数值计算方法试题一

数值计算方法试题一数值计算方法试题一 一 填空题 每空 1 分 共 17 分 1 如果用二分法求方程 04 3 xx 在区间 2 1 内的根精确到三位小数 需对分 次 2 迭代格式 2 2 1 kkk xxx 局部收敛的充分条件是 取值在 3 已知 31 1 1 1 2 1 10 23 3 xcxbxax xx xS 是三次样条函数 则 a b c 4 10 xlxlxl n 是以整数点 n xxx 10 为节点的 Lagrange 插值基函数 则 n k k xl 0 n k kjk xlx 0 当 2 n 时 3 2 0 4 xlxx kk n k k 5 设 1326 247 xxxxf 和节点 2 1 0 2 kkxk 则 10n xxxf 和 0 7 f 6 5 个节点的牛顿 柯特斯求积公式的代数精度为 5 个节点的求积公式最高代数 精度为 7 0 kk x 是区间 1 0 上权函数 xx 的最高项系数为 1 的正交多项式族 其中 1 0 x 则 1 0 4 dxxx 8 给定方程组 221 121 bxax baxx a为实数 当a满足 且 20 时 SOR 迭代法收敛 9 解初值问题 00 yf x y y xy 的改进欧拉法 2 0 111 0 1 nnnnnn nnnn yxfyxf h yy yxhfyy 是 阶方法 10 设 1 10 01 aa a a A 当 a 时 必有分解式 T LLA 其中L为下 三角阵 当其对角线元素 3 2 1 ilii 满足 条件时 这种分解是唯一的 二 选择题 每题 2 分 1 解方程组 bAx 的简单迭代格式 gBxx kk 1 收敛的充要条件是 1 1 A 2 1 B 3 1 A 4 1 B 2 在牛顿 柯特斯求积公式 b a n i i n i xfCabdxxf 0 中 当系数 n i C 是负值时 公式的稳定性不能保证 所以实际应用中 当 时的牛顿 柯特斯求积公式不使用 1 8 n 2 7 n 3 10 n 4 6 n 3 有下列数表 x00 511 522 5 f x 2 1 75 10 2524 25 所确定的插值多项式的次数是 1 二次 2 三次 3 四次 4 五次 4 若用二阶中点公式 4 2 1nnnnnn yxf h y h xhfyy 求解初值问题 1 0 2 yyy 试问为保证该公式绝对稳定 步长h的取值范围为 1 20 h 2 20 h 3 20 h 4 20 h 三 1 8 分 用最小二乘法求形如 2 bxay 的经验公式拟合以下数据 i x19253038 i y19 032 349 073 3 2 15 分 用8 n的复化梯形公式 或复化 Simpson 公式 计算 dxe x 1 0时 1 试用余项估计其误差 2 用8 n的复化梯形公式 或复化 Simpson 公式 计算出该积分的近似值 四 1 15 分 方程 01 3 xx 在 5 1 x 附近有根 把方程写成三种不同的等价形式 1 3 1 xx 对应迭代格式 3 1 1 nn xx 2 x x 1 1 对应迭代格式 n n x x 1 1 1 3 1 3 xx 对应迭代格式 1 3 1 nn xx 判断迭代格式在 5 1 0 x 的收敛性 选一种收敛格式计算 5 1 x 附近的根 精确到小数点后第三位 选一 种迭代格式建立 Steffensen 迭代法 并进行计算与前一种结果比较 说明是否有加速效果 2 8 分 已知方程组 fAX 其中 41 143 34 A 24 30 24 f 1 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss Seidel 迭代法的分量形式 2 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径 写出 SOR 迭代法 五 1 15 分 取步长 1 0 h 求解初值问题 1 0 1 y y dx dy 用改进的欧拉法求 1 0 y 的 值 用经典的四阶龙格 库塔法求 1 0 y 的值 2 8 分 求一次数不高于 4 次的多项式 xp 使它满足 00 xfxp 11 xfxp 00 xfxp 11 xfxp 22 xfxp 六 下列 2 题任选一题 4 分 1 数值积分公式形如 1 0 1 0 1 0 fDfCBfAfxSdxxxf 1 试确定参数 DCBA 使公式代数精度尽量高 2 设 1 0 4 Cxf 推 导余项公式 1 0 xSdxxxfxR 并估计误差 2 用二步法 1 111101 nnnnnnn yxfyxfhyyy 求解常微分方程的初值问题 00 yxy yxfy 时 如何选择参数 10 使方法阶数尽可能 高 并求局部截断误差主项 此时该方法是几阶的 