导 则其必在处连续 1 分 f x0 x 0 x 因为 所以 0 fa 2 00 lim lim 2arctan 0 x xx f xxaeaf 00 lim lim sin 1 0 xx f xxbxbf 从而 4 分ab 又因在处可导 所以 f x0 x 第 6 页 共 7 页 2 00 2 0 0 2arctan 0 limlim 0 2arctan 1 lim 22 x xx x x f xfxaea f xx xa e a xx 00 0 0 sin 1 0 limlim 0 sin 1 lim 1 xx x f xfxbxa f xx xbxb b xx 由 得 8 分 0 0 ff 221ab 考虑到 可知当时 在处可导 且 ab 1 1ab f x0 x 0 0 f 10 分 15 本题满分 11 分 证明 作辅助函数 2 分 f bf a xf xf axa ba 易验证满足 x 在闭区间上连续 在开区间内可导 且 ab x a b a b 4 分 f bf a xfx ba 根据罗尔定理 可得在内至少有一点 使 即 a b 0 7 分 f 0 f bf a f bf afba ba 对于任意 因在闭区间上连续 在开区间内 12 xx 12 x xa b xf ba ba 可导 故亦在上连续 在开区间内可导 故满足拉格朗日中值定理 xf 12 x x 12 x x 即有 其中 9 分 2121 f xf xfxx 12 x x 因在内 故 而则 所以 ba 0fx 0f 12 xx 21 0 xx 所以在上单调递增 212121 0 f xf xfxxf xf x xf ba 11 分 16 本小题满分 11 分 求函数的极值点 拐点以及渐近线 2 1 x yx x 解 定义域 间断点 零点 且是奇函数 1 分 I 1x 1x 0 x 第 7 页 共 7 页 求和它们的零点 II y y 3 22 11 112 1 2 1 xx yxx xxxx 22322 2222 3 1 2 3 1 1 xxx xxx y xx 2 3323 112 3 1 1 1 x x y xxx 由得驻点 由得 由这些点及间断点 把函数的定0y 0 3x 0y 0 x 1x 义域按自然顺序分成 由此可得 3 3 1 1 0 0 1 1 3 3 x 3 3 3 1 1 1 0 0 0 1 1 1 3 3 3 y 0 0 0 y 0 y 单调上升 凸的 极大 值 单调下降 凸的 单调 下降 凹的 拐 点 单调 下降