算术几何平均

算术几何平均算术几何平均 算术几何平均算术几何平均两个数的两个数的和和 也经常写也经常写或或 被定义为从被定义为从和和 然后迭代然后迭代 1 1 2 2 直到直到到所需的精度 到所需的精度 和和互相靠拢互相靠拢 3 3 4 4 但但 所以所以 5 5 现在现在 添加添加对每一方对每一方 6 6 所以所以 7 7 块顶部显示块顶部显示为为和和为为 而底部的两个情节表演而底部的两个情节表演对于复杂的值对于复杂的值 年度股东大会是非常有用的在计算的值完成年度股东大会是非常有用的在计算的值完成椭圆积分 也可以用于寻找也可以用于寻找逆切 它的实现它的实现Wolfram 语言作为作为ArithmeticGeometricMean a b a b 可以表示在封闭形式的可以表示在封闭形式的第一类完全椭圆积分作为作为 8 8 算术几何平均的定义还持有算术几何平均的定义还持有复平面 正如上文所述正如上文所述 算术几何平均的勒让德形式给出算术几何平均的勒让德形式给出 9 9 在哪里在哪里和和 10 10 特殊的值特殊的值在下表中进行了总结 一个特殊的值在下表中进行了总结 一个特殊的值 11 11 OEIS OEISA014549 高斯是常数 它具有封闭形式 它具有封闭形式 12 12 13 13 上面的积分是在哪里上面的积分是在哪里双纽线函数平等的算术几何平均高斯积分是已知的平等的算术几何平均高斯积分是已知的 Borwein Borwein 和贝利和贝利 20032003 年年 页页 1313 15 15 斯隆斯隆价值价值 A068521 1 4567910310469068692 1 4567910310469068692 A084895 1 8636167832448965424 1 8636167832448965424 A084896 2 2430285802876025701 2 2430285802876025701 A084897 2 6040081905309402887 2 6040081905309402887 年度股东大会是由的导数年度股东大会是由的导数 14 14 15 15 在哪里在哪里 是一个是一个第一类完全椭圆积分 是是第二类完全椭圆积分 的级数展开的级数展开是由是由 16 16 年度股东大会的属性年度股东大会的属性 17 17 18 18 19 19 20 20 解决微分方程解决微分方程 21 21 是由是由和和 算术几何平均的泛化算术几何平均的泛化 22 22 与微分方程的解决方案是什么与微分方程的解决方案是什么 23 23 这个案子这个案子对应于算术几何平均通过对应于算术几何平均通过 24 24 25 25 这个案子这个案子给出了立方相对给出了立方相对 26 26 27 27 讨论讨论 BorweinBorwein 和和 Borwein 1990Borwein 1990 1991 1991 和和 Borwein 1996 Borwein 1996 为 为 这个函数满足函数方程这个函数满足函数方程 28 28 因此因此 对于迭代对于迭代和和和和 29 29 30 30 所以所以 31 31 在哪里在哪里 32 32 参见参见 Brent Salamin 公式公式 Brent Salamin 公式公式 也叫做也叫做 Gauss Salamin 公式或公式或 Salamin 公式公式 使用的是一个公式使用的是一个公式算术几何平均来计算来计算 二次收敛 让 二次收敛 让 1 2 3 4 并定义初始条件并定义初始条件 然后迭代 然后迭代和和给出了给出了算术几何平均 是由是由 5 6 王王 1924 表明表明 这个公式和这个公式和勒让德关系是等价的是等价的 也可能来自其他 也可能来自其他 高斯是常数高斯是常数 的的互惠的的算术几何平均1 1 2 3 4 5 6 7 OEISA014549 是是第一类完全椭圆积分 是一个是一个雅可比 的函数 是是 函数 这信件被高斯第一次注意到 这信件被高斯第一次注意到 他探索的基础他探索的基础双纽线函数 Borwein 和贝利和贝利 2003 页页 13 15 两个迅速收敛级数两个迅速收敛级数是由是由 8 9 芬奇芬奇 2003 p 421 高斯的常数高斯的常数连分数 0 1 5 21 岁岁 3 4 14 日日 1 1 1 1 1 3 1 日日 15 日日 OEISA053002 逆高斯的常数是由逆高斯的常数是由 10 10 OEISA053004 芬奇芬奇 2003 p 420 Borwein 和贝利和贝利 2003 年年 13 页页 1 5 21 岁的岁的 3 4 14 日日 1 1 1 1 1 3 1 15 日日 1 OEISA053003 的值的值 11 11 OEISA097057有时被称为有时被称为无处不在的常数 Spanier 和奥尔德姆和奥尔德姆 1987 施罗德施罗德 