数值计算方法试题二数值计算方法试题二 一 判断题 共 16 分 每小题 分 若A是 nn 阶非奇异阵 则必存在单位下三角阵L和上三角阵U 使 LUA 唯 一成立 当 8 n 时 Newton cotes 型求积公式会产生数值不稳定性 3 形如 1 i n i i b a xfAdxxf 的高斯 Gauss 型求积公式具有最高代数精确度的次 数为 12 n 矩阵 210 111 012 A 的 范数2 A 5 设 a a aa A 00 00 02 则对任意实数 0 a 方程组 bAx 都是病态的 用 6 设 nn RA nn RQ 且有 IQQT 单位阵 则有22 QAA 7 区间 ba 上关于权函数 xW 的直交多项式是存在的 且唯一 8 对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解 600 10 322 11 012 001 542 774 322 b a A 则 ba 的值分别为 a 2 b 2 二 填空题 共 20 分 每小题 2 分 1 设 102139 248 xxxxf 则均差 2 2 2 810 f 3 3 3 910 f 2 设函数 xf 于区间 ba 上有足够阶连续导数 bap 为 xf 的一个m重零点 Newton 迭代公式 1 k k kk xf xf mxx 的收敛阶至少是 阶 区间 ba 上的三次样条插值函数 xS 在 ba 上具有直到 阶的连续导 数 4 向量 T X 2 1 矩阵 13 27 A 则 1 AX Acond 5 为使两点的数值求积公式 1 1 10 xfxfdxxf 具有最高的代数精确度 则 其求积基点应为 1 x 2 x 6 设 nn RA AAT 则 A 谱半径 2 A 此处填小于 大 于 等于 7 设 2 1 4 1 0 2 1 A 则 k k Alim 三 简答题 9 分 1 方程 x x24 在区间 2 1 内有唯一根 x 若用迭代公式 2ln 4ln 1kk xx 2 1 0 k 则其产生的序列 k x 是否收敛于 x 说明理由 2 使用高斯消去法解线性代数方程组 一般为什么要用选主元的技术 3 设 001 0 x 试选择较好的算法计算函数值 2 cos1 x x xf 四 10 分 已知数值积分公式为 0 0 2 2 0 hffhhff h dxxf h 试确定积分公式中的参数 使 其代数精确度尽量高 并指出其代数精确度的次数 五 8 分 已知求 0 aa 的迭代公式为 2 1 00 2 1 01 kx x a xx k kk 证明 对一切 axk k 2 1 且序列 k x 是单调递减的 从而迭代过程收敛 六 9 分 数值求积公式 3 0 2 1 2 3 ffdxxf 是否为插值型求积公式 为什么 其代数精度是多少 七 9 分 设线性代数方程组 bAX 中系数矩阵A非奇异 X为精确解 0 b 若向 量 X是bAX 的一个近似解 残向量 XAbr 证明估计式 b r Acond X XX 假定所用矩阵范数与向量范数相容 八 10 分 设函数 xf 在区间 3 0 上具有四阶连续导数 试求满足 下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 xH 并导出其余项 i 012 i x012 i xf 113 i xf 3 九 9 分 设 x n 是区间 ba 上关于权函数 xw 的直交多项式序列 1 2 1 nnixi 为 1 x n 的零点 1 2 1 nnixli 是以 i x 为基点的拉格朗日 Lagrange 插值基函数 1 1 n k kk b a xfAdxxwxf 为高斯型求积公式 证明 1 当 jknjk 0 时 0 1 1 ijik n i i xxA 2 b a jk jkdxxwxlxl 0 3 1 1 2 n k b a b a k dxxwdxxwxl 十 选做题 8 分 若 101nn xxxxxxxxf 1 0 nixi 互异 求 10p xxxf 的值 其中 1 np 数值计算方法试题三数值计算方法试题三 一 24 分 填空题 1 2 分 改变函数 f xxx 1 x 1 的形式 使计算结果较精 确 2 2 分 若用二分法求方程 0 xf 在区间 1 2 内的根 要求精确到第 3 位小数 则需要对分 次 3 2 分 设 21 2 2 2 1 xx xx xf 则 xf 4 3 分 设 21 10 2 23 3 xcbxaxx xx xS 是 3 次样条函数 则 a b c 5 3 分 若用复化梯形公式计算 1 0 dxe x 要求误差不超过 6 10 利用余项 公式估计 至少用 个求积节点 6 6 分 写出求解方程组 24 0 16 1 21 21 xx xx 的 Gauss Seidel 