高二数学文合情推理人教实验B版知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学文合情推理人教实验高二数学文合情推理人教实验 B 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 合情推理 二 本周学习目标 结合已学过的数学实例和生活中的实例 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比的 方法进行简单的推理 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 提高学生学习数学的兴 趣 三 考点分析 1 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做前提 一部分是由已 知判断推出的新判断 叫做结论 2 前提为真时 结论可能为真的推理 叫做合情推理 归纳推理和类比推理是数学中常 用的合情推理 3 由某类事物的部分对象具有某些特征 或性质 推出该类事物的全部对象都具有这 些特征 或性质 的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 叫做归纳推理 简称 归纳 归纳推理是由特殊到一般 部分到整体的推理 归纳推理的基础是观察 分析 归纳推理的作用是发现新事实 得出新结论 要注意的是归纳推理的结论不一定成立 注 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同特征 2 从已知的相同特征中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 4 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具 有这些特征的推理 叫做类比推理 简称类比 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比 推理是以旧的知识为基础 推测新的结果 具有发现的功能 类比推理的结论不一定成立 注 类比推理的一般步骤是 1 找出两类对象之间的类似特征 2 用一类事物的特征去推测另一类事物的特征 得出一个明确命题 猜想 典型例题典型例题 例 1 数一数图中的凸多面体的面数 F 顶点数 V 和棱数 E 然后探求面数 F 顶点数 V 和棱数 E 之间的关系 用心 爱心 专心 凸多面体面数 F 顶点数 V 棱数 E 四棱柱6812 三棱锥446 八面体8612 三棱柱569 四棱锥558 尖顶塔9916 猜想凸多面体的面数 F 顶点数 V 和棱数 E 之间的关系式为 F V E 2 例 2 通过计算可得下列等式 11212 22 12223 22 13234 22 12 1 22 nnn 将以上各式分别相加得 nnn 321 21 1 22 即 2 1 321 nn n 类比上述求法 请你求出 2222 321n 的值 解 解 1131312 233 1232323 233 1333334 233 133 1 233 nnnn 将以上各式分别相加得 nnnn 321 3 321 31 1 222233 用心 爱心 专心 所以 2 1 31 1 3 1 321 32222 n n nnn 12 1 6 1 nnn 例 3 在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间 某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干 堆 正三棱锥 形的展品 其中第一堆只有一层 就一个乒乓球 第 2 3 4 堆最底 层 第一层 分别按图所示方式固定摆放 从第一层开始 每层的小球自然垒放在下一层之 上 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球 以 nf表示第 n 堆的乒乓球总数 则 3 f nf 答案用 n 表示 分析 分析 解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系 即下一堆的个数是上一堆的个数 加上其第一层的个数 其次是求出第一层的通项公式 解 解 f 1 1 观察图象可知 f 2 4 f 3 10 f 4 20 下一堆的个数 是上一堆的个数加上其第一层的个数 而第一层的个数满足 1 3 6 10 通项公 式是 2 1 nn 所以 f n f n 1 2 1 nn 所以有 f 2 f 1 2 12 2 f 3 f 2 2 13 3 f 4 f 3 2 14 4 f n f n 1 2 1 nn 以上各式相加得 f n f 1 2 443322 2222 nn 2 4321 4321 22222 nn 2 2 1 6 12 1 nnnnn 6 2 1 nnn 所以应该填 10 6 2 1 nnn 点评 点评 求 f n 的通项公式时运用累差法思想求解 可见高考题多数依据课本知识 思想或方法的设计题目 解决问题的关键是找到相邻两项的关系 例 4 半径为 r 的圆的面积 2 rrS 周长rrC 2 若将 r 看作 0 上的 变量 则rr 2 2 式可用语言叙述为 圆的面积函数的导数等于圆的周 长函数 对于半径为 R 的球 若将 R 看作 0 上的变量 请你写出类似于 的式子 用心 爱心 专心 式可用语言叙述为 解 解 由提供的形式找出球的两个常用量体积 表面积公式 类似写出恰好成立 3 4 3 RRV 2 4 RrS 答案 答案 3 4 3 R 4 2 R 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 点评 点评 主要考查类比意识 考查学生分散思维 注意将圆的面积与周长与球的体积与 表面积进行类比 例 5 在平面上有 n 条直线 任何两条都不平行 并且任何三条都不交于同一点 问这 些直线把平面最多分成多少部分 解析 解析 设 n 条直线分平面为 n S部分 先试验观察特例有如下结果 n123456 n S 2471 1 1 6 2 2 n与 n S之间的关系发现如下规律 n S 3 2 1 nnSn 这是因为在 n 1 条直线后添加第 n 条直线被原 n 1 条直线截得的 n 段中的任何一段 都将它所在的原平面一分为二 相应地增加 n 部分 所以 n S nSn 1 即 n S 1 nSn 从而 2 S 2 1 S 3 S 3 2 S 4 S 4 3 S n S 1 nSn 将上面各式相加有 n S nS 32 1 所以 n S nS 32 1 2 2 3 n 1 1 2 n 1 1 2 1 nn 注意 n S也可由如下观察发现 由上表知 11 1 S 211 2 S 3211 3 S 4 S 1 1 2 3 4 依此类推 便可猜想到 n S 1 2 3 n 1 1 2 1 nn 点评 点评 运用归纳推理需要考查部分对象的情形 从而归纳猜想出一般规律 这样往往 有时计算量大 易出偏差 且内部潜在的规律性有时难于看出来 就用 递推法 取代 经验归纳法 