数学归纳推理的基本模式.doc

数学归纳推理的基本思维模式内江师范学院数学与信息科学学院 谢志强归纳推理是现行普通高中数学教材中一项重要的学习内容随着新课改的不断深入，归纳推理不但成为了数学教学中的热点与亮点，而且也成为了高考数学中的一个具有独特价值的考点在最近几年的全国高考中涌现出了许多有关归纳推理的试题（以下简称为归纳试题），引起了数学教学研究者的极大兴趣然而，已有的研究大都集中在归纳问题的解答策略方面，而对数学归纳推理的基本思维模式的研究并不多见本文将从数学模式论的视角，结合归纳试题的分析，对归纳推理的基本思维模式进行初步的探讨1 数学归纳推理的基本含义要进行数学归纳推理必须首先明确所要思考的对象，否则就会迷失推理的方向而陷入无休止的“尝试-错误”之中关于归纳推理的定义比较多，其中最具数学特色的应该是美国著名数学教育家波利亚给出的：“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程”1此定义中将归纳推理的思考对象明确为“特殊的例子”与“普遍规律”，但是“特殊的例子”的属性是多方面的，我们要观察和组合它的哪种属性？数学中“普遍规律”的形式又是什么样子呢？这些似乎都不甚明确根据数学模式论的观点，“数学是通过模式建构，以模式为直接对象来从事客观实体量性规律性研究的科学”2，显然，是将“量性模式”作为数学的直接研究对象，自然地，数学归纳推理也应该以“量性模式”作为自己的思考对象从这样的角度，我们可以将数学归纳推理界定为：数学归纳推理是通过观察和组合特殊事例的量性属性来发现一类事物的量性模式的过程其中，量性属性是指事物的量性结构、关系、特征等；量性模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”2从上述分析可以看出，数学归纳推理的目的在于寻找和发现蕴含在特殊事例中的量性模式，而任何数学模式都是抽象思维的产物，是“内在的思维运动模式的直接表现”2，因此，在归纳推理中所采用的思维模式决定着归纳推理的成效下面将通过归纳试题的分析解答来讨论归纳推理的基本思维模式2 数学归纳推理的基本思维模式2.1要素归纳模式要素归纳模式指通过探讨所考虑特殊事例的构成要素及其构成方式而发现一般性的量性模式的归纳思维方式，其目的是归纳出一致性的数量结构模式如“哥德巴赫猜想”是把素数看作生成所有自然数的基本要素，而归纳出结论：任何一个不小于4的偶数均可以由两个基本要素（素数）构成（相加）例1（2010年高考数学福建卷文科）观察下列等式：；可以推测， 解答本题需要归纳出以下三组数的结构模式：（1）2，8，32，128，m；（2）2，8，18，32，p；（3）8，48，160，n对于数列（1）只要观察出“2”这个要素便可以将各个数加工成如下结构：由此可以推测出通项公式为，从而，对于数列（2），由于受到（1）中要素“2”的启发，在从各数中分离“2”的过程中可以发现如下数量结构：由此可以推测出通项公式为，从而，对于数列（3），受推测值时出现2的幂及推测值时出现平方数的启发，可把2的幂与平方数作为归纳的要素来展开归纳的过程，这样便可以发现如下数量结构：；由上述规律可以推测出的值：最后结果为：上述结论均可予以演绎证明，请读者参见文献3我们可以借用化学中的“原子”与“分子”来说明要素归纳模式的思维特点其中，要素相当于“原子”，是构成量性模式的基本单位，可简称为“模式原子”；模式相当于“分子式”，是由“模式原子”组成的具有一定意义的数量结构由此，要素归纳模式的思维过程可概括为：（1）确定模式原子；（2）构建各特殊事例的量性分子式；（3）观察、概括、想象各分子式的共同结构特征，推测出分子式的“通式”，即一般性的量性模式；（4）验证确认所推测的结论2.2函数归纳模式函数归纳模式是指将所考察的特殊事例的数量顺次排列组成一个数列，把这些数量看作是某个关于正整数的函数的函数值，然后通过分离常量与自变量或联想所熟知的函数而找到函数关系式的思维方式例2（2012年全国卷理-新课标）数列满足，则的前项和为 