迭代公式 迭代矩阵为 此迭代法是否收敛 7 4 分 设 A 54 43 则 A Cond A 8 2 分 若用 Euler 法求解初值问题 10 10 yyy 为保证算法的绝 对稳定 则步长 h 的取值范围为 二 64 分 1 6 分 写出求方程 1cos4 xx 在区间 0 1 的根的收敛的迭代公式 并证明其收敛性 2 12 分 以 100 121 144 为插值节点 用插值法计算 115的近似值 并 利用余项估计误差 3 10 分 求 x exf 在区间 0 1 上的 1 次最佳平方逼近多项式 4 10 分 用复化 Simpson 公式计算积分 1 0 sin dx x x I 的近似值 要求 误差限为 5 105 0 5 10 分 用 Gauss 列主元消去法解方程组 2762 3453 2424 321 321 321 xxx xxx xxx 6 8 分 求方程组 1 2 5 11 21 31 2 1 x x 的最小二乘解 7 8 分 已知常微分方程的初值问题 2 1 2 11 y xyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算y 12 的近似值 取步长 2 0 h 三 12 分 在下列 5 个题中至多选做 3 个题 1 6 分 求一次数不超过 4 次的多项式 p x 满足 151 p 201 p 301 p 572 p 722 p 2 6 分 构造代数精度最高的如下形式的求积公式 并求出其代数精度 1 2 1 10 1 0 fAfAdxxxf 3 6 分 用幂法求矩阵 11 110 A 的模最大的特征值及其相应的单位特征 向量 迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0 05 取特征向 量的初始近似值为 T 0 1 4 6 分 推导求解常微分方程初值问题 0 yaybxaxyxfxy 的形式为 1101 iiii ffhyy i 1 2 N 的公式 使其精度尽量高 其中 iii yxff ihaxi i 0 1 N Nabh 5 6 分 求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 0 0 0 byay bxaxryxqyxpy 所得到的三对角线性方程组 数值计算方法试题一答案数值计算方法试题一答案 一 填空题 每空 1 分 共 17 分 1 10 2 0 2 2 2 2 0 3 a 3 b 3 c 1 4 1 j x 3 24 xx 5 6 25 236 4 945 2 6 7 7 6 9 7 0 8 1 a 9 2 10 2 2 2 2 0 ii l 二 选择题 每题 2 分 1 2 2 1 3 1 4 3 三 1 8 分 解 1 2 xspan 2222 38312519 1111 T A 3 730 493 320 19 T y 解方程组 yAACA TT 其中 35296033391 33914 AAT 7 179980 6 173 yAT 解得 0501025 0 9255577 0 C 所以 9255577 0 a 0501025 0 b 2 15 分 解 001302 0 768 1 8 1 12 1 12 0 2 2 efh ab fRT 2 2 8 7 1 k k bfxfaf h T 36787947 0 41686207 0 47236655 0 5352614 0 60653066 0 7788008 0 8824969 0 21 16 1 6329434 0 四 1 15 分 解 1 3 2 1 3 1 xx 118 0 5 1 故收敛 2 x x x 1 12 1 2 117 0 5 1 故收敛 3 2 3 xx 15 135 1 2 故发散 选择 1 5 1 0 x 3572 1 1 x 3309 1 2 x 3259 1 3 x 3249 1 4 x 32476 1 5 x 32472 1 6 x Steffensen 迭代 kkk kk kk xxx xx xx 2 2 1 11211 1 3 3 3 2 3 kk kk k xx xx x 计算结果 5 1 0 x 324899 1 1 x 324718 1 2 x 有加速效果 2 8 分 解 Jacobi 迭代法 3 2 1 0 24 4 1 330 4 1 324 4 1 2 1 3 3 1 1 2 2 1 1 k xx xxx xx kk kkk kk Gauss Seidel 迭代法 3 2 1 0 24 4 1 330 4 1 324 4 1 1 2 1 3 3 1 1 1 2 2 1 1 k xx xxx xx kk kkk kk 