转向考查问题每递进一步所反映的规律 即探求递推关系 最后用初始值 及递推关系来寻找一般规律 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 数列2 5 11 20 47 x 中的x等于 A 28 B 32 C 33 D 27 2 观察下列数 1 3 2 6 5 15 14 x y z 122 中 x y z 的值依次是 A 42 41 123 B 13 39 123 C 24 23 123 D 28 27 123 3 一同学在电脑中打出如下若干个圈 若将此若干个圈依此规律继续下 去 得到一系列的圈 那么在前 120 个圈中的 有 个 A 12B 13C 14D 15 4 下面使用类比推理正确的是 用心 爱心 专心 A 若33ab 则ab 类推出 若00ab 则ab B 若 ab cacbc 类推出 a b cac bc C 若 ab cacbc 类推出 abab ccc c 0 D nn aa b n b 类推出 nn aab n b 5 设 sin 010 xfxfxxf 21 fxfx 1 nn fxfx n N 则 2007 fx A sin x B sin x C cosx D cosx 6 在十进制中 0123 20044 100 100 102 10 那么在 5 进制中数码 2004 折 合成十进制为 A 29 B 254C 602D 2004 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 从 222 576543 3432 11 中得出的一般性结论是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 若数列 n a中 1234 1 35 79 11 13 15 17 19 aaaa 则 10 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 9 观察 1 110tan60tan60tan20tan20tan10tan 2 15tan75tan75tan10tan10tan5tan 通过观察上述两等式的规律 则一般性的命题为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 10 若数列 n a的通项公式 1 1 2 Nn n an 记 1 1 1 21n aaanf 试通过计算 3 2 1 fff的值 推测出 nf 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 已知 2 3 150sin90sin30sin 222 2 3 125sin65sin5sin 222 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 并给出证明 12 自然状态下鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏观上考察其再生 能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用 n x表示某鱼群在第n年年初的总量 Nn 且 1 x 0 不考虑其它因素 设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 n x成正比 死亡量与 2 n x成正比 这些比例系数依次为正常数cba 求 1 n x与 n x的关系式 猜测 当且仅当 1 x cba 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持不变 不要求证明 13 在 DEF 中有余弦定理 DFEEFDFEFDFDE cos2 222 拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱 ABC 111 CBA的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成 二面角之间的关系式 并予以证明 14 已知数列 3021 aaa 其中 1021 aaa 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 用心 爱心 专心 201110 aaa 是公差为d的等差数列 302120 aaa 是公差为 2 d的等差数列 0 d 1 若40 20 a 求d 2 试写出 30 a关于d的关系式 并求 30 a的取值范围 3 续写已知数列 使得 403130 aaa 是公差为 3 d的等差数列 依次类推 把已知数列推广为无穷数列 提出同 2 类似的问题 2 应当作为特例 并进行研究 你能得到什么样的结论 试题答案试题答案 1 B 解 523 11 56 20 119 推出2012 32xx 2 A 3 C 4 C 5 D 6 B 7 2 1 212 32 21 nnnnnnnN 注意左边共有21n 项 8 1000 前10项共使用了1234 1055 个奇数 10 a由第46个到第55个 奇数的和组成 即 10 10 91 109 2 46 1 2 47 1 2 55 1 1000 2 a 9 若 都不是 90 且 90 则 tantantantantantan1 10 2 22 n f n n 222 111 1 1 1 23 1 f n n 111111 1 1 1 1 1 1 223311 1324322 223341122 nn nnn nnn 11 解 一般性的命题为 222 3 sin 60 sinsin 60 2 证明 左边 2 1202cos1 2 2cos1 2 1202cos1 1202cos2cos1202 cos 2 3 2 3 所以左边等于右边 12 解 I 从第 n 年初到第 n 1 年初 鱼群的繁殖量为 axn 被捕捞量为 bxn 死亡量 为 2 n cx II 若每年年初鱼群总量保持不变 则 xn恒等于 x1 n 从而由 式得 用心 爱心 专心 c ba x 0 cxba Nn 0 cxba x 11nn 即所以恒等于 因为 x1 0 所以 a b 猜测 当且仅当 a b 且 c ba x 1 时 每年年初鱼群的总量保持不变 13 分析 根据类比猜想得出 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 其中 为侧面为 11A ABB与 11B BCC所成的二面角的平面角 证明 作斜三棱柱 111 CBAABC 的直截面 DEF 则DFE 为面 11A ABB与面 11B BCC所成角 在DEF 中有余弦定理 cos2 222 EFDFEFDFDE 同乘以 2 1 AA 得 cos2 11 2 1 22 1 22 1 2 AAEFAADFAAEFAADFAADE 即 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 14 解 1 3 401010 10 2010 ddaa 2 0 11010 22 2030 ddddaa 4 3 2