1987 芬奇芬奇 2003 p 421 和和 12 12 OEISA076390有时被称为第二有时被称为第二双纽线不变 芬奇芬奇 2003 p 421 高斯的常量高斯的常量和和有关有关双纽线不变通过通过 13 14 芬奇芬奇 2003 p 420 无处不在的常数无处不在的常数 让让是是高斯是常数和和是它的乘法逆元 然后是它的乘法逆元 然后 OEISA097057 有时被称为无处不在的常数有时被称为无处不在的常数 Spanier 和奥尔德姆和奥尔德姆 1987 施罗德施罗德 1987 芬奇芬奇 1994 p 421 U n 基本超几何级数基本超几何级数 多个系列基本超几何级数的概括多个系列基本超几何级数的概括统一的组织 基本定理 基本定理系列采用了系列采用了 和和 不确定的和不确定的和 然后 然后 在假定没有分母消失在假定没有分母消失 博博 1995 p 22 这个定理称为一个系列 这个定理称为一个系列系列系列 米尔恩博米尔恩博 1985 1985 年年 p 22 许多其他的许多其他的结果结果 包括包括q binomial 定理和和q Saalschutz 总和可以推广到可以推广到系列 系列 贝特曼函数贝特曼函数 为为 在那里在那里是一个是一个合流超几何函数的第二种 第一类合流超几何函数第一类合流超几何函数 第一种的合流超几何函数第一种的合流超几何函数是一种堕落的是一种堕落的超几何函数作为解决方案的出现作为解决方案的出现合流超几何方程 它也被称为第一类 它也被称为第一类 Kummer 领军的功能 有许多其他领军的功能 有许多其他 的符号用于函数的符号用于函数 斯莱特斯莱特 1960 年年 p 2 包括包括 Kummer 领军领军 1836 Airey 和韦伯和韦伯 1918 亨伯特亨伯特 1920 年年 和和 Magnus 和和 Oberhettinger 1948 另一种形式的解决方案 另一种形式的解决方案合流超几何方程被称为被称为惠塔克函数 第一种的合流超几何函数的实现第一种的合流超几何函数的实现Wolfram 语言作为作为Hypergeometric1F1 a b z 合流超几何函数的合流超几何函数的超几何级数给出的给出的 1 1 在哪里在哪里和和是是Pochhammer 符号 如果 如果和和是是整数 要么要么或或 那么系列收益率那么系列收益率多项式有有限数量的条件 如果有有限数量的条件 如果是一个是一个整数 然后然后 是未定义的 合流超几何函数得到的是未定义的 合流超几何函数得到的拉盖尔多项式通过通过 2 2 Arfken 1985 p 755 还有一个积分表示还有一个积分表示 3 3 阿布拉莫维茨和阿布拉莫维茨和 Stegun 1972 p 505 贝塞尔函数 小块土地 不完整的 函数 埃尔米特多项式 拉盖尔多项式 以及其他都是这个函数的特殊情况以及其他都是这个函数的特殊情况 阿布拉莫维茨和阿布拉莫维茨和 Stegun 1972 p 1972 Kummer 领军显示领军显示 4 4 Koepf 1998 42 页页 Kummer 领军的第二个公式给了给了 5 6 在哪里在哪里 参见参见 Pochhammer 象征象征 Pochhammer 符号符号 1 2 阿布拉莫维茨和阿布拉莫维茨和 Stegun 1972 p 256 Spanier 1987 Koepf 1998 p 5 一个不幸的符号用于理论的特殊功能一个不幸的符号用于理论的特殊功能上升 也被称为阶乘崛起也被称为阶乘崛起 Graham et al 1994 年年 48 页页 或提升或提升 阶乘阶乘 米德尔斯堡和摩尔米德尔斯堡和摩尔 2004 p 16 Pochhammer 符号实现的符号实现的Wolfram 语言作为作为Pochhammer x n 组合的符号组合的符号 罗马罗马 1984 年年 p 5 Comtet 1974 年年 p 6 或或 Graham et al 1994 年年 p 48 用于用于上升 而而或或表示表示下降 Graham et al 1994 年年 p 48 因此需 因此需 要极其谨慎的解释的符号要极其谨慎的解释的符号和和 的头几个值的头几个值为非负整数为非负整数是是 3 4 5 6 7 OEISA054654 在封闭的形式在封闭的形式 可以写可以写 8 在哪里在哪里是一个是一个斯特灵第一种的数量 Pochhammer 象征满足象征满足 9 分为两半的公式分为两半的公式 10 11 和复制公式和复制公式 12 米德尔斯堡和摩尔米德尔斯堡和摩尔 2004 p 17 的比例的比例 Pochhammer 符号在封闭的形式给出符号在封闭的形式给出 13 米德尔斯堡和摩尔米德尔斯堡和摩尔 2004 p 17 的导数是的导数是 14 在哪里在哪里是是双函数 特殊值包括特殊值包括 15 16 Pochhammer 符号符号由于欧拉遵循转换由于欧拉遵循转换 