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 1 ULDBJ 790569 0 4 10 8 5 或 J B SOR 迭代法 3 2 1 0 24 4 1 330 4 1 324 4 1 1 2 3 1 3 3 1 1 2 1 2 2 1 1 1 k xxx xxxx xxx kkk kkkk kkk 五 1 15 分 解 改进的欧拉法 095 0 905 0 2 1 09 0 0 111 0 1 nnnnnnn nnnnn yyxfyxf h yy yyxhfyy 所以 1 1 0 1 yy 经典的四阶龙格 库塔法 2 2 2 2 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 0 4321 kkkk 所以 1 1 0 1 yy 2 8 分 解 设 3 xH 为满足条件 1 0 3 3 ixfxH xfxH ii ii 的 Hermite 插值多项式 则 2 1 2 03 xxxxkxHxp 代入条件 22 xfxp 得 2 12 2 02 232 xxxx xHxf k 六 下列 2 题任选一题 4 分 1 解 将 32 1 xxxxf 分布代入公式得 20 1 30 1 20 7 20 3 DBBA 构造 Hermite 插值多项式 3 xH 满足 1 0 3 3 ixfxH xfxH ii ii 其中 1 0 10 xx 则有 1 0 3 xSdxxxH 22 4 3 1 4 xx f xHxf dxxx f dxxSxfxxR 2 1 0 3 4 1 0 1 4 1440 60 4 1 4 4 4 1 0 23 4 ff dxxx f 2 解 3 2 1 3 2 3 2 4 32 32 10 32 11 nnnnn nnnnn nnnnnnhn xy h xy h xyhxyxyh xy h xy h xyhxyxy xy h xy h xyhxyyxyR 2 1 66 1 1 22 1 11 1 41312 110 hOxyhxyh xyhxy nn nn 所以 01 22 1 0 01 1 1 10 2 3 0 1 1 0 主项 12 5 3 n xyh 该方法是二阶的 数值计算方法试题二答案数值计算方法试题二答案 一 判断题 共 10 分 每小题 分 1 2 3 4 5 6 7 8 二 填空题 共 10 分 每小题 2 分 1 89 0 2 二 3 二 4 16 90 5 3 1 3 1 6 7 0 三 简答题 15 分 1 解 迭代函数为 2ln 4ln xx 1 2ln 1 24 1 2ln 1 4 1 x x 2 答 Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 k kk a 全不为 0 如果在消 元过程中发现某个主元素为 0 即使 0 det A 则消元过程将无法进行 其次 即使主元素不为 0 但若主元素 k kk a 的绝对值很小 用它作除数 将使该步消元的 乘数绝对值很大 势必造成舍入误差的严重扩散 以致于方程组解的精确程度受 到严重影响 采用选主元的技术 可避免主元素 k kk a 0 或 k kk a 很小的情况发生 从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定 3 解 2 1 4 2 1cos 242 n xxx x n n 2 1 4 2 cos1 2 1 42 n xxx x n n 2 1 4 2 1 22 1 2 n xx xf n n 四 解 1 xf 显然精确成立 xxf 时 11 0 22 2 2 0 hh hh xdx h 2 xxf 时 12 1 2 2 20 0 23 3 22 3 0 2 h h hhh hh dxx h 3 xxf 时 30 12 1 0 24 223 4 0 3 hhh hh dxx h 4 xxf 时 6 40 12 1 0 25 5 324 5 0 4 h hhh hh dxx h 所以 其代数精确度为 3 五 证明 2 1 02 2 1 2 1 1 ka x a x x a xx k k k kk 故对一切 axk k 2 1 又 1 11 2 1 1 2 1 2 1 kk k x a x x 所以 kk xx 1 即序列 k x 是单调递减有下界 从而迭代过程收敛 六 解 是 因为 xf 在基点 1 2 处的插值多项式为 2 12 1 1 21 2 f x f x xp 3 0 2 1 2 3 ffdxxp 其代数精度为 1 七 证明 由题意知 rbXAbAX rAXXrAXXrXXA 1 1 又 b A X XAAXbbAX 1 所以 b A Acond b rAA X XX 1 八 解 设 2 1 2 