解：由题设可得：（1）有上述等式易得：（1）（2）通过直观观察可得：（1）中各项构成一个常数列；（2）各项中的常量为8，可变部分依次为1，3，5，即奇数列由此可得的前项和为例3（2012年全国卷）函数，定义数列如下：，是过两点，的直线与轴交点的横坐标（）证明：；（）求数列的通项公式解：（）略由题设可得，当时通过简单的计算可得：要求数列的通项公式，需归纳出分子、分母所组成数列的通项公式，然而不难看出每一项的分子均比分母的3倍少1，因此，只需求出分母所组成数列的通项公式，即求下面数列的通项公式：1，4，19，94，469，从第二项起每一项减去前一项的差依次为： 在上述数据中，3是常量，变量部分是由5的正整数幂构成据此可以推测分母所组成数列的通项公式为：将分别代入此式可解得因此，而且分子的通项公式为：故数列的通项公式为：上述结论可用数学归纳法予以证明，这里略去 函数归纳模式是围绕变量之间的相依关系而展开的，所进行的思维过程是：（1）将特殊事例的数量看成是某个函数的一系列函数值；（2）通过观察或运算分离出具体数量中所蕴含的常量与变量；（3）猜测函数关系式的结构模式；（4）验证并确认猜测其中，猜测函数关系式的结构模式是一个核心环节，要求使用者具有强烈的变量意识，在“长时记忆”中需储备一定数量的“变量数值模块”（如自然数列、奇数列、偶数列、平方数列等），在猜测时可以由这些经验过的“变量数值模块”进行启示或引导2.3递推归纳模式递推归纳模式是指在数列中，通过探讨由已知项“生出”未知项的结构方式，从而发现一般规律的一种思维方式，其核心是归纳出相邻项间的递推关系如“斐波那契数列”与“杨辉三角”等，都可以直观地归纳出其赖以生长的递推关系在递推归纳模式的运用中，最为有效的策略是考察相邻两项的差的特点，因为“差”在减小数值、消除某些常量的同时往往也降低了所考察对象的“维度”在例3的解答中，若记数列各项的分子所组成数列2，11，56，281，1406，为，通过做差可得：从上述各个递推式可以推测通过“错位相消法”可得：递推归纳模式所要探寻的是数量之间的“连锁反应”，可以说体现了“一生二，二生三，三生万物”这一道家哲学思维模式递推归纳模式的一般思维过程是：（1）观察相邻项之间的关系，选择一种加工方式（运算）；（2）对相邻的项进行一致性的运算组合；（3）寻找运算组合的共同结构，猜测递推关系；（4）利用递推关系得出一般性结论和函数归纳模式相比，递推归纳模式只专注函数值的变化，不需考虑两个变量（自变量与因变量）之间的相依关系，从而思维的负荷相对要小一些2.4类比归纳模式类比归纳模式是通过联想类比相同或相似的数量结构模式来进行归纳推理的一种思维方式波利亚指出：“归纳自然地建立在类比之上”1“类比是一个了不起的向导”1类比为特殊事例量性属性的观察与组合提供了方向和方式，为归纳发现一致性的关系结构提供了线索例4（2012福建卷理）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论从所给的五个式子可以看出，它们与余弦定理“”的左边具有相类似的结构，只是余弦定理的左边涉及了三角形边与角的运算，而所给的五个式子只涉及角的运算，因此，需要对余弦定理加以改造由正弦定理可知，代入余弦定理可得： （*）按照上式的结构形式，注意到，可对所给的五个式子进行如下变形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）很显然，（1）（3）具有完全相同的结构形式，（4）（5）具体完全相同的结构形式，由此可推测出如下的三角恒等式：（）；（）通过简单的变换，（）与（）可统一为如下结构形式：此恒等式的证明完全可以类比（*）式进行，只是需要按的取值进行分类讨论，这里略去类比归纳模式所要考虑的是量性模式之间的相似关系或同构关系，其核心是为所考查的对象（目标模式）寻找一个具有相似结构的源模式如“余弦定理”就是例4中用以类比的源模式结合Gentner(1988)的结构映射理论4，类比归纳模式的一般思维过程可概括为：（1）建构源模式和目标模式的一种表征或图式，把源模式改造或解释成便于类比的结构模式；（2）对目标模式中的特殊事例进行加工改造，建立起源模式与目标模式间相似性匹配关系；（3）概括出一致性的结构模式，推测一般性的结论；（4）验证或确认推测的结论参考文献：1 美G波利亚怎样解题数学教学法的新面貌涂泓