17 在哪里在哪里是是向前的区别和和 18 N rlund 1955 的总和的总和可以做在封闭的形式可以做在封闭的形式 19 为为 考虑到产品考虑到产品 20 21 这个函数收敛于这个函数收敛于 0 一个有限值一个有限值 或发散或发散 这取决于的价值这取决于的价值 给出的临界曲线 给出的临界曲线隐式方程 22 在这条曲线上在这条曲线上 函数收敛于函数收敛于 0 而外面而外面 它发散 最大的融合发生是由真正的价值它发散 最大的融合发生是由真正的价值 OEISA090462 最小值最小值 的极值值 的极值值是由是由 OEISA090463 在关键的轮廓 在关键的轮廓 需要的值需要的值 23 策划的适当扩展版本策划的适当扩展版本与与 有限显示美丽的和微妙的结构如上文所述有限显示美丽的和微妙的结构如上文所述 m Trott per 通讯 通讯 12 月月 1 日日 2003 另一个美丽的可视化情节另一个美丽的可视化情节 正如上文所述正如上文所述 m Trott per 通讯 通讯 2003 年年 12 月月 2 日日 参见参见 合流超几何函数的第二种合流超几何函数的第二种 第二类的合流超几何函数使第二个线性无关的解第二类的合流超几何函数使第二个线性无关的解合流超几何方程 它也被称为 它也被称为 Kummer 领军的第二种功能领军的第二种功能 Tricomi 函数函数 或戈登功能 它是表示或戈登功能 它是表示 可以定义为可以定义为 1 2 在哪里在哪里是一个正规化是一个正规化第一类合流超几何函数 是一个是一个 函数 是一个是一个广义超几何函数 这是收敛的地方但存在作为一个正式的幂级数这是收敛的地方但存在作为一个正式的幂级数 阿布拉莫阿布拉莫 维茨维茨 Stegun 1972 p 504 它有一个积分表示它有一个积分表示 3 为为 阿布拉莫维茨和阿布拉莫维茨和 Stegun 1972 p 505 第二类的合流超几何函数的实现第二类的合流超几何函数的实现Wolfram 语言作为作为HypergeometricU a b z 的的惠塔克函数提供解决方案的另一种形式 提供解决方案的另一种形式 该函数有一个该函数有一个麦克劳林级数 4 和和渐近级数 5 有有导数 6 和和不定积分 7 在哪里在哪里是一个是一个梅耶尔准备功能和和是一个是一个积分常数 梅耶尔准备功能梅耶尔准备功能 梅耶尔的梅耶尔的函数是一个非常通用功能函数是一个非常通用功能 减少在许多常见情况下简单的特殊功能 梅耶尔的减少在许多常见情况下简单的特殊功能 梅耶尔的函数被定义为函数被定义为 1 在哪里在哪里是是 函数 Erdelyi et al 1981 年年 p 1068 Gradshteyn 和和 Ryzhik 2000 形式不同但功能等价的形式被 形式不同但功能等价的形式被 Prudnikov et al 1990 第第 793 页页 2 这种形式提供了更多的一致性的定义这个函数通过一个逆这种形式提供了更多的一致性的定义这个函数通过一个逆梅林变换 梅耶尔的梅耶尔的函数的实现函数的实现Wolfram 语言作为作为MeijerG a1 一个一个 n 1 美联社美联社 b1 bm b m 1 bq z 一个广义的定义的函数形式 一个广义的定义的函数形式 3 实现的实现的Wolfram 语言作为作为MeijerG a1 一个一个 n 1 美联社美联社 b1 bm b m 1 bq z r 在这两种在这两种 2 和和 3 轮廓之间的谎言之间的谎言波兰人的的和和波兰人的的 例如 例如 轮廓为为如上图如上图 在吗在吗复平面和叠加函数本身和叠加函数本身 m Trott Prudnikov et al 1990 包含了一个广泛的近包含了一个广泛的近 200 页的清单梅耶尔的公式页的清单梅耶尔的公式函数 函数 特殊情况包括特殊情况包括 4 5 6 7 的一个特例的一个特例 2 argument 形式形式 8 参见参见 L 函数 编辑 本词条缺少名片图名片图 补充相关内容使词条更完整 还能快速升级 赶紧来编辑吧 是有算术有意义和算术背景的 L 函数 例如黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时 引出了和素数分布有关的复变量的黎曼 zeta 函数 中文名中文名 L 函数 用用 途途 Dirichlet 级数 发布者发布者 罗伯特 朗兰兹 编编 辑辑 黎曼猜想 目录 1 1 1 简介 2 2 2 来源 3 2 1 算术 L 函数 4 2 2 自守 L 函数 5 3 3 研究内容 6 3 1 解析延拓 函数方程 1 3 2 零点的分布 2 3 3 特殊点的值 3 4 4 研究意义 4 5 5 三个公开问题 5 5 1 广义 Riemann 猜想 1 5 2 广义 Lindelof 猜想 2 5 3 广义 Ramanujan 猜想 1 简介编辑 