xxaxxNxH 1 0 2 1 21 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 xxxxxfxffxN 所以 2 1 1 2 1 21 xxaxxxxxH 由 3 0 H 得 4 1 a 所以 13 4 5 4 1 23 xxxxH 令 xHxfxR 作辅助函数 2 1 2 tttxktHtftg 则 tg 在 3 0 上也具有 4 阶连续导数且至少有 4 个零点 21 0 xt 反复利用罗尔定理可得 4 4 f xk 0 4 g 所以 2 1 4 2 1 2 4 2 xxx f xxxxkxHxfxR 九 证明 形如 1 1 k b a n k k xfAdxxwxf 的高斯 Gauss 型求积公式具有 最高代数精度 2n 1 次 它对 xf 取所有次数不超过 2n 1 次的多项式均精确成 立 1 0 1 1 b a jkijik n i i dxxwxxxxA 2 因为 xli 是 n 次多项式 且有 ji ji xl ji 1 0 所以 0 1 1 ijik b a n i ijk xlxlAdxxwxlxl jk 3 取 2 xlxf i 代入求积公式 因为 2 xli 是 2n 次多项式 所以 iji b a n j ji AxlAdxxwxl 2 1 1 1 1 1 1 2 n k b a b a n k kk dxxwAdxxwxl 故结论成立 十 解 np xx xf xxxf p i p ij j ji i p 0 0 0 10 1 1 1 110 n f xxxf n n 数值计算方法试题三答案 一 24 分 1 2 分 xx xf 1 1 2 2 分 10 3 2 分 12 21 22 xx xx 4 3 分 3 3 1 5 3 分 477 6 6 分 1 0 4 02 6 11 1 1 1 2 2 1 1 k xx xx kk kk 64 00 6 10 收敛 7 4 分 9 91 8 2 分 h 0 2 二 64 分 1 6 分 nnn xxxcos1 4 1 1 n 0 1 2 1 4 1 sin 4 1 xx 对任意的初值 1 0 0 x 迭代公式都收敛 2 12 分 用 Newton 插值方法 差分表 100 121 144 10 11 12 0 0476190 0 0434783 0 0000941136 115 10 0 0476190 115 100 0 0000941136 115 100 115 121 10 7227555 2 5 8 3 xxf 00163 0 29615100 8 3 6 1 144115121115100115 3 2 5 f R 3 10 分 设 xccxcxcx 212211 2 1 2 1 2212 2111 f f c c 1 1 0 11 dx 2 1 1 0 21 xdx 3 1 1 0 2 22 dxx 1 exp 1 0 1 edxxf 1 exp 1 0 2 dxxxf 1 1 3121 211 2 1 e c c 690 1 8731 0 2 1 c c xx690 18731 0 xeex618104 0 873127 1 69031x 4 10 分 0 946145881 2 1 40 6 1 1 fffS 0 946086931 4 3 4 2 1 2 4 1 40 12 1 2 fffffS 5 122 10933 0 15 1 SSSI 94608693 0 2 SI 或利用余项 9 7 5 3 1 sin 8642 xxxx x x xf 49 275 1 42 4 xx xf 5 1 4 xf 5 4 4 4 5 105 0 52880 1 2880 n f n ab R 2 n 2 SI 5 10 分 3 0000 1 0000 5 0000 34 0000 0 0000 3 6667 0 3333 12 6667 0 0000 5 3333 2 3333 4 3333 3 0000 1 0000 5 0000 34 0000 0 0000 5 3333 2 3333 4 3333 0 0000 0 0000 1 9375 9 6875 T x0000 5 0000 3 0000 2 6 8 分 bAxAA TT 20 8 146 63 2 1 x x 0000 2 3333 1 x 若用 Householder 变换 则 52073 2 36603 1 0 52073 1 36603 0 0 61880 4 46410 3 73205 1 bA 81650 0 00 82843 2 41421 1 0 61880 4 46410 3 73205 1 最小二乘解 1 33333 2 00000 T 7 8 分 5 0 00