一般地 对于数学对象 我们可定义复数列 形如 且具有 Euler 乘积的 Dirichlet 级数 我们称其为关于 的 函数 2 来源编辑 一般地说 函数来源由两类组成 算术 L 函数和自守 L 函数 这两者又是密切联系在一起的 根据罗伯特 朗兰兹的猜想 笼统地说 一切有意义的 L 函数都来自自守 L 函数 2 1 算术 L 函数 简单地说 同样地 狄利克雷在研究算术级数中的素数分布时 引入了 Dirichlet L 函数 Dedekind zeta 函数 设 为一代数数域 椭圆曲线的 Haass Weil L 函数 设 为一非奇异的椭圆曲线 定义 为曲线在有限域 上的解 设 则下面的级数称为关于曲线的 Haass Weil L 函数 阿廷 L 函数 设 是一个有限维的伽罗瓦表示 其中 为一代数数域 2 2 自守 L 函数 全纯模形式的 L 函数 Maass L 函数 标准 L 函数等等 1 3 研究内容编辑 根据罗伯特 朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指 研究一个 L 函数主要有三部分内容 2 3 1 解析延拓 函数方程 L 函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分 对于一般的自守 L 函数这是较容易得到的 但是对算术的 L 函数这一部分并不是容易得 到的 例如 对于 Haass Weil L 函数 这部分就是谷山 志村猜想 该猜想一部分就能推出费尔马大定理 关于阿廷 L 函数的全纯解析沿拓的阿廷 猜想也是数论中重要的未知问题 对于数学对象 的 L 函数 我们定义其的 gamma 因子为 3 其中 为复参数 定义下面关于 的完全 函数 那么 一般地我们有函数方程 其中 为模为 1 的复数 为关于 的对偶对象 3 2 零点的分布 非零区域 如黎曼 zeta 函数的目前最好的非零区域为 4 黎曼猜想和广义黎曼猜想问题 5 在假设黎曼猜想下 零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等 3 3 特殊点的值 中心值 临界点 整点的值 极点的留数等 这里面也有很多猜想 像 BSD 猜想 类数问题 Deligne 猜想 Beilinson 猜想 Goldfeld 猜想 其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大 而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义 像 Dedekind zeta 函数在 s 1 处的留数 里 面包含了一个数域的很多不变量 类数 判别式 regular 等 BSD 猜想就是 Haass Weil L 函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩 4 研究意义编辑 对于一个研究对象 如素数 伽罗瓦扩张 椭圆曲线 代数簇等等 我们可根据其性质构造出一个复变量的 L 函数 函数的解析性质 零点和极点 函数方程 展开系数 特殊点的值等等 往往能够充分反映 的算术 几何 或代数性质 5 三个公开问题编辑 关于 L 函数的研究 有许多未解决的公开问题 在这些问题中 尤以下面三个著名 6 5 1 广义 Riemann 猜想 L 函数所有非平凡的零点均位于 线上 5 2 广义 Lindelof 猜想 在 3 1 的函数方程中 有猜想 其中 为任意小的正实数 5 3 广义 Ramanujan 猜想 在 3 1 的函数方程中 猜想对非分歧的有 和 库仑波函数库仑波函数 的一个特例的一个特例第一类合流超几何函数 它使径向薛定谔方程的解在库仑势 它使径向薛定谔方程的解在库仑势 的原子核的原子核 1 阿布拉莫维茨和阿布拉莫维茨和 Stegun 1972 Zwillinger 1997 p 122 完整的解决方案 完整的解决方案 2 第一种的库仑作用第一种的库仑作用 3 在哪里在哪里 4 是是第一类合流超几何函数 是是 函数第二类第二类 库仑函数库仑函数 5 在哪里在哪里 阿布拉莫维茨和定义阿布拉莫维茨和定义 Stegun 1972 第第 538 页页 坎宁安函数坎宁安函数 坎宁安函数坎宁安函数 有时也称为有时也称为 Pearson Cunningham 函数函数 可以表达可以表达惠塔克函数 惠塔克和沃森惠塔克和沃森 1990 p 353 在哪里在哪里是一个是一个合流超几何函数的第二种 阿布拉莫维茨和阿布拉莫维茨和 Stegun 1972 p 510 惠塔克函数惠塔克函数 惠塔克函数产生的解决方案惠塔克函数产生的解决方案惠塔克微分方程 这个方程的线性独立的解决方案 这个方程的线性独立的解决方案 1 2 和和 是一个是一个